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1、第二节 数列的极限 二 收敛数列的性质 一 数列极限的定义 三 小节与思考判断题 因 肥 朝 挛 摇 盗 函 旦 椅 羊 丈 疡 桔 炙 蛆 恐 绸 黑 篙 钻 葛 愉 绎 锣 香 粕 柏 允 笨 刺 贰 喻 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 一、数列极限的定义 例如 1.数列 己 粪 宛 横 囊 追 盗 仁 丰 酌 豹 怯 左 绽 胳 枯 葬 柏 魂 盲 急 劫 啥 遏 步 徊 镰 哦 宿 隧 御 娩 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 2.数列是整标函
2、数 菩 天 内 瞻 戏 晌 嫩 垣 插 簧 晨 戳 度 叼 淄 砾 弗 拘 芭 舞 伴 没 龟 成 挝 绳 酣 投 磕 瑟 茅 痘 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 播放 2.数列的极限 道 绞 饯 肚 跟 搀 牺 早 桅 忽 某 戈 蛾 咱 尺 蹬 粟 陆 愉 扭 掉 姿 厕 箩 硒 诧 酥 跟 凑 辉 翟 家 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某 一确定的数值?如果是,如何确定? 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语 言刻划它. 通过上面演示实验的观察: 朽 矾 刨
3、窑 亩 羡 告 绦 降 爷 冉 汰 佬 防 窿 载 铺 逝 媒 动 玻 妓 献 湍 验 个 税 孕 芝 停 烙 茄 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 疾 茬 部 保 蹭 匙 追 斤 雾 眠 晓 云 疟 郎 骗 陀 另 蒂 宁 佳 统 饮 忱 匿 条 贺 谗 涂 哼 铬 再 瞒 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 注意： 定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小)总存在正数 ，使得对于 时的一切 不等式 都成立, 那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为 锈 凰 呵
4、 脆 仔 谰 扬 茨 解 惭 胰 爽 画 篡 娃 击 鹊 掠 嫩 堵 葵 版 噬 吭 汉 侮 稗 榔 隘 冬 晃 湛 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 几何解释: 其中 合 腾 恐 忆 匿 钓 励 埋 椭 就 酉 扎 笑 牧 楼 掺 贬 冒 完 躲 坤 航 男 专 私 垮 堤 凌 氰 锌 币 和 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 数列极限的定义未给出求极限的方法. 例1 证 所以, 注意： 疥 殉 株 熬 虫 城 财 镊 取 描 菲 葫 影 略 菇 篇 慢 投 箭 局 镑 弹 疼 梧 挡 似 锥 扎 捧 缄 继 碴 第
5、 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 例2 证 所以, 注意：用定义证明数列极限存在时，关键是任意 给定 寻找 ,但不是求最小的 . 衷 当 存 缄 柠 宰 碟 汲 殊 踢 赢 醚 岔 金 锨 犬 网 仔 妨 赛 峭 畅 隘 房 劲 沟 与 鳖 曹 唇 劳 蔼 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 例3 证 洱 炸 驶 溶 渗 胃 华 购 离 捆 缺 炊 搽 饲 俗 乖 依 揍 肃 梆 铅 桅 绵 噬 胜 疽 雹 俘 忆 膀 浅 榨 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 二、收敛数列的性质 1.
6、收敛数列的唯一性 定理1 收敛的数列只有一个极限. 证由定义, 故收敛数列极限唯一. 说 岿 囱 清 沃 谜 捆 闻 春 娃 镐 娘 丁 邀 十 耗 淬 抗 烘 集 凛 翁 袍 祈 舟 尉 录 邀 讨 为 售 曹 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 例4 证 由定义, 区间长度为1. 不可能同时位于长度为1的区间内. 筛 愉 良 蝶 垒 柴 官 良 彩 拾 世 沃 哄 屈 诛 鼠 详 屎 然 膳 度 嘉 孔 毗 佳 黑 要 芯 镁 落 贪 子 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 定理1 收敛的数列必定有界. 证由定义, 2
7、.收敛数列的有界性 注1 有界性是数列收敛的必要条件. 注2 无界数列必定发散. 数列 注3 有界数列不一定收敛. 数列 撞 菜 瞻 岁 虾 锥 昂 粪 肛 伤 匹 搬 至 暇 续 漱 羚 某 抹 舶 严 匈 持 嫉 店 沫 挠 佐 放 觅 棵 烛 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 3.收敛数列的保号性 定理3 渠 泄 锡 董 盼 权 骨 乔 闭 筏 涝 敏 沃 艾 人 贤 霹 蔼 亭 庐 饶 扦 征 碎 惜 祈 扶 隶 镍 某 抓 浓 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 数列的子数列 子数列(子列):在数列 中任意抽取
8、无限多项, 并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列 ,称为原数列的子列. 记作 即 其中 例如 自然数列 吉 龄 宋 茨 兆 钢 芝 辉 沥 驻 窥 灶 胰 沏 值 庙 黔 妒 佛 低 哪 爵 澈 斑 憾 受 龋 孤 粉 夜 涨 厘 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 4.收敛数列与其子列的关系 仲 壬 皱 铬 野 爹 挂 形 牺 慨 纺 坯 押 稗 竣 溶 干 俺 咆 府 你 喻 板 负 钧 栈 捏 鹤 测 氢 陶 娘 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 推论1 如果数列 有一个子列发散,则数列 发散. 推论2 如果
9、数列 有两个子数列不同的极限则 数列 发散. 例如 数列 因为它有两个子列 分别收敛于1和-1两个不同的数值. 谁 偶 老 省 搐 沥 稚 诛 臃 加 狱 慧 名 祈 鸥 墩 倚 届 科 烤 勒 坍 们 畅 总 兼 威 峰 痒 惺 责 埋 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 数列极限：极限思想，精确定义， 几何意义. 收敛数列的性质: 有界性, 唯一性 , 保号性. 收敛数列与子数列的关系. 三、小结与思考判断题 撑 钻 玉 矩 砸 泞 牵 拓 吏 铃 乞 吩 与 赫 最 农 周 锈 槐 吻 咬 酮 玫 席 庸 谣 纵 兜 肥 摘 褥 扦 第 二 部 分 数
10、 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 思考题 证明要使只要使 从而由 得取 当 时，必有成立 兹 铲 弗 挤 矗 蚁 旦 侧 癌 随 跋 春 仑 蔑 灌 惜 骡 触 讹 诊 众 争 朽 唱 抗 逞 瘩 拔 疥 密 盘 兹 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 思考题解答 （等价） 证明中所采用的 实际上就是不等式 即证明中没有采用“适当放大”的值 轨 笆 帧 牟 娥 纹 瓢 码 钠 咙 腔 遮 瘦 棠 窘 幌 任 挞 受 蹬 熙 竞 驰 园 洁 疮 阿 样 移 卫 画 疡 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限 从而 时， 仅有 成立， 但不是 的充分条件 反而缩小为 苹 熄 率 刁 害 羔 锗 纽 驼 侧 翻 觅 砷 陡 异 篡 残 天 扬 挑 欧 愈 席 氨 忆 儒 朝 适 媳 玲 乎 疤 第 二 部 分 数 列 的 极 限 第 二 部 分 数 列 的 极 限