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1、举例: 将D3 群的表示 D5 进化约化 12 D3 E 3C2 2C3 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 0 -1 5 3 1 0 直接观察可得: 5 = 1 + 3 , a1 = a3 = 1 , a2 = 0 利用公式(7): ai = C hC i* ( C ) ( C ) / h - (7) a1 = ( 1 1 3 + 3 1 1 + 2 1 0 ) / 6 = ( 3 + 3 ) / 6 = 1 a2 = ( 1 1 3 + 3 (-1) 1 + 2 1 0 ) / 6 = ( 3 3 ) / 6 = 0 a3 = ( 1 2 3 + 3 0 1 + 2 ( -1) 0 )
2、 / 6 = 6 / 6 = 1 约化结果: D5 = D1 + D3 *,亩尸烷脂宵砷全要题呕倦铁陡君盟柔梦钩啦余立另争和妙百磋句你瘴例衫举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,13 习题: 试分别利用(和不利用)约化系数公式 (7) 对 D2d 群的六维表示 D6 进行约化, 已知该六维表示 D6 的特征标和群 D2d 不可约表示的特征标表如下: D2d E C2 2C2 2d 2iC4 D1 1 1 1 1 1 D2 1 1 -1 -1 1 D3 1 1 1 -1 -1 D4 1 1 -1 1 -1 D5 2 -2 0 0 0 _ D6 6 2 2 2 0
3、*,窥滑肄擞畜崖锦岸尊眠窿其从虽蛊核惊笼虱蕊堤细寓聚虽醚命幽恐袄蛀既举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,(六) 不可约表示特征标完全性定理 14 一, 关系式 对照(4)式 C hC i * (C) j (C) = ij h - (4) i ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn - (8) 其中 i (Cm) 和 i (Cn)为不可约表示特征标表中第 i 个不可约 表示 Cm 和 Cn 类的特征标 ( 证明从略 ) 二, 关系式含义的说明 (8)式给出的是不可约表示特征标表中列与列之间的关系 三, 特征标矢量空间 i = C
4、 C ( hC / h )1/2 i ( C ) - (5) 由(5)式和(4)式可知, 类空间中r 个特征标矢量 i 彼此正交. 且已归一化, 以此为基矢, 构成特征标矢量空间 ( r 维 ). 四, 类特征标矢量 在特征标矢量空间中, 定义类特征标矢量如下: ( Cm ) = i ( h m / h ) 1/2 i ( Cm ) i - (9) 其在基矢第i个特征标矢量 i上的分量为(hm /h)1/2 i (Cm) *,扰锥陇乞贿凝缚歇锭把隅制抚迁春冶睹梢爆掇弟诡脉鼎西鄂贞鸟镭迸料汀举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12, 提问: (8) 式中的 hm 可以
5、换成 hn 吗? 为什么? 15 答案: 可以, 因为只有 m = n 时 (8) 式才不等于零 五, 类特征标矢量的正交性 (1) 对应于群中的每一类有一个类特征标矢量, 共C个类, 则有C个 类特征标矢量. (2) 由(8)所示的不可约表示特征标完全性定理可知, r 维特征标矢 量空间中的 C 个类特特征标矢量 彼此正交. ( * ( Cm ), ( Cn ) ) = mn - (10) 因此有 C r - (11) (3) 不可约表示数定理: 由 (6) 和 (11) 式可得 r = C - (12) 即, 群的不可约表示数等于类数, 故, 不可约表示特征标表总是方的. *,辛酗嘶播阅抗
6、漠战佑汲贷古殃成抽皋佣蔼忱鞠耀子拦交涉闽氛责瓷遵奋汁举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,(七) 与不可约表示特征标相关的公式的汇总和比较 16 不可约表示特征标的正交性定理 C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij 不可约表示特征标的完全性定理 j ( h m / h ) i * ( Cm ) i ( Cn ) = mn 特征标矢量 ( 类矢量空间中 ) i = C C ( hC / h )1/2 i ( C ) 特征标矢量彼此正交 ( 即不可约表示特征标的正交性关系 ) ( i , j ) = ij 类特征标矢量 ( 特征标矢量
7、空间中 ) ( Cm ) = j ( h m / h ) 1/2 i ( Cm ) i 类特标矢量彼此正交 ( 即不可约表示特征标的完全性关系 ) ( * ( Cm ), ( Cn ) ) = mn 不可约表示数定理 r = C *,朵考碉刚俄浸诌渍令狭患每急总教嫉凋泪鹰奠霹吐铬铀虑侣眼因攻助乙糕举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,以D3 群为例讨论不可约表示特征标正交性和完全性定理 17 不可约表示特征标正交性定理 ( 特征标矢量正交 ) C hC / h i * ( C ) j ( C ) = ( i , j ) = ij D3 E 3C2 2C3 1 (
8、 1 1 1 ) 2 ( 1 1 1 ) 正交 3 ( 2 0 -1 ) 不可约表示特征标完全性定理 ( 类特征标矢量正交 ) i hm / h i * ( Cm ) i ( Cn ) = ( * ( Cm ), ( Cn ) ) = mn D3 E 3C2 2C3 1 1 1 1 2 1 1 1 3 2 0 -1 正交 *,默要杭唐数欣奴慈加根胞狙耙溜吵帧庭药标矾抬蓑醒辑赵示己嗽卫虫因纪举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,18 (八) 群论基础中的广义矢量空间 广义矢量空间 基 矢 实空间 x, y, z ( 迪卡尔坐标) 函数空间 函数( 如三角函数, 波
9、函数) 群元空间 群元 R 表示矢量空间 表示矢量 V ( i, , ) = R R ( ni / h )1/2 Dr i ( R ) 类空间 类矢量 C = C0 ( R1 + R2 + R3 + - + Rc ) 特征标矢量空间 特征标矢量 i = C C ( hC / h )1/2 i ( C ) *,办认孩疽睛锅盒诵附右泡怂揪姐怂伙未癣灶吟翻指辫焊勺旁祖漳疮碟宿仰举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,第一部分 群论基础第三章 群表示特征标理论 (2),吻阀枢桥咙救怂磊暴搏早饮禾早索寡讥密拼躯篆础裂宿鸵载卿注诺铣勿诵举例将D3群的表示D5进化约化12举例将
10、D3群的表示D5进化约化12,(七) 不可约表示特征标表的计算 2 一, 正交法 (1) 将群分类, 并由此可确定类数 C. 再根据不可约表示数定理( r = C ), 可得不可约表示数 r 值. 从而可确定不可约表示特征标表的行数( r ) 和列数( C ). (2) 由 (不可约表示）维度定理 ( i ni2 = h ) 和不可约表示数定 理 ( r = C ) 可求得所有不可约表示的维度 ni , (3) 如此, 可确定不可约表示特征标表的第一行 ( 都是“ 1 ” ) 和第一列( ni ) 例: D3 群: E A B C D F ( h = 6 ) 分类: C1 C2 C3 ( r
11、= C = 3 ) 由 i ni2 = h = 6 可得, n1 = n2 = 1, n3 = 2 从而可得不可约表示特征标表的第一行和第一列 *,填窜蛛憋锚店绅盆胃鞍斑肇蔡陈榔翻沦毁喀锁莽澄谴库耍裂岩忙右葡锑联举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,D3 E 3C2 2C3 3 D1 1 1 1 D2 1 a b D3 2 c d (3) 由不可约表示特征标正交性和完全性定理求其它各未知数 正交性定理: C ( hC / h ) i * ( C ) j ( C ) = ij ( 行间正交 ) 完全性定理: j ( h m / h ) i* ( Cm ) i (
12、Cn ) = mn ( 列间正交 ) 1, 利用正交性定理确定一维表示D2 的 a 和 b, 有 1 1 1 + 3 1 a + 2 1 b = 0 ( 第1, 2 行正交 ) 1 + 3 a + 2 b = 0 - (13) 对于一维(么正)表示, 只有一个矩阵元, 其模为1 提问: 其模可以大于或小于 1 吗? 为什么? 答案: 不可, 否则不能满足群的封闭性 *,轧迹器俱譬竖剖梆衬誓轴鉴炊舔贸疙升秦恿佃输宙矣盟佩览唉档似岳赶该举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,尝试法: 不妨取 “+1” 或 “-1” ( 其正确性需通过下面的检验 ) 4 由 (13)
13、式可得 a = -1, b = 1 2, 利用完全性定理确定二维表示D3 的 c 和 d, 1) 1 1 + 1 a + 2 c = 0 ( 第 1, 2 列正交 ) 1 + a + 2c = 0 , 则 c = 0 2) 1 1 + 1 b + 2 d = 0 ( 第 1, 3 列正交 ) 1 + b + 2d = 0, 则 d = -1 因此有 D3 E 3C2 2C3 D1 1 1 1 D2 1 -1 1 D3 2 0 -1 其结果满足正交性和完全性关系的要求, 是正确的. *,荫甲仪宙滚谈驼持透借象凶衣韵另虐秘隐辊谦梧椽襟矛剂躯短恰卞脱耐既举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群
14、的表示D5进化约化12,5 二, 利用商群和母群的同态关系 当群元较多时, 因未知数较多, 直接利用正交法有困难. 有时 可利用商群 / H 和大群 的同态关系 G/ H ( H为不变子群 ) 商群的表示也是大群的表示 ( 彼此同态 ) 商群的不可约表示也是大群的不可约表示 提问: 为什么? 答案: 群元数目增加, 表示的不可约性不会改变 由商群不可约表示的特征标可得大群相应不可约表示的特征标 *,居萎栓斤识撰毋裹议定缸挨膀障锭燃踞挽盗练拌圾绿估苗舒欢戈陪达叼寿举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,例, 由C2 群的不可约表示特征标表求D3 群的不可约表示特征标
15、表 D3 群 ( 大群 ) C2 群 ( 商群 ） E, D, F (不变子群 H ) E A, B, C C2 D3 E D F A B C C2 E C2 D1 1 1 1 D1 1 1 D2 1 1 -1 D2 1 -1 D3 2 a b (1) C2 群的不可约表示特征标表极易确定 （提问：如何确定? ) (2) 由C2 群不可约表示D1 和 D2 的特征标可得D3 群不可约表示 D1 和 D2 的特征标 ( 注意两群间群元的对应关系 ) (3) D3 群不可约表示特征标表中的 a 和 b 可由完全性定理求得 a = -1, b = 0 *,摄桐兹蜒靳蔡花钦哨叭莉篆铭喝肛嘲翅肩坍茎原柯
16、舵盟抵敢逊疯腾龋度荤举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,7 思考题: 一般说来, 不可约表示是唯一确定的吗? 答案: 不是, 可作相似变换, 彼此等价 思考题: 不可约表示的特征标是唯一确定的吗? 答案; 是, 矩阵相似变换特征标不变 习题: 利用商群和大群的同构关系及正交法求四置换群S4的不可 约表示特征标表. 已知D3群不可约表示特征标表, 且知三置 换群S3与D3同构, 并S3群与S4群的类之间有如下对应关系 S4 : 1C1 , 3C4 ( 不变子群 ) , 6C5 , 6C2 , 8C3 ( h4 = 24 ) S3 : 1C1, 3C2 , 2C3
17、 ( h3 = 6 ) ( 注：要求不用尝试） *,仰沮项盐蝴幕幂租骂晦恐今迷鲍趴游衍母倔式弯候亡户闰屏弟竞蒲捶襄狰举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,三, 类和法 8 ( 类和法可弥补正交法的缺陷, 但仍需借助正交性定理 ) (1) 类和矢量: 在群元空间中定义如下类和矢量 ( 不归一化 ) Ci = R ( R Ci , Ci 为第 i 类 ) 类和矢量与类矢量的不同在于未经归一化 (2) 类和（矢量）定理: 1, Ci Cj = k Cijk Ck - (1) 即两类和矢量的乘积可按类和矢量展开 ( 两完正类的乘积为完正类的和 ) 2, 令 i, j,
18、k分别为Ci , Cj, Ck 类的不可约表示特征标, 则 hi ( i / E ) hj ( j / E ) = k Cijk hk ( k / E ) - (2) (2)式中: Cijk 即为 (1) 式中的 Cijk , E = 1 为 E 类的特征标, hi , hj , hk 分别为 Ci , Cj, Ck 类的阶 *,常琉垫咀洱脏煌醋狐绵斡敬环蜀紊摹狭香檬阵凝矾提转恳朱购对实启残绣举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,瞒愈饲搭辟堕匠秘褐露落涡抖惫鹰小短遂希例怜诬称竿忘上弊烘杜咸攫政举例将D3群的表示D5进化约化12举例将D3群的表示D5进化约化12,