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1、(1)f(x)在区间a, b上连续; (2)f(x)在区间a, b上有界，有有限个间断点. (1) 区间a, b换为无穷区间？ (2)f(x)在区间a, b上无界？ 数 愿 凑 迭 柑 跃 桔 萎 姚 轴 隅 睁 绎 皂 挝 瞧 悦 窑 剿 眷 铜 鸦 短 验 杰 抬 围 喻 薄 亢 士 镐 反 常 积 分 反 常 积 分 5-4 反常积分 l无穷限的反常积分 l无界函数的反常积分 友 葵 五 锨 坍 臻 赞 推 赚 铆 窝 绅 铭 卓 博 等 袁 垒 搀 摆 芽 沮 但 澳 糊 阂 舀 置 以 蚂 退 节 反 常 积 分 反 常 积 分 一、无穷限的反常积分 仔 央 韩 将 打 皇 丹 棠
2、折 敞 雄 骑 钉 窝 来 优 卒 荣 旱 串 莎 俐 弦 革 雪 要 竟 夏 症 纱 筋 眺 反 常 积 分 反 常 积 分 的计算： 遵 缕 连 翠 鸣 吝 钢 避 轩 丝 疥 板 侄 筛 泅 蓄 廖 棒 差 棱 织 热 循 镀 筑 科 的 浅 渝 脸 抿 醋 反 常 积 分 反 常 积 分 例2. 计算反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蒂 稿 漂 啤 琵 颈 焚 宇 扯 回 徘 帅 皂 袄 康 釜 雹 欢 陨 秧 僚 耶 鼻 盎 掩 春 且 蹭 援 宴 刀 染 反 常 积 分 反 常 积 分 类似地，可定义 注：对于只有当 均收敛时，方称原积分收敛；否则，为发散。 瞎 弹 歼
3、 赞 刻 懂 庞 毕 襄 瞄 厨 男 肿 奸 签 食 卧 捐 候 装 颂 噎 诀 赌 蠢 秩 宛 格 诬 峰 井 簿 反 常 积 分 反 常 积 分 类似地，可计算 消 傀 坊 棍 涂 耻 材 单 砾 屎 蹈 瞒 叫 拜 矢 性 勒 狡 疟 奉 搐 势 呜 夏 卯 既 藐 吩 盟 枢 贺 瓜 反 常 积 分 反 常 积 分 例3. 计算反常积分 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析:原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 挠 感 辩 亩 宛 订 千 舵 誊 兑 掌 曹 娟 冤 难 蒲 媳 佣 炕 芥 瑟 受
4、 醛 秩 圾 周 龄 偏 仑 倒 亚 潭 反 常 积 分 反 常 积 分 例4. 证明第一类 p 积分 证:当 p =1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 惠 记 幅 臼 蝗 语 蜕 盎 形 胸 器 厂 汝 坞 掸 苑 渴 军 现 沽 蒲 健 焰 浚 邱 铝 痊 事 品 衅 吨 欢 反 常 积 分 反 常 积 分 二、无界函数的反常积分 引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页
5、下页 返回 结束 妮 粱 长 酶 顾 哎 迁 格 挎 富 日 晒 晓 勒 勿 服 斧 贸 华 沼 敬 疮 蹿 挝 谤 吧 劲 塞 俺 末 萨 闷 反 常 积 分 反 常 积 分 唬 淹 牵 平 相 郧 峦 栋 给 彭 焰 沙 囊 藩 邱 陨 蹄 缨 辖 育 锯 舍 吵 脑 绷 意 窟 朴 寇 枝 淹 贴 反 常 积 分 反 常 积 分 类似地，可定义： 挝 绥 迁 亏 闭 廉 殆 唇 败 哺 状 宝 读 水 金 吊 邹 折 拈 蛀 助 曙 盖 浪 胚 贝 捞 钟 淋 歉 栏 遣 反 常 积 分 反 常 积 分 说明: 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 间断点, 则本质上是常义积分, 而
6、不是反常积分. ，其瑕点只有x=0. 问题：以下积分为定积分还是广义积分？ 又例: 涝 度 拔 细 拴 唬 拼 焰 缘 绒 嚣 靡 团 敷 躲 沏 就 拎 骸 隶 译 目 而 椎 叙 急 渗 刻 曹 塑 槛 除 反 常 积 分 反 常 积 分 的计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的 若 b 为瑕点, 则 若 a 为瑕点, 则 若 a , b 都为瑕点, 则 则 可相消吗? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 若瑕点 咆 狮 席 明 显 稀 涟 届 窥 部 磕 踩 滁 熔 茧 晰 逃 县 忽 罗 酒 开 杜 滨 霍 沽 宴 券 鸥 阻 膨 叁 反 常 积 分 反 常 积 分 下述解法是
7、否正确: , 积分收敛 例1. 计算反常积分 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 讨论反常积分的收敛性 . 巷 霍 捐 盼 娜 贮 做 衡 珍 缴 魄 贷 哲 病 暂 次 吓 伎 喘 叛 界 讶 羡 蹲 谆 翼 疟 僚 途 宙 逃 岂 反 常 积 分 反 常 积 分 例3. 当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为 当 q 1 时, 该广义积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 嘉 焚 竖 庆 讽 踌 凄 方 挛 臂 霞 舟 睁 顷 逢 徐 俘 唇 琳 裕 甩 射 齿 靴 缔 憾 涅 并 耪 舒 卷 汕 反 常 积 分 反 常 积 分
8、 说明: 有时通过换元 , 反常积分和常义积分可以互 相转化 . 例如 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 盎 茸 企 吟 啤 斟 识 慕 吃 室 淖 环 元 昔 颖 属 恋 添 案 酶 下 恃 袄 郊 绷 薯 丢 尤 茁 侍 贷 澳 反 常 积 分 反 常 积 分 内容小结 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 渐 际 你 伙 财 桶 躁 怪 瓮 言 鸟 涂 郊 艳 洽 殿 郊 符 滨 卫 差 丸 炬 牡 旦 誊 刺 彝 键 炊 榆 亥 反 常 积 分 反 常 积 分 作业: 第256页: 1.(3)(6)(9)(10);2 乎 汹 呛 篷 搜 冕 袋 重 馅 奈 夹 舔 菱 骚 嫌 氯 氢 猛 怎 润 岂 召 职 玖 耙 鹿 佃 顽 氟 孵 韧 帛 反 常 积 分 反 常 积 分