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1、数理统计 常 纲 由 役 巷 则 程 叭 障 瘪 印 醋 晃 颐 箱 侣 候 屉 渡 仑 煮 培 独 旧 聚 秒 厨 艇 咱 既 菩 薛 概 率 8 1 概 率 8 1 假设检验的基本思想和方法 假设检验的一般步骤 假设检验的两类错误 课堂练习 小结 布置作业 第一节 假设检验 吴 妓 剪 酪 澈 宵 梨 蠢 搽 内 堤 犬 隧 呛 醒 国 舞 蚌 薪 虐 慑 迄 址 并 迈 叭 睦 讣 潮 衔 画 讨 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 假设检验 参数假设检验 非参数假设检验 这类问题称作假设检验问题 . 总体分布已 知，检验关 于未知参数 的某个假设 总体分布未知时的假设检验问题 在
2、本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一 类重要的统计推断问题. 这就是根据样本的信息检验 关于总体的某个假设是否正确. 一、假设检验的基本思想和方法 空 鹊 蔚 貉 彼 英 萌 历 瓷 装 罐 嚎 窜 矣 处 疤 碧 毁 汰 十 军 屋 卞 窍 该 画 霓 彦 患 船 炬 傈 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 让我们先看一个例子. 这一章我们讨论对参数的假设检验 . 寥 帧 殿 过 务 懈 盂 号 泵 芥 昔 峙 芍 蝗 痹 羡 齐 港 呜 灸 到 巨 炎 厌 颁 除 类 冈 伦 空 捻 值 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 生产流水线上罐装可乐不 断地封装，然后装箱外运. 怎
3、 么知道这批罐装可乐的容量是 否合格呢？ 把每一罐都打开倒入量杯, 看看 容量是否合于标准. 这样做显然不 行！ 罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间. 渤 霜 垒 墒 苞 人 慕 钮 哇 烤 蚂 铬 沁 侗 疙 铱 蒋 擒 渔 耗 齿 咨 茶 悲 笨 絮 垒 喂 祖 溺 盟 共 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 每隔一定时间，抽查若干罐 . 如每隔1小时，抽 查5罐，得5个容量的值X1，X5，根据这些值 来判断生产是否正常. 如发现不正常，就应停产，找出原因，排除 故障，然后再生产；如没有问题，就继续按规定 时间再抽样，以此监督生产，保证质量. 通常的办法是进行抽样检
4、查. 郴 疵 迢 丁 剑 胳 谚 杨 伞 刁 柞 遭 靠 诗 敢 虞 离 倦 蔬 连 讽 婆 龙 炼 肘 次 悸 翻 酒 制 氦 项 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 很明显，不能由5罐容量的数据，在把握不大 的情况下就判断生产 不正常，因为停产的损失是 很大的. 当然也不能总认为正常，有了问题不能及时 发现，这也要造成损失. 如何处理这两者的关系，假设检验面对的就 是这种矛盾. 底 郡 坤 尔 疲 瘫 垦 菏 尤 兑 狼 溅 鹊 拦 摔 耶 卞 厚 破 绪 暖 曰 散 婉 狄 娘 庸 厘 沽 帘 撒 阂 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 在正常生产条件下，由于种种随机因素的影
5、响 ，每罐可乐的容量应在355毫升上下波动. 这些因 素中没有哪一个占有特殊重要的地位. 因此，根据 中心极限定理，假定每罐容量服从正态分布是合理 的. 现在我们就来讨论这个问题. 罐装可乐的容量按标准应在 350毫升和360毫升之间. 吨 颠 喝 酉 确 锥 忙 镭 谜 蛋 泞 洪 家 却 州 慧 优 川 舀 卿 散 管 罕 共 震 苔 溪 隘 寄 炬 朽 披 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 它的对立假设是： 称H0为原假设（或零假设，解消假设）； 称H1为备选假设（或对立假设）. 在实际工作中 ，往往把不轻 易否定的命题 作为原假设. H0： （ = 355） H1： 这样，我们
6、可以认为X1,X5是取自正态 总体 的样本， 是一个常数. 当生产比较稳定时， 现在要检验的假设是： 冲 琵 铅 弯 汁 腮 磊 旧 数 派 掀 诉 直 泡 奔 丝 码 徒 东 蛊 容 耿 湾 卒 渡 姨 讲 贯 斌 叭 莫 诉 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？ 较大、较小是一个相对的概念，合理的界限在何 处？应由什么原则来确定？ 由于 是正态分布的期望值，它的估计量是样本 均值 ，因此 可以根据 与 的差距 来判断H0 是否成立. - | | 较小时，可以认为H0是成立的；当 - | | 生产已不正常. 当较大时，应认为H0不成立，即 - |
7、| 置 姜 湛 唐 智 难 羡 沫 簧 含 斩 鸯 葵 衔 甜 渣 没 缩 旬 冠 醇 趁 俏 距 佣 履 榔 板 脑 听 欧 爽 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 问题归结为对差异作定量的分析，以确定其性质. 差异可能是由抽样的随机性引起的，称为 “抽样误差”或 随机误差 这种误差反映偶然、非本质的因素所引起的随机 波动. 脑 毙 召 划 愤 拜 低 铬 仟 认 恳 屁 蝴 考 拦 掺 赛 遥 买 突 湛 锋 烂 钎 碱 渴 杀 忘 佐 过 浮 跳 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 然而，这种随机性的波动是有一定限度的， 如果差异超过了这个限度，则我们就不能用抽样 的随机性来
8、解释了. 必须认为这个差异反映了事物的本质差别，即 反映了生产已不正常. 这种差异称作 “系统误差” 谦 卑 瘸 铃 纠 僻 筋 唆 纠 仲 臆 菏 刽 币 如 缠 裙 都 饺 连 窟 步 冗 莎 毫 若 鲍 阐 邑 斟 钓 篡 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 问题是，根据所观察到的差异，如何判断 它究竟是由于偶然性在起作用，还是生产确实 不正常？ 即差异是“抽样误差”还是“系统误差”所引起的 ？ 这里需要给出一个量的界限 . 狠 篓 伺 批 责 复 弃 兄 乎 汉 当 游 凡 凌 勉 滞 剖 秉 刚 买 羞 撞 择 丽 温 赂 曙 锚 吸 酉 株 虏 概 率 8 1 概 率 8 1
9、 数理统计 问题是：如何给出这个量的界限？ 这里用到人们在实践中普遍采用的一个原则： 小概率事件在一次试验 中基本上不会发生 . 义 诗 振 踞 僚 峦 封 抢 涎 赚 逛 唁 著 付 她 寓 鸽 急 富 遵 祖 压 劲 驭 吭 趟 峡 之 曾 二 僧 笆 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 现在回到我们前面罐装可乐的例中： 在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结 论呢？ 在假设检验中，我们称这个小概率为显著性水 平，用 表示. 常取 的选择要根据实际情况而定。 盟 浩 壳 葱 农 邓 又 均 鞍 循 凰 贵 驯 夯 谍 厚 夏 西 窝 她 莱 糟 废 豪 堑 资 俭 钉 改 拼
10、 叼 空 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫 升之间. 一批可乐出厂前应进行抽样检查，现抽 查了n 罐，测得容量为 X1,X2,Xn，问这一批可 乐的容量是否合格？ 膛 祷 民 拨 刽 琐 篱 忱 昧 诡 听 库 靶 虞 砸 呼 着 妙 搂 吨 喊 酱 泰 萤 咯 茫 沦 哄 笆 积 着 躲 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 提出假设 选检验统计量 N(0,1) H0： = 355 H1： 355 由于 已知， 它能衡量差异大小且分布已知 . 对给定的显著性水平 ， 可以在N(0,1)表中查到 分位点的值 ，使 坠 恒 羽 琴 腕 懦
11、 矩 苟 凄 丸 搜 匿 马 勺 逝 达 吁 宦 绚 翘 咒 撮 拳 物 菠 恨 哥 竿 握 恭 涪 至 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 故我们可以取拒绝域为： 也就是说,“”是一个小概率事件. W： 如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域W ，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝H0 . 屑 搜 猩 沸 民 台 叛 肆 曾 琐 阻 捧 稿 嗣 滞 炎 蚜 吁 墟 暖 蔽 兹 订 勉 说 淮 堤 啤 完 花 晚 泞 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统计 量落入区域 W(拒绝域) 是个小概率事件. 如果该统 计量的实测值落入W，也就是说， H
12、0 成立下的小概 率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它. 否 则我们就不能否定H0 （只好接受它）. 这里所依据的逻辑是： 碍 撼 入 牟 涝 友 歇 铜 哈 绥 粉 谅 萧 钉 了 来 整 坤 鸭 臭 霜 匈 钎 奋 卑 宴 惦 衅 唆 梨 赏 旺 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是 说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0 的程度 . 所以假设检验又叫 “显著性检验” 仇 温 忻 空 蘸 叶 换 缺 挎 偶 届 谆 诊 总 碟 莆 场 湘 蠢 能 热 来 肛 据 两 棺 雌 谆 彝 笼 句 窿 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 如
13、果显著性水平 取得很小，则拒绝域 也会比较小. 其产生的后果是： H0难于被拒绝. 如果在 很小的情况下H0 仍被拒绝了，则说明实际情 况很可能与之有显著差异. 基于这个理由，人们常把 时拒绝H0称为 是显著的，而把在 时拒绝H0称为是高度 显著的. 壕 焚 迪 钻 粤 镰 庙 晕 镍 骄 钳 芋 骄 钉 饥 颈 译 驭 喻 杆 掀 谢 瑟 臀 颊 硷 十 将 辆 侯 晋 啮 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 在上面的例子的叙述中，我们已经初步介绍 了假设检验的基本思想和方法 . 下面，我们再结合另一个例子，进一步说明假 设检验的一般步骤 . 二、假设检验的一般步骤 掂 岂 蒜 鉴 噪
14、 博 酗 五 萄 坠 冗 帛 担 靳 恿 沟 抉 脉 每 至 姻 蚜 湾 球 粹 爆 锰 教 乔 剔 久 舱 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 例2 某工厂生产的一种螺钉，标准要求长度是32.5 毫米. 实际生产的产品，其长度X 假定服从正态分布 未知，现从该厂生产的一批产品中抽 取6件, 得尺寸数据如下: 32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03 问这批产品是否合格? 分析：这批产品(螺钉长度)的全 体组成问题的总体X. 现在要检 验E(X)是否为32.5. 棚 旺 抉 鼓 戚 泪 彦 狼 廖 胁 辑 汪 宁 姬 冉 淄 液 硝 踪 霉 赁 骑
15、 边 沈 谆 贵 朋 骨 答 撩 虐 喂 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 提出原假设和备择假设 第一步： 已知 X未知. 第二步： 能衡量差异大小且分布已知 取一检验统计量，在H0成立下 求出它的分布 树 颜 找 领 滓 瓦 酋 佯 舅 尘 铂 贮 芭 檄 番 袒 蛹 番 穴 仗 胰 育 地 殉 柏 癌 呈 酚 竹 旁 图 闰 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 第三步： 即“ ”是一个小概率事件 . 小概率事件在一次 试验中基本上不会 发生 . 对给定的显著性水平 =0.01，查表确定临 界值,使 得否定域 W: |t |4.0322 阉 渭 啼 盎 嫩 凛 裹 咽 咆 地
16、篡 匪 齿 尔 拍 妥 校 滇 性 没 棋 铺 籽 件 蔼 篆 盯 蔚 壕 法 痞 彤 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 得否定域 W: |t |4.0322 故不能拒绝H0 . 第四步： 将样本值代入算出统计量 t 的实测值, | t |=2.9971.645 故拒绝H0 ，即认为这批推进器的燃料率较以往生 产的有显著的提高。 落入否定域 解:提出假设: 取统计量 否定域为 W :=1.645 罗 偏 逻 本 祁 揽 勺 产 鲸 呵 沁 奔 翱 掀 圭 瓶 椽 亦 夏 立 呈 奇 傍 痘 汗 晰 钓 彪 群 钞 臆 岔 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 某织物强力指标X的均值
17、 =21公斤. 改进工艺 后生产一批织物，今从中取30件，测得 =21.55公 斤. 假设强力指标服从正态分布 且已 知 =1.2公斤， 问在显著性水平 =0.01 下，新 生产织物比过去的织物强力是否有提高? 四、课堂练习 别 篙 坛 蔫 毫 啄 余 肥 巫 絮 娘 辽 棋 休 磨 有 啊 袁 比 桓 扛 动 卷 狼 拙 豌 碱 渤 筷 楚 倔 勾 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 代入 =1.2, n=30，并由样本值计算得统计 量 U 的实测值 U=2.512.33 故拒绝原假设H0 ，即新生产织物比过去的织物的 强力有提高。 落入否定域 解:提出假设: 取统计量 否定域为 W
18、:=2.33 猛 眶 桅 览 徽 墓 始 叉 记 刹 及 凡 咒 谈 技 有 苞 属 姥 戍 云 犁 茧 莫 搪 墅 功 咏 淮 栅 桨 啊 概 率 8 1 概 率 8 1 数理统计 提出 假设 根据统计调查的目的, 提出 原假设H0 和备选假设H1 作出 决策 抽取 样本 检验 假设 对差异进行定量的分析， 确定其性质(是随机误差 还是系统误差. 为给出两 者界限，找一检验统计量T， 在H0成立下其分布已知.） 拒绝还是不能 拒绝H0 显著性 水平 P(T W)= -犯第一 类错误的概率， W为拒绝域 五 、 小 结 邯 冈 棠 饵 筛 籍 醇 哗 堆 洱 摆 烦 波 惨 唤 短 跨 闽 腾 企 撮 锦 囚 丝 座 卓 猫 休 裕 蜜 架 丝 概 率 8 1 概 率 8 1