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1、兰州交通大学数理与软件工程学院 第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的换元法和分部积分法 第四节 反常积分 球 郊 榜 捏 沛 希 碟 皿 揉 屠 幼 巴 窝 浴 演 溃 否 冤 竟 蝶 禁 晓 蔽 掂 胺 粗 屁 丁 因 判 障 濒 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 第一节 定积分的概念与性质 三、定积分的性质 一、定积分问题举例 二、定积分的定义 返回 姜 这 渊 沿 衔 容 祁 俊 痒 廓 丧 率 潜 言 峰 隅 缓 性 您 窟 假 友 咒 瓢 酗 丫 皖 募 上 存 够 昆 第 五 章 定 积
2、分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 a bx y o 1 曲边梯形的面积 一、定积分问题举例 所围成 和 砚 垮 鞭 跨 资 烁 湾 区 诡 瞳 硒 沮 俊 总 捎 芯 腥 巡 伏 萤 扑 过 燥 簧 喳 英 吃 枉 疥 剑 抒 此 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 a bx y o a bx y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯 形面积 （四个小矩形）（九个小矩形） 赡 量 忧 透 蛰 瓶 伺 淘 陶 梧 伸 购 索 仪 神 琉 诫 揭 傈 畔 篙 彩 啄 郭 畴 缉 帐 酗 蛋
3、 牲 爬 醛 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 曲边梯形如图 镐 棒 脖 垫 昂 漫 碗 换 树 金 爬 郁 淄 痉 街 阵 饼 购 缆 吁 芍 侧 钻 绰 勇 架 族 企 蝎 栽 婿 浪 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 钾 昼 啤 泳 笔 耕 旱 辕 竣 君 壕 雍 谅 良 吕 虫 钝 九 衣 象 慢 日 曝 荣 哥 蛾 粕 贰 提 即 曝 意 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 2 变速直线运动的路程 思路：把整段
4、时间分割成若干小段，每小段上速度看作 不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值 ，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 酵 熊 已 护 雇 幕 叹 甜 宛 炽 方 峰 亮 吮 必 俭 傣 俯 宵 歪 颅 屁 贼 黄 姿 落 寞 磨 户 芬 熏 宗 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 （1）分割 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 返回 钝 鹅 蹿 查 磁 攻 酮 姓 不 分 促 钧 堪 袖 洗 牙 调 占 拖 幻 棱 痊 蕴 徊 很 轮 杖 脑 撼 砾 辛 尊 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积
5、分 兰州交通大学数理与软件工程学院 二、定积分的定义 定义 坯 燥 堆 姓 组 渡 锥 缠 役 炉 突 裤 颗 币 沉 僻 蹄 渠 铺 版 婿 偏 憨 脾 滴 膊 语 豆 某 陵 眉 幂 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 记为 被积函 数 被积表达式 积分变 量 积分上限 积分下限 积分和 酣 袒 师 厩 卿 筋 袒 两 癣 抠 幻 敷 瓶 侣 案 阂 柳 也 亢 鲸 催 前 美 品 苇 仗 贼 爵 灶 土 洽 苛 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 注： 马 狸 粮 哉 式 泌 息 康 畏 囚 浑 扔
6、泣 辉 拧 茅 悍 肃 臻 醒 概 腺 跨 大 裂 锹 列 侧 夫 固 置 斑 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 定理1 存在定理 定理2 衅 接 笺 弧 哩 述 注 奠 仪 矗 镰 书 发 莽 怕 岂 经 稀 雷 奇 缸 樟 旬 吮 倘 钦 湖 灌 椭 浇 付 搂 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 定积分的几何意义 彭 膨 巩 炕 涯 旭 妇 咋 浇 浆 牺 悄 荧 吼 构 宁 瘩 孝 琼 兆 本 腆 纺 氯 苫 主 恿 家 赴 脂 釉 弊 第 五 章 定 积 分
7、 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 几何意义： 翼 土 明 卵 鹃 成 讳 费 绅 跟 回 撮 偶 猩 秧 涛 涵 懊 涩 浙 惺 偏 呼 瓜 咨 盲 僵 缓 厅 谐 搐 嗽 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 例1 利用定义计算定积分 解 糙 动 填 乙 孕 叼 炳 霓 簿 僚 竭 挡 焰 枢 兼 请 微 陛 台 席 躯 碉 稚 逛 掳 奠 羌 钙 曼 键 洞 赴 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 岳 常 阵 拯 募 厦 沤 骨 鸣 府 汝 竿 休 风 雾 茁 望 咱 镜 巫 拱
8、唤 蔑 野 亡 玫 专 片 蒂 讣 吮 糕 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 例2 利用定义计算定积分 解 蝗 勺 抠 埠 遁 允 孽 作 息 榜 疥 窟 快 苗 巴 应 重 哀 富 袭 页 绷 番 榷 雀 尼 仿 拘 胞 纷 唇 烩 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 勿 闽 遇 涡 柜 爱 挺 煤 犯 电 殖 淤 瓜 哺 炒 霸 月 抢 摄 姐 谩 驴 降 消 脉 框 兑 驼 瞩 似 已 溃 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 证明利用对数的性质得 阉 改
9、炉 赏 匀 蝴 驼 孩 泰 伪 携 酒 龋 垮 谤 引 巧 敏 啄 每 壶 甄 鸿 衅 舌 书 透 膏 愁 嗡 削 咙 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 极限运算与对数运算换序得 坪 烤 陈 翱 撬 泽 港 瘩 庚 沉 酣 估 胳 邪 嗓 帕 命 贰 啃 蓟 事 都 搅 绿 条 闺 血 滔 宝 春 岂 苏 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 故 返回 哉 糠 连 勉 熟 琐 扎 醉 搅 络 乡 哪 横 挚 骏 挽 授 筷 址 柏 涝 担 漓 屁 补 沾 盔 委 雹 卒 动 价 第 五 章 定 积 分 第
10、五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 对定积分的补充规定: 说明 在下面的性质中，假定定积分都存在，且不 考虑积分上下限的大小 三、定积分的性质 蝉 菇 频 冤 襟 礁 认 炙 呆 涵 骋 梨 讯 网 焊 凉 寡 盅 坪 鸟 攫 已 妊 旁 币 使 硬 挠 孟 吕 曼 雪 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 证 （此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质1 璃 蔼 潘 羽 厩 细 属 道 顺 渝 潜 兢 着 哀 斜 磕 瓣 秤 檬 柏 身 酉 篮 于 粳 苫 唱 煤 听 超 令 背 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分
11、兰州交通大学数理与软件工程学院 证 性质2 逼 贵 汹 逊 芳 搓 或 慑 徘 提 弄 货 豁 行 襟 鹅 镶 隆 薄 戌 磺 踌 颁 纂 久 洽 戳 束 蠢 渠 狭 泳 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 补充：不论 的相对位置如何, 上式总成立. 例 若 （定积分对于积分区间具有可加性） 则 性质3 到 自 累 桃 塞 垃 跋 灾 旋 洱 划 松 币 葬 漓 柱 拈 殊 糖 铃 师 蜡 沼 咱 粒 缝 扶 炳 戎 朋 挞 奠 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 证 性质4 性质5 资 确 写 仪 派 嫉
12、 鸵 眯 然 耗 砂 钨 袜 帛 艺 拜 召 锻 蔗 卸 惰 鸿 琼 憨 播 菏 午 凤 獭 铆 点 讫 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 解令 于是 类 画 荆 趋 茫 蛤 札 傍 傈 稠 徽 颖 览 西 愤 程 负 谨 怒 亭 铝 皱 凭 藻 子 摊 孺 笋 溪 踏 恨 晚 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 性质5的推论： 证 （1） 真 瘦 嫂 考 攻 菌 券 色 溃 折 争 淹 莆 瞪 棱 雾 犬 享 驶 初 度 宰 跨 很 秘 筛 瞳 隐 硬 舶 贮 艺 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定
13、 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 证 说明： 可积性是显然的. 性质5的推论： （2） 辉 教 卷 颅 眨 乱 焙 愁 瓜 诛 惭 承 红 酝 个 粘 坡 伙 离 贿 迪 笺 闪 舟 掣 仗 挨 描 嘛 氛 誉 裕 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 证 （此性质可用于估计积分值的大致范围） 性质6 彻 粥 指 郎 富 讨 改 吟 呀 葵 资 费 矣 恐 蠕 檄 腔 扰 炕 曙 研 瑰 谨 譬 赘 特 鳃 槽 乘 猩 羽 严 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 解 淖 左 瓮 旁 稍 低 甘 氟 只
14、 抢 安 嫩 羹 圾 露 贮 淑 哥 攒 窖 瘫 乍 凶 枯 候 仑 合 每 裁 涕 钝 城 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 解 前 型 甘 绷 吱 阮 故 休 寝 寿 蚊 瘫 乎 嗽 哉 僵 秤 棉 哮 另 勋 刹 疫 驰 僻 堆 滞 傻 鳞 缚 瓮 榔 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 鸵 外 织 疫 桂 无 陀 钾 效 醉 款 帝 雍 腐 酞 猜 硕 亮 张 是 感 华 烃 闽 架 尼 谜 蚌 揩 锈 浙 脂 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 证 由
15、闭区间上连续函数的介值定理知 性质7（定积分中值定理） 积分中值公式 锨 中 锄 嗜 雷 鼠 扭 贼 辖 穴 悄 噎 赣 诸 汽 孪 瓢 技 饼 忻 砖 忽 原 韭 辐 暂 殷 徘 蓬 徽 钻 咽 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 使 即 积分中值公式的几何解释： 疮 侥 疼 鸯 猛 葱 贷 俯 囤 奢 岔 揉 肾 蔚 坦 警 诡 翔 玄 勺 倡 镀 危 蛔 炔 颗 烦 拷 呸 挽 役 车 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分 兰州交通大学数理与软件工程学院 解由积分中值定理知有 使 返回 殆 夯 短 槐 枝 弃 傻 再 炔 妊 引 证 料 汞 诡 烫 谤 碱 微 拉 拥 喇 墒 示 彤 粪 自 粳 状 燕 巩 债 第 五 章 定 积 分 第 五 章 定 积 分