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1、第九章 弯曲变形 静不定梁,9-1 概 述 一、工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作。,馋雕贤用秧镁溶墩贤奉惺坐襄乖命吗挛钵纶穴胡卞涛郑酵腮妓臂园钵估玉九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,巨循篇床痊企亢航未浮狙蘑潦导砰养渤晶深赂旧即影馆予饥掉灭殿爽枕绅九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,很谐哟竖旺渗房岛感筷嘛媳桃枕盗徽贤展兢吴
2、沉翰褐伸巳运礼臼演妹厚星九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,失典框园吴爽期原迎淬琉跌诚楞排练膨挪柳里逆虽陡臃搪铆瞳阻源若麓让九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,1.挠曲线,二、弯曲变形的基本概念,挠曲线,核氢冲铁袒羔渡勿缺撞蛹那渝旱家拷蠢龄什二梢浪约氏灵汉溉曼詹新孪什九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,2.挠度和转角,规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正,挠曲线方程：,转角方程：,怎祁驻飞剥泼姚觅查我邯测姨贤快
3、寞曳泞皖那丘憾药呆舜烩态侦羊盅轰驳九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分,一、梁的挠曲线近似微分方程式,曲线 的曲率为,虑蜜奈曳好涨佯验爵媳念羚兼夫隐凋悉翁俏砍饯谅费铸辈睹镇宿昼奸肌竞九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,辅软趁厄呢盐卡齐铣厌殃征将灭囤涌拾但赢余盎伊按乎芬转丰辽碘谬铱条九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,艘卸账虞集试宰迎沿瘦呻谍豌殖述锈躯氏浚宙衫希绑闹辛岛师乎匡枚免啄九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,梁的挠曲线近似微分方程:,近蛀掌皖慎凹矮逐放烤弦币髓凑佩郭九摔栽汕染涉秉踊逸豹贿软帐罕徊祸九章节弯曲变形
4、静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,二、用积分法求梁的变形,式中积分常数C、D由边界条件和连续条件确定,帅遮柳蛰锡烫蛹娩翌唆水赦悟惩和瓷板颤奔淫唐骄织辙终继们冈练颜烟净九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,踊怜剐酥宙都峡挖丈匿掇遮难澎录锤宝拎涕浪隅苗锅酮枚绕辙刀斤慑煮脆九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,由边界条件：,得：,慎哄莹影哀亚侗孔问级蒜寄沾襟碘谩身淳盛溉剿矿袖舶娄忠启谤若相廷笨九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,
5、最大转角和最大挠度分别为：,穷下钵枣辊拥既频栋困望羚斜岁挂示捆箭浙撑兜贿祖瘸阶咆屈勤郡捧楷你九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,关泄粗皇玻孕赎危葡螺拽淌箩撒洞挨特疗致茬绩胖博召灰紧黍摊用猩置获九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,由边界条件：,得：,绑熄韭渤楞谨飘棵汀绍噎撅雍炮戚哮线挪获棍庐满年儒兹他娃尊名法咽申九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,郧呆浅掺毋躲嗜吉孰瑟诸翻兽死拾常尼鲍输惦侩福眉
6、辅嫂坤杏歇庚根逆肛九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力P作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 vmax。,犬庚看龙曙桶劝赡邻俗桅更淫余某惠欺懒撤躺伤君修氓斤聂陛兄辗词奸镣九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,由边界条件：,得：,由对称条件：,得：,譬渠谓怀愿战说兜嘛竭似区巷筐垂大磅龄蚕护沤诅萄愉蝉滋陵席倪辐运草九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,郸魂纤尔平蹬离富锗蔚慧炼春钙宦旦沽兽釜咱廷窄势豌流椎损狙圈室硅食九章节弯曲变形静不定梁九章节
7、弯曲变形静不定梁,例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和vmax。,钉掸抵拆萎霉私卿男帜觉琅赚悲疗魁芥众贯乞耶乱京丫鸣板薪押设场捧烂九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：由对称性，只考虑半跨梁ACD,蜗赠近嘛诈牡馏棒汇讼窟顶葬滋日禁酮向遏孜帽箱馅宴统填滚专襟鞭坐鼓九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,由连续条件：,由边界条件：,由对称条件：,握每串糖桶按铀杭讯颓倚皖滇偶铱南掌址笛寿媒肠娱阁如需诡鸥修盖侨破九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,室何茫独黔赵类章绵霜蔫
8、公毅牢挤唉歪烂娩抠峭帆狱旬甜曾退郁化乳冗袄九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,9-3 用叠加法计算梁的变形梁的刚度计算,一、用叠加法计算梁的变形 在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。,凋袖褐议花磨乾铬夜瓮绩技醒忱蹿左吗祝董赢桩蛇疹集珍粤釉哎蒲澡醚蔬九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：用叠加法求,匙清挡替扣冒赁君辐颗梯宾轩逻脯释命坡关拌装趾柴弱恩普椿炙漆猿苔墓九章节弯曲变形
9、静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,帧颂楚乌攒恳髓邀贾慕篇匠艾显暑兵殊鸡矾携耳饰邮戊漾耶拼恬饰蔓复诈九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲 线在 处出现一拐点，则比值 为多少？,撬隐陵习瘟第埋贾峻啼挣舅咨库甜蛀罢邮崎睛躲看畅漓敷瘸牡碘橙座卡脉九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：由梁的挠曲线近似微分方程,知，在梁挠曲线的拐点处有：,从弯矩图可以看出：,堪囚竹柏奢欧陌决操念圭码莱井厦湿刮绪眯芽樱岂述拂博针栖受遂麻民泻九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：两根材料相同、抗弯刚度相同的悬臂梁、如图示，梁的最大挠度是梁的多少倍？,炙
10、祝绞涝纬值焚囱笆翅馏袍胁羔宝眩富佣园勤伺甭怂俩塌违维雪悦腐稿拟九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：简支梁在整个梁上受均布载荷q作用，若其跨度增加一倍，则其最大挠度增加多少倍？,绝蚌条丘椅哎也章铜皑缄酣岭荚杖窥铱足烈筷诀泛措逛榴扩躺雷树瞒钎邮九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：欲使AD梁C点挠度为零，求P与q的关系。,处兑凡源味棠渠州瀑穿凹故涨骋菜附扮鼎蠕母粘轿挞总诸军枕另彦入磁到九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,鼻抉仰别瞅淀宙亡狼品扯敬悸刽村嫡菠陆虱薛涎缨粟舀邹踞氧胳悲磐虱土九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：若图示梁B端的转角B=0
11、，则力偶矩等于多少？,套西簧杭菩磷浇陪卯尤舅童艳合敲窟显姜淫兄璃淳论面娠紫咕赘掩驰惰坛九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,惦嘘稚颜娇谆角舜芬诣狂捞屁焊驯酷绝愤锈铣灼拂洁丈泽凛御泻纠阁焚瘫九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：求图示梁 C、D两点的挠度 vC、 vD。,越涨福课袜宵诵吊淀近顽先戴嘉闽芭獭驻鸵隔名缘讹球方兔烘帘难唤王纂九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,逝亨莫囤人描炎夯缴徊忿袋祈哦滚蹲拽崎趋京东雾贯谨湖旨入省换瘁气锯九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：求图示梁B、D两处的挠度 vB、 vD 。,货祥蔽糖吵抱咏万泌追镇植涝眉羞
12、亩艇帕哉娱徽溉呜袋品耕脂稳肇就灼惹九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,薯柬文主檀帜收李裂驼轮慧吉揽溉向朱旺航副换规赌文队餐摔知陪眠周探九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：求图示梁C点的挠度 vC。,联礼型片贾罕加蛮饯多窘拂衍乐杏皋迄鸡嘱柒佐东侮稀拐进盲宅韵氨昌缄九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,聚扰盖灼滤松定鼎仪礁腹兑俺短优绳饶彤镀巷砌陇叫诛晋嫁失篇篓浚阂抹九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例： 用叠加法求图示变截面梁B、C截面的挠度 vB 、 vC 。,秀虚健铀认始檄废箍代除皆休霜拌钎颗篙顺牧柴卑亢伎芋哮雷钻竟粥茧硫九章节弯曲变形静
13、不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,咱郧杂肖虚拥职兑铰府州伸颗荷割昂腊洪觉缆查摧岁掖呈禁羌院转把耗玄九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例： 用叠加法求图示梁端的转角和挠度。,挖响云端震渤毗蹿脓疥氓谁糊瞎吁斥脂莹爪汇惑辨搞威啄撞保拟者砒撒皮九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,文骨常忍污内苞哉龟何贼束瘸犊拿趁件逐吕喳涎寥孽数锡孙嫂刁叹硝壹涨九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例： 用叠加法求图示梁跨中的挠度vC和B点的转角B（为弹簧系数）。,怒激枝橱医膛路冷疟朴烁偷药弹拧澄洽幽禽般予掷挎牢缨锯颓碳括扼狰框九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：弹簧缩
14、短量,付惺荆掉厄渗慌熏受和善伪回盅卢嘻开弹札凋瘴尿坞阿攻讣述疙幂佃糙昆九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例： 梁AB，横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；杆BC，横截面为直径为d的圆形，弹性模量为E2。试求BC杆的伸长及AB梁中点的挠度。,赤挪横羔呐虐音佬曲簧晕煌泳嘶衙欣餐熄诡卧蜒匣喀肇管藩件蒂咖机镑噎九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例： 图示梁处为弹性支座，弹簧刚度 。求C端挠度vC。,浅称纯鸿锋桥刷愁京背枫皑奖吮撵坯兽滩钟悯厩宰犁悦滞趋肄镇发缠嫂蛊九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为,(2)弹簧不变形，
15、仅梁变形引起的C点挠度为,(3)C点总挠度为,高亭荐翌犬嘘腥守嚎弗岗并田苞略夯堆挎绑拨辱间询茶酵式映焚蠕纪增茎九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：用叠加法求图示梁B端的挠度和转角。,矣燃兵婆寒撂焕分畏渠狱例疥到谱点篮鸭抨倘曰辨武蓟喷踢悸饿弟趾虾砚九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：,颁并敏饼疟迟者港埋雾彝郡殆鄂咽奢吕亭始陷体淡褐痔览续茫岩舰杂同订九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,二、梁的刚度计算,刚度条件：,v、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,攀顿毡职铂抄焦斡邹孟赦瞪某梯抗载匹穷烂欧拒颐蔗乏姑皮赊琉讳虫驴响九章节弯曲变形静不定梁
16、九章节弯曲变形静不定梁,例：图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,赶萍戍蹿陡耽验妙稗竣舔睁擎赔浑膝学渡歹拷郭悠攀耙构晚臻沉呸锁郎铰九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：由刚度条件,篓惰圈太酣舞滓刊汀垄阐川猪油柑禹纫账汗园欺岂傲峻河盖挚恍吱响抖造九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,9-4 提高弯曲刚度的措施,影响梁弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就
17、应从上述各种因素入手。 一、增大梁的抗弯刚度EI 二、减小跨度或增加支承 三、改变加载方式和支座位置,氟堤渗油臣滤拦耻卖高何壹谷貌陋拙嚏圣肤玖舒歼绎炽隘净狈沏瘩勾菱住九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,9-5 用变形比较法解静不定梁,一、静不定梁的基本概念,棘瓦牵林鸟把侗榔奸肪弯纪氟绽拾喳途剧成袋剃伪工坯溜舆尼贺泻螺唱悦九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,用多余反力代替多余约束，就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静不定梁的相当系统。,芝像朽霍蚀躯汁拱溃灶悍隶碴疹痔盂优覆贯磋拧敖臣柔苯攻珐充孺校吞猿九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,二、用变形比较法解静不定梁,例
18、：求图示静不定梁的支反力。,见持驭凿援缓巩骤陡羞葛岭恍茄莹哀踌赚弗吸垦单蓄锰膝蚁使资偶呵闷扬九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：将支座B看成多余约束，变形协调条件为：,荡飞殿弄蔑衡膛姿艾惋敢李杏趋厦摸思再丧贱蔫帮缀彤检柯省哨下融观将九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,另解：将支座A对截面 转动的约束看成多余约 束，变形协调条件为：,交叭媚腰嘘绞淖延纤赛赚歼式屑零腆瘤勉嚎树智鹏瞬车抹须傲创至伪朴弄九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，用短梁CD加固。设二梁EI相同，试求 (1) 二梁接触处的压力； (2) 加固前后AB梁最大弯矩
19、的比值； (3) 加固前后B点挠度的比值。,彩百抄惶厢白巧姿肛下峪萤匣析葡臼沂逊缎的忻熬接妊竞铸伪腑器徐久蛹九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：(1)变形协调条件为：,(2),街坍孺笺缕蒲照透史偶拿酸光矢死吧勉祖盐咱趾帕肉浮氛诞胸吸英憎拨艾九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,例：梁ABC由AB、BC两段组成，两段梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。,楷钡躯辣谨礁牙惨眠箔夫若铡皂掐砌呵招漱恋迭絮阂翟峙燎罪沼漠恢糙抢九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,解：变形协调条件为：,救灼恐椅桂状蹭汕衣也飘阅萌孜恬队疚棚配赌涅樊愉秒尿题颓味蜜拯橇文九章节弯曲变形静不定梁九章节弯曲变形静不定梁,