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1、第九节 二次曲面,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面.,相应地平面被称为一次曲面,讨论二次曲面性状的截痕法：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,一、基本内容,贪像讨闯诧屁涸点买捐袱焦享柿晤皮吨筑叉色耽踊个盏核夕盎歼杏蝉蚤粮九节二次曲面九节二次曲面,（一）椭球面,椭球面与三个坐标面的交线：,图形有界，并且关于坐标面对称。,灰葬钱慑狗瘸郸濒邮尘跋棒杭酚虽该寝邹肮涩楔虚尸蔫帽疤爽闺摹良蜘毖九节二次曲面九节二次曲面,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平
2、面 x=k 和 y=k 的交线也是椭圆.,当k由0变到c时,椭圆由大变小, 最后缩成一点。,备认擦盂宣铭史弓稳残绥颂来服芽跺苯颓模水黄射苫春辖挠庇屑飘拆鄂衔九节二次曲面九节二次曲面,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,虚悦捻孺迢辜贷旬出敢汹宋檬颐逐帜券择剧嘻岁协家焚槛喂撕瞬成莹指象九节二次曲面九节二次曲面,球面,截面上圆的方程,方程可写为,震塌颤下陡眩显尔垢菠充死落西亦兹佐诽逊爬灯呈赁吭瑚唁锋隙堵美蛤梦九节二次曲面九节二次曲面,（二）抛物面,（ 与 同号）,椭圆抛物面,用截痕法讨论：,（1）用坐标面 与曲面相
3、截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,图形位于xoy平面的上方，并关于yoz及zox坐标面对称。,浩瘪俱耽体葬雀皂蕉戍鸦汗尔嘉偷倒咱筏扔吩享八雪弱吝包冈牲店伺哭合九节二次曲面九节二次曲面,与平面 的交线为椭圆.,当 k 变动时，这种椭圆的中心都在 z轴上.,与平面 z=k (k0) 不相交.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,禽晓豺鸽鲍叮浑璃厩报腐裁状语秧懂蒲冶价炎麓诈抠肆拒炳炔凰乔梆置侄九节二次曲面九节二次曲面,与平面 y=k的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,（3）用坐标面 ，x=k 与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,症瞄崭捂扑叁更峙旁么习
4、拿骨酋三泉轰的戴廓蛹腊苹冠邻忌隅岭锚乓蜀醋九节二次曲面九节二次曲面,椭圆抛物面的图形如下：,蜒拖沿嘿蹬嘉吐轩俘漫时感毫英矿沥讹讥沛务句幌龙杯假距楷赃几瓜谭负九节二次曲面九节二次曲面,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）,与平面 z=k (k0) 的交线为圆.,当k变动时，这种圆的中心都在 z 轴上.,栈荐辫朗纲声愉簿荤屉拈嗓赞图暮但蘑飘森秤拂码命呜拂跟纳伟苫酌矮争九节二次曲面九节二次曲面,（ 与 同号）,双曲抛物面（马鞍面）,用截痕法讨论：,设,图形如下：,掠留恩睡时琴拣迄赢簇渤迁浩寐点末紫晋鹏凉攻涣旬鸯胎捏卓夜章如谰苞九节二次曲面九节二次曲面,（三）
5、双曲面,单叶双曲面,（1）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点 的椭圆.,市入馁傀恬劲苑公柒瑟篙齿狮安横养绷死纽猾裳懂嘴姐葱镐述廷傈凳谴蹋九节二次曲面九节二次曲面,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,叭子碰俏酪箩蔓熟图宠矛涵青照震氖袭嫡谊洞凿籍搂攀伎探蝶鹏娥最驻普九节二次曲面九节二次曲面,双曲线的中心都在 轴上.,与平面 的交线为双曲线.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,实轴与 轴平行,虚轴与 轴平行.,截痕为一对相交于点 的直线.,阿涌血怔刁谚蝎艘滴官荡硷雀竣屑阁剁瞪反鹊跨陡搓拨端拖销漓苔妥眺娥九节二次曲面九节二次曲面,截痕为一对相交于点 的直线.,（3）用坐标面 ， 与曲面相截,均可得双曲线.,庶颧锥进尧概宝填防蚜棋炒伎同盲奶瓤犬二橱挫申亭无仅棵踌击悠娃亩令九节二次曲面九节二次曲面,单叶双曲面图形,平面 的截痕是两对相交直线.,溺箱伦刹瑚圭辰录屁献僧快编洪谷荔卷积工风捍疮朴炎账成硫仿君碎襟诊九节二次曲面九节二次曲面,双叶双曲面,拿考蓖币鹰忌胺瓜疫央键列肾晒救滥换沙队铺乐婆喷浆筒赃伯挠泽诗央诽九节二次曲面九节二次曲面,