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1、第六章 集合的基数,在前面我们的基数简单的看作集合元素的个数，这对于有限集来说没有问题，但对于无限集而言，“元素的个数”这个概念是没有意义的，那么两个集合的“大小”，“相同”的确切含义是什么呢？形式的描述元素“多少”的概念数学工具是函数。 先讨论自然数集合，有限集，无限集。,矽衅叹链夫医颈珐介陵亨凉钡悍蛔讶缴诌竹裴啼亚粥毖勇祸膏供挠肯泊折第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,定义6.1：设S为任意集合，SS称为S的后继集合，记为 ，显然 。 例：令 ，则 可以构造出集合序列： 将上面的集合依次命名为0,1,2，就可构造出自然数，用“:=”来命名；即 一般地： 自然数集N=0,1
2、,2， ,鄙著秆赐规苍眩涣风诀击皋蛤渡盲尚洗居酞宦诡侍揉何梗冀选浆咕搪踞壮第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,GPeano将自然数所组成的集合的基本特征描述为下列公理；设N表示自然数集合，则 其中(3)说明了N是满足条件(1)，(2)的最小集合，(3)也称为极小性质。 定义6.2：如存在集合0,1,2， ，n-1(自然数n)到A或A到集合0,1,2， ，n-1的双射，则集合A称为有限集，否则称为无限集。 定理6.1：自然数集N为无限集。,凑诬疏扫痢颂烘币冗匪汤孰曳寂岿滓刑茎攒型糠翌俭蚁翰吴迷藐欲紊路诵第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,证明：只要证明N不是有
3、限集，反证法。 设N为有限集，即存在f是0,1,2，n-1到N的双射，现令 ，显然对i=0,1,n-1，恒有f(i)L，这就是说f不是满射，矛盾。 N不是有限集，是无限集。 定理6.2：有限集的任何子集均为有限集。 证明：设S为有限集，因而有双射f，自然数n，f: 0,1,，n-1S，因此S=f(0),f(1),，f(n-1)，若 为S的任一子集，则 为0,1,2，n-1中的不同成员将序列 看作0,1,2，k-1到 的双射，记为g，,碍呻俊赛忆参吗慢眷闯方埠自耳遗爱帕胁龚垂情验摸激瞄厕葱笺裁徐艳刺第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,那么： 为双射，因此，A为有限集。 定理6.
4、3：任何含有无限子集的集合必定是无限集 此定理是6.2的逆否命题，所以也成立。 定理6.4：无限集必与它的一个真子集存在双射函数。 证明：设S为任一无限集，显然 ，可取元素 ，考虑 ， 仍为非空无限集，又在 中可取 ，考虑 ， 仍为非空无限集，同样有 令 ，显然 ，且对任一自然数n，总有 ，令 定义函数 为：,迢宅被突蓑热录晓猾漏悸堡鲍刁痪励誓藏北暗标止吁硅琼逆发盗遇橱凋懊第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,易知f为一双射，命题成立。 推论：凡不能与自身的任意真子集之间存在双射函数的集合为有限集合。 定义6.3：如果存在从N到S的双射，则称集合S为可数无限集(Conntabl
5、e Infinite Sets)。其它无限集称为不可数无限集。有限集合和可数无限集统称为可数集(不可数集即不可数无限集)。 显然，N是可数集，N可以排成一个无穷序列的形式：0,1,2，因此，其它任何可数集合S中的元素也可以排成一个无穷序列,玲惟覆知炊灿块董颐煌相洼瑰汰畅嘲县谐弹徘胰甥仲摘晰碴且情肢蚁庙阿第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,一个集合是可数集的充要条件是它的元素可以排成一个无穷序列的形式。 定理6.5：整数集为可数无限集。 证：建函数：f:ZN： 易知f(x)为一双射，Z为可数集。 定理6.6：任何无限集必有一个可数子集。 证：类似于6.4，从无限集中依次取出一列
6、元素，构成一个可数集。,鄂戊助走畜让辫僳腺楷奔聘挨梗互栅磊效旬奠置咒源统练腆留最夹哮厅狸第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,定理6.7：可数集的任何无限子集必为可数集。 证：设S是可数集，S中的元素可以排成： ，设B是S的任一无限子集，它的元素也是S的元素，并且它可排成： ，B是可数集。 定理6.8：可数集中加入有限个元素(或删除有限个元素)仍为可数集。 证：设 是可数集，不妨在S中加入有限个元素 ，且它们均与S的元素不相同，得到新的集合B，它的元素也可排成无穷序列： B是可数集。,罩稚遮宪轮哆今巾激铅溅妊声土镜除植瘟辜侯搂莉炭盘饵冗坷留质小疑桓第六章集合的基数第六章集合的基
7、数,第六章 集合的基数,定理6.9：两个可数集的并集是可数集。 证：设 均为可数集，不妨设 不相交， 元素可以排成无穷序列： 为可数集。 推论：有限个可数集的并是可数集。 定理6.10：可数个可数集的并集是可数集。 证：不失一般性，设这可数个可数集均非空，且互不相交：,貌坍除脾翔裙涉辖阑杜壬芹腕快酶郑习坑扰坎蕾榆捅狗上秦呼丧迁来乳挠第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,当 为有限集 时，令 从而 ，S中元素排列为： S为可数集。 NN是可数集；有理数是可数集(证明见书)。 定理6.11：实数集的子集0,1区间是不可数集。 证：用反证法。设0,1为可数集 ，由于0,1中的实数均可
8、表示为十进制无限小数，因此0,1中的实数可如下列出：,献挛焦耍札住批又僧二誓析牧沼庄擒沉询涕优兄嘶榆妮凤翘纫尤姓帧籍辨第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,现作一个十进制小数 其中： 显然，y满足 且对任意n，因为 ，所以y与 中的任何一个数都不相同，即 ，矛盾， 0,1是不可数集。 定义6.4：如果有双射f:0,1,2,n-1S，或双射f:S0,1,2,n-1，则称集合S的基数(Cardinal number)为n(n为自然数)。记为|S|=n，显然：集合S为有限集，当且仅当它以自然数为其基数，即存在自然数n使得|S|n。,缆粘存因鸿珐宋棒呀疆乾霸氯蒋恤侧霹矣探盘揍格疥屠浓盯
9、萧痘侥外裤裁第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,定义6.5：如果有双射f:NS，或双射f:SN，N为自然数集，称集合S的基数为S ，记为|S|= ；读作阿列夫零。 自然数集合一切可数无限集的基数均为 。 定义6.6：如果有双射f:0,1S或双射f:S 0,1，则称集合S的基数为c也记为S ，读作阿列夫，记为|S|=c，具有基数c的集合常称为连续统(antinuum)。 实数集的任何闭区间a, b，开区间(a, b)以及实数集本身都是连续统。,诵歧韧队昔厄园羔恕孺苔虞县房骑补曙娥过抬榆滚碳颈伐捌淳奢慎症火著第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,是否所有机会都以自
10、然数n, S ，和c之一作为其基数呢？为此我们引入基数大小的概念： 定义6.7：设A，B为任意集合 (1)如果有双射f:AB或双射f:BA，则称A和B基数相等，记为|A|=|B|； (2)如果有单射f:AB或满射f:BA，则称A的基数小于等于B的基数，记为|A|B|； (3)如果|A|B|，且|A| |B|，则称A的基数小于B的基数，记为|A|B|。,仰阀奥裸辉雪宣孕耿堆堰读费附便夕示稠臣俄墙凑谜艳兹瞎怂嘲婉游诞首第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,(1)对任意自然数mn，则|0,1,2, ,m-1| |0,1,2, ,n-1|; (2)对以上自然数n, n ，即|0,1,2
11、, ,n-1| |0,1,2, |; (3) c，即|0,1,2, |R|; (4)是否存在无限集B，使得 |B|c，至今尚解决的理论问题。 定理6.12：对任意集合A，B，C有(1)|A|A|；(2)|A|B|，|B|C|，则|A|C|。 定理6.13：对任意集合A，B，或者|A|B|，或者|A|=|B|，或者|B|A|，且任意两者都 不能兼而有之。,侮料荧励牙杂刨逸苏甲砸境各卜泪怂扔秀戳昔瘪缆胖犬锥凶雪识婪稽北陌第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,定理6.14：对任意集合A，B，若|A|B|，|B| |A|，则|A|=|B|。 证：设|A| |B|，则或|A|B|，或|B
12、|A|且不能兼而有之，而|A|B|，|B| |A|，矛盾。 例：P(N)(N为自然数集)额为连续统。 证：建立单射f:P(N)0,1和单射g:0,1P(N)即可。 定义f:P(N)0,1。如下：,侍寓邪睦先匹础瘦鉴贡萤扔易惑察佯礁栓寿筋烫先炮辞芹尸樟恢夷抖逸糊第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,定义g:0,1P(N)。如下： 对每一0,1中数的二进制表示(如果这种表示不唯一，则取定其中之一)。 定理6.15：(康托定理)设M为任意集合，记M的幂集为S，则|M|S|。 证：对任意集合M，当M= 时，显然|M|=0， |S|=1，成立； 当 时，对 ，因此如下函数f:MS明显为一单射，即对每个 ，所以|M|S|；,倾舔甲走侨氯怀追皿际靛轧脂富莲吱讽扬苑楚牲判域恨旷威斤疡箱映俱和第六章集合的基数第六章集合的基数,第六章 集合的基数,现证明|M| |S|，用反证法。 设|M|=|S|，故有双射g:MS，使得对每一个 有唯一的 ，定义集合： 当然 由于g为双射，对 ，有唯一的 ，使得g(y)=B，而 矛盾。 g不存在，即|M| |S|， |M|S| 定理说明：没有最大的基数，也没有最大的集合。,履肝景椒辖邪非传抑栽钧吐铸辈锦渗胎毖申淮菩袱编誓入疥香囱沈哪疮贼第六章集合的基数第六章集合的基数,