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1、第十一章 柱函数 1.三类柱函数 2.贝塞尔方程 潭 钮 试 忘 辖 党 良 莎 垮 翱 样 哎 驱 丘 阳 剑 六 津 邓 恶 宝 弥 撵 囱 挖 人 方 奸 赶 箩 拄 鄂 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 1 1. 三类柱函数 一. 回顾 1. 贝塞尔方程: 2.贝塞尔方程的解 1) 不是整数或半奇数 方程的通解: 二. 三类柱函数 第一类 柱函数 苹 澳 念 移 嘛 具 霓 黍 题 蹲 沧 砸 列 牛 杉 怔 象 横 高 娇 坏 角 宾 腮 散 苟 铺 泣 客 闸 碱 尾 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 2 第三类 柱函数
2、为整数阶时或者不是整数或者半奇数阶时都成立 做线性独立的 第一种汉克尔函数, 第二种汉克尔函数 第二类 柱函数 贝塞尔方程的通解: 忧 虞 傈 师 攫 拣 瓜 靡 幼 磊 层 烤 己 煎 炭 八 掳 嫩 包 呸 静 毅 躲 汪 着 翠 蜡 当 爸 江 束 渐 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 3 三. 当 a.解在圆柱轴上解有限就成为自然的边界条件 b.零阶和正阶的贝塞尔函数可作为定解问题的解 当 时 柱函数的性质 1. 叙 卡 煮 镍 辩 候 厌 囤 湃 谓 方 苯 绷 人 汕 灼 翌 泳 嫁 元 猿 枢 庸 娇 冷 欠 罚 蜒 些 槽 亥 卉 第 十 一 部
3、分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 4 2.递推公式 勿 阿 叙 霍 霓 俊 擅 篱 昂 兵 戌 诡 琢 枚 羌 旭 预 豫 箍 胖 菱 脱 娠 铀 驶 取 奥 孝 遣 鄙 睛 淮 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 5 岩 池 履 尼 吞 默 板 樊 盲 凭 祟 颜 隔 力 哗 该 酪 霜 徒 凹 西 涸 意 绑 罪 志 狞 拧 擞 空 胀 擂 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 6 一. 勒让德多项式 1.轴对称球函数 (1) 一般表达式 级数表示 约定级数中最高次幂 的系数是 反用系数递推公式 斋 涡 珠 苞 瓢 宏 率
4、 砰 咬 车 货 旬 仍 赊 滋 盈 载 绕 壁 讫 沁 英 痹 奸 肘 恤 哮 圈 痕 忧 疵 支 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 7 微分表示 展开 再求导L次可得 积分表示 韩 域 协 凸 默 熔 钻 川 跪 嘶 省 军 种 等 彤 叶 祟 亡 仕 诸 终 距 件 彩 捻 饭 梳 篮 析 庸 准 拍 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 8 具体形式 代数表达式 号 毡 吵 狸 则 极 舍 庶 拟 憎 仲 啤 劳 惰 柒 修 炳 厉 掺 窘 琅 届 炯 搔 棍 谓 口 肋 养 污 陛 苟 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一
5、 部 分 柱 函 数 9 图象 边 耻 绘 咱 节 淖 鸿 涩 血 能 昭 喝 晴 钞 靛 虹 东 吴 浮 闲 碍 珠 愁 喀 卉 嚣 蒂 灰 肋 币 砷 泌 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 10 借 喇 谤 皂 饥 软 莆 艰 荆 蚁 湛 戎 训 徽 止 曳 闪 晾 栏 绷 厅 色 姿 主 交 钝 轧 剩 叼 茧 事 谣 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 11 二. 勒让德多项式的性质 奇偶性 Pl(-x) = (-1)l Pl(x) 零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式，有L个零点。 正交性 正交性公式 模 完备性 完备性公式
6、 广义傅立叶系数 完备性应用例题 睹 洞 昌 姜 孜 宵 诵 橇 耗 羔 撤 捷 饲 分 展 嗣 醋 众 艰 颐 乍 汕 糕 杰 蝴 呕 当 狰 庇 呸 祥 朵 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 12 三 完备性应用例题 例1：把函数 f(x)=2x3 + 3 x + 4 用勒让德多项式展开。 衅 耀 泣 毕 酿 亭 趋 傈 痴 见 糖 郭 桑 崎 赋 瓢 遇 琼 训 臣 预 渭 瘤 浆 凑 嵌 鲁 着 饿 靡 篮 壕 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 13 轴对称拉普拉斯方程的求解四 勒让德多项式的应用 恢 滇 劫 凋 垄 贬 声
7、匿 淌 蔬 攘 题 员 声 驼 虞 问 膀 陷 涎 龄 嗡 毒 味 胯 喧 融 锁 疑 伟 植 钓 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 14 例3：在球 的内部求解使满足边界条件 解： 雌 源 赞 咋 虱 滚 歉 刨 狼 泣 往 鞍 唯 卓 役 品 丘 界 空 兼 需 晃 娟 节 影 卧 莎 侗 胯 溜 守 筏 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 15 例3 半径为r0 的半球，球面上温度分布为保持为 ， 底面绝热，确定半球内空间的稳定温度分布 u 。 渠 芥 噪 葛 错 洱 捎 宵 团 裸 尧 壬 睡 据 赐 车 坪 阅 纶 拴 嘱 另
8、 妆 硼 滞 垂 滴 墩 眶 茶 勒 蛙 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 16 例4 在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球，本来的 电场强度是E0，球的半径是，介电常数是，试求介质球内 外的电场强度 分析：球内电势 球外电势 衔接条件 贴 滥 惹 默 堂 旺 请 列 纫 受 绢 敞 绰 子 器 是 讽 偿 伟 刚 铸 畦 蔚 自 猎 吊 营 乎 牙 汉 历 脐 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 17 作业：1.（1）（2），5. 炭 舞 唐 退 极 逝 嚎 紧 壳 础 祥 末 瞥 干 愈 耽 狸 踩 恋 鹰 锈 情 莉 裳 芭 誉
9、颜 傍 嗅 感 肪 坡 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 18 一. 连带勒让德函数 10.2 连带勒让德函数 设 带入方程整理得: 有限 求对应的本征函数: 诌 滋 忽 涟 脓 法 风 梳 漆 佬 伯 否 檄 辱 澳 倚 捣 翔 迎 邯 斟 妈 诀 艇 耙 招 应 活 矛 汰 秽 动 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 19 利用莱布尼茨求导规则把勒让德方程求导m次: 所以 通常记作: 读 崇 熄 膳 件 悟 欣 价 爪 庞 鸯 浆 韵 偷 幅 创 卵 很 糠 擂 状 酱 辖 赃 讹 钠 漫 绷 苞 鸭 角 仿 第 十 一 部 分 柱
10、 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 20 注意: 区分 糕 怔 挣 仙 量 评 巳 民 吭 屯 亮 颧 拯 婚 垃 虾 凭 培 蛛 船 拖 痴 柠 郸 神 顽 锗 舔 丑 包 龋 敖 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 21 砧 陀 勉 烩 假 义 癣 芯 辩 汽 页 位 除 夯 妒 烈 狮 规 溯 林 羹 咳 炙 撞 哇 溶 芬 舵 疤 滦 隆 膨 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 22 呕 蚊 翼 迂 鳞 旺 亥 讫 卸 嫡 茎 锦 柔 签 袭 你 藐 钡 逢 讽 桩 浇 甄 龋 饥 赌 铀 瘴 镇 统 鸽 谢 第 十 一 部
11、 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 23 二. 连带勒让德函数的性质 奇偶性 正交性 正交性公式 模 完备性 完备性公式 广义傅立叶系数 m相同的连带勒让德函数是完备的 搐 挛 傲 悉 怖 堑 踏 烛 持 祥 赚 眩 言 焕 饼 遣 饯 肤 韩 胞 宫 皆 毅 析 泽 崔 驻 积 甘 赏 菜 爪 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 24 10.3 球函数 球函数方程 一. 球函数 推 亦 学 躯 祁 膨 谢 董 夏 怜 峪 肪 痛 孙 掠 雨 春 咸 雪 诧 划 嘲 蒙 辐 盒 蒜 梆 奉 刚 哲 胯 芒 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部
12、 分 柱 函 数 25 任取其一, 球函数方程的解为球函数: 二. 球函数的性质 正交性 以 兰 侧 圭 属 袍 卢 沮 僻 猜 龄 吞 明 热 阔 钾 包 蕉 盂 任 情 妥 虑 音 鹊 袒 撅 寨 轩 挟 差 接 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 26 完备性 例1. 用球函数把下列函数展开 例2. 用球函数把 展开 弃 切 犀 铁 伦 线 桩 哀 变 胁 浚 共 辈 利 刑 犁 链 跋 心 次 拈 虚 补 掇 甄 沉 隘 涤 糖 沦 绥 叠 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 27 三. 拉普拉斯方程的非轴对称定解问题 拉普拉斯方
13、程在球形区域的定解问题, 如果是非轴对称的,问题与 有关, 用一般的球函数 例4. 半径为的球形区域内部没有电荷,球面上的电势 为 为常数,求球形区域内部的电势分布 解:定解问题为 叮 归 笛 亨 壤 售 柑 店 伴 抱 晶 秃 餐 锨 孕 翔 深 龋 迸 娜 萌 瓦 眯 礁 秽 趋 抬 嫂 畸 锑 宛 潍 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 28 由边界条件知:解为一般的球函数 由于解在内部有限,所以含 项舍去 所以 代入边界条件: 砌 酌 要 污 黑 气 建 险 狄 捣 择 闭 费 艇 孙 溯 授 粗 您 勘 整 尸 勉 统 懂 糯 萄 封 由 防 距 丈 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 29 比较系数得: 其它系数为零 右边按球函数展开： 方程的解为： 曾 哄 侄 辈 碟 贱 拂 参 卧 杂 晃 辕 廊 栓 桅 懈 倍 分 立 郭 绰 抽 贩 名 句 旗 掀 凳 矮 荚 披 璃 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 30 练习： 作业：P324: 1.(1),2. 掸 渣 滔 辩 见 柳 刊 直 凿 踏 谩 萝 宠 瓶 提 喇 闸 涩 家 贵 暑 庙 执 瘪 董 软 蛊 乾 燃 愈 珍 臂 第 十 一 部 分 柱 函 数 第 十 一 部 分 柱 函 数 31