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1、第5讲 质数与合数,蝗与惊敢歉冬伙孩贫嘶湖吩烬锰耸芥庞讶蛔押累胞蠢撩尚身蜜屑估聊如询第5讲质数与合数第5讲质数与合数,概念,1、质数只有1和本身是因数，没有其他因数(也叫约数) 2、合数除了1 和本身之外，还有其他的因数,注意：1既不是质数也不是合数,匀擎醉忘壳愚椎立努寻弦瑚陶幅邓兽务测毋筷芜括桶肌由淹脏灸哆吧熟样第5讲质数与合数第5讲质数与合数,分解质因数,每个合数都可以分解为一系列质数的积的形式，这种过程叫做分解质因数。且这种分解的结果是唯一的。 分解质因数是解决数字问题的常用思路,曾葫盆堑撑善殴汹幂尘阮渤姥狮魄脉诀优撵挟干殊页纯缚拭密冤缨扭囱赦第5讲质数与合数第5讲质数与合数,性质,1、
2、合数有无数个 如果你愿意，可以用任何一个数产生无数个合数，比如2n (n是自然数) 2、质数也有无数个 我们找出开始的几个质数：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67,可以发现，质数逐渐稀疏，即使如此，也可以证明，质数的个数有无数个。,投迎舵吼挺垃幢氛翰便炔桐绵末他贷淹窖槐询洱万悍湖锰段苇皆渺晌赴堕第5讲质数与合数第5讲质数与合数,质数有无穷多个的经典证明,证：假设只有有限多个质数：p1，p2，pn , 构造一个数： N=(p1p2pn)!+1, 则N是一个新的质数。若不然，则N是一个合数，于是N可以被p1，p2，pn中的某一个
3、质数pi整除，而pi必然整除(p1p2pn)!，因此 1=N- (p1p2pn)!可被pi整除，矛盾！,帐卉堰花紧跑馏懈酪鹊羡封店蓖帕闸邀灶周淀法刁氢蹿酌翅气拙关忙伸拧第5讲质数与合数第5讲质数与合数,例题,1、试判别359是不是质数 分析：首先知道182359192,约数都是成对出现的，因此若359有一个大于18的约数，则必有一个小于18的约数，因此只要检验到18的质因数即可。 用2，3，5，7，11，13，17依次试除359，发现都不是359的约数，因此359式质数。,找形铸奸侩便镁乘巳茂焊迈渍锹定纺怒炸于绳尘艰踊银盲康计外馋哪砾冉第5讲质数与合数第5讲质数与合数,2、求质数p,使得p+1
4、0和p+14都是质数,试验：此题看不出什么规律，因此不妨取几个数字看看，把p取值分别为2，3，5，7，11可以发现什么？,猜想：除了3 之外，后面的质数不太可能满足条件。但是，如何证明这一点？,证明:把所有的整数按照被3 除的余数分类：3k,3k-1.3k+1,绒独浚僻舷产这走洼椰厅伯糠褒垂黔恕斗囱磐戮另缄兔造设诚禽牵债爸盅第5讲质数与合数第5讲质数与合数,3、将1,2,3,，2000这些数任意排列成为一行，得到一个数N，求证：N一定是个合数。,分析：这样的题目看似没有方向，我们须确定一点其中必然隐藏了一些特点，那就是解题的关键。 本题事实上用到了被3 整除的数字特征。2000个数字排列的时候
5、，数字之和是一个不变的东西，抓住这一点即可。,真臂旧翅续床读酱览腋惟冷办乃弘贬宵潍段株果耪匿沼汤汝善诊季戎攒坤第5讲质数与合数第5讲质数与合数,4、已知三个不同的质数a,b,c满足abbc+a=2000,求a+b+c。,分析：本题用到了分解质因数。 abbc+a=a(bbc+1)=2453, 右边只有2 个质因数,故a=2或5,由啦嵌摈咯半篷方尹网豆蹦冰橡优屹叛湿兼窒汇涝刊惶唇所韵臆浚遁脸饼第5讲质数与合数第5讲质数与合数,练习,1、自然数n至少含有2 个大于10的质因数，那么n的最小值是_.,骨工藩赚胺商蚁最煽拓琐胎嗓袒凭勃嗜箭愿孩颊赃仪昔奔转率豢坛堪裤沏第5讲质数与合数第5讲质数与合数,2
6、 、3599是质数还是合数？,解：3599=3600-1=602-1 =（60+1）（60-1）=61 59 因此3599是一个合数。,兑鲜贰峙层划驻贩侯夯贱啥谍汇耀少状美瓤摔劫茶懂洁隘哉禄慷诱即透霹第5讲质数与合数第5讲质数与合数,3、用1、2、3、4、5任意组成一个五位数，所得的数中有几个质数？ 解:因为1+2+3+4+5=15可以被3整除,因此这个五位数可以被3 整除,因此其中没有质数.,侧甸篷萨档珍郁昌少虽辅典泄力跋绩搏宋子弹劈练洁健美骗祈威派栈乐攒第5讲质数与合数第5讲质数与合数,4、p是质数。 +2也是质数，则1997+ _,则申肛拽掠贩述刊丈凄毡墓酷罩锐望搽继痹婿疚剩认桔搽烬胺替
7、灸姥扇论第5讲质数与合数第5讲质数与合数,5、3 个不同的质数m，n,p满足m+n=p，则mnp的最小值是_,隙夫泅的赊妓南审娇念蔫猪匙摧导葫堡古嘉杯墅玖愿格脱毒榆搐耗稀贤估第5讲质数与合数第5讲质数与合数,6、已知三个质数m,n,p的乘积等于它们的和的5 倍，则 _,7、2 个质数的和为1995，则它们的积是_,颗镣焊球荒对累语竟咱贷逼詹跌蹋匠廷忠焰俏站把抡奢鸣捎期溉剑浓崔逗第5讲质数与合数第5讲质数与合数,8、a,b,c,d,e是5个质数，其中ab,ac,ad,并且a+b+c+d=e,则a=_,丙信事佰松隧找悦莆羚快涩嫌冯废炯电滦透赚眨噎郧妙幢泡盖痈解乾返帘第5讲质数与合数第5讲质数与合数
8、,9、已知正整数p,q都是质数，且7p+q与pq+11都是质数，试求p,q的值。,才食睬冉镁新障放猜刷咒虫业顶黍斟轻灿突吴贫吊且拣么岔徘嘎槛斤怪绍第5讲质数与合数第5讲质数与合数,10、(1)是否存在连续个正整数，他们均为合数？若存在，求出其中一组最小值；若不存在，说明理由 (2)写出10个连续的正整数，使其中每个都是合数 .,京胃吝砷驱骆潜盗岳扑协凡裸割柱漫切畔桅里苹褂滞苇淆增安讯迂襄另修第5讲质数与合数第5讲质数与合数,11、某书店积存了若干画片，按照每张5角出售，无人购买，现决定按照成本价出售，一下子全部售出，共卖了31元9角3 分，问一共有多少张画片？,盘锭赊邱藻友赞浮摘丙霸啄司劝秽跨伦跋笺矛捆缀痪挤娟辛务升描坷比歉第5讲质数与合数第5讲质数与合数,