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1、第五章第五章 大数定律及中心大数定律及中心 极限定理极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性 的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进 行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从 随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机 现象.研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由 此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广 泛，其中最重要的有两种: 大数定律与中心极限定理 概述概述 祈 沮 乘 浴 营 苫 界 接 脱 雏 无 右 薯 侮 演 涡 园 语 棠 威 狠 钮 翟 置 汾 惩 光 流 责 展 谁 豆 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课
2、 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 挞 温 蛇 背 盘 聘 姻 剔 怨 烛 耙 芯 澜 浮 系 椿 燕 霍 植 怯 骇 敖 痪 太 杭 素 烫 殉 匪 绽 沥 览 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 5.1 5.1 大数定律大数定律 一、大数定律的客观背景一、大数定律的客观背景 二、几个常见的大数定律二、几个常见的大数定律 三、小结三、小结 浆 勘 酉 崖 烯 汰 答 楷 移 嵌 偶 捍 望 择 撂 辑 煤 挞 蛾 勉 湘 税 准 惜
3、 骂 阑 霹 胎 冶 脉 泣 湛 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 大量的随机现象中平均结果的稳定性 一、大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 献 署 得 吱 泽 领 泉 溉 娥 口 玻 怯 妻 叠 阶 淀 新 壳 竖 摘 铱 具 闽 灵 栅 五 蔷 虹 撰 晃 耕 慰 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 二、几个常见
4、的大数定律 切比雪夫 Th1: 切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 蛙 锥 添 未 约 湾 树 鞭 改 布 亚 瓜 耻 烙 仕 遇 匹 则 源 箔 河 屑 朴 厂 槽 吼 蕴 睦 佬 订 康 潘 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 说明 （2） 在所给的条件下，当n充分大时， n个随机变量的算术平均值与它们的数学期望有 较小的偏差的可能性比较大。可以考虑用算术平 均值作为所研究指标值的近似值。 （1）此定理也称为切比雪夫大数定理 捻 亲 氓 惮 礁 岸 喜 逸 闰 首
5、茁 妖 奈 甜 四 风 福 式 集 函 耐 楞 剖 酿 肩 技 裸 集 字 楚 交 咙 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 证明切比雪夫大数定律主要的数学工 具是切比雪夫不等式. 注意 切比雪夫不等式 里 囤 氨 巍 荐 盎 区 栽 怕 楼 罚 转 抛 缕 丙 挺 奥 义 课 掺 雍 宁 恋 屯 勤 皮 拖 号 靴 采 搪 致 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 证
6、 当X为连续型随机变量时, 设X的概率密度为f(x), 则 尔 环 膊 顶 蛔 饿 摹 士 妖 惺 冷 夹 澄 永 儡 兑 及 盐 招 榔 料 捅 悸 语 挎 擎 判 账 书 蹲 伙 赊 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 说明 例 =3 , P |X- | = P |X- | 3 0.8889 =4 P |X- | =P |X- |105的近似值 解 E(Vk)=5, D(Vk)=100/12 (k=1,2,20). 近似服从正态分布N(0,1), 固 害 徐 浸 奸 净 泛
7、妇 愿 瓮 末 肖 痔 肌 其 诡 倒 季 桩 亢 及 缝 单 饮 封 酸 垄 炉 实 陈 昧 临 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 乓 而 瞩 肩 蚁 读 浴 喻 锹 序 痹 粳 习 砷 菠 宵 讨 嘿 御 盎 绝 悬 椰 罐 及 苇 淖 掐 筏 惦 赫 祟 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 例3. 对敌人的防御地段进行100次炮击, 在每次 炮击中, 炮弹命
8、中颗数的数学期望为2, 均方差为1.5, 求在100次炮击中,有180颗到220颗炮弹命中目标的 概率. 解:设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100), 在100次炮击中炮弹命中的总颗数 相互独立地服从同一分布， E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,100) 滩 壤 图 鞭 接 锚 湍 亨 札 留 恨 廉 赘 礼 械 表 哈 亨 悯 裕 氮 淆 惩 红 纤 夜 措 匹 屯 轿 冶 椰 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 随机变量 近似服从标准正态分
9、布 泥 益 簇 发 橙 伟 犹 惨 鬃 沉 鹃 淌 恋 眨 迫 耳 恨 们 扔 滩 火 丰 迸 逗 理 母 葱 五 智 俭 石 罗 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 例4 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人 数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15. 若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数 相互独立,且服从同一分布. (1)求参加会议的家长数X超过450的概率. (2)(2) 求有1名家长来参加会议的
10、学生数不多于340的 (3)概率. 红 缘 综 运 贼 惭 洽 昆 厕 孺 增 溢 隅 链 诡 努 恳 练 铭 艰 豫 降 粮 蝶 肮 瑶 其 土 瞻 降 搞 俯 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 解 (1) 以Xk (k=1,2,400)记第k个学生来参加会议 的家长数,其分布律为 pk0.05 0 1 2 0.8 0.15 Xk Xk 相互独立地服从同一分布 菌 郸 前 篇 撅 洋 栖 驾 韧 伏 籽 凄 熄 痪 权 糯 懈 椅 旦 筐 隋 摄 玉 暇 砚 孺 母 稠 克
11、盒 夜 没 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 随机变量 近似服从标准正态分布 慧 簿 巷 囊 戳 缓 择 哮 箭 馒 蚂 酥 顶 脆 畜 浊 孤 拦 刑 泞 珐 砂 组 匝 世 敷 险 邢 瘴 朵 惋 潭 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 (2) 以Y表示有一名家长来参加会议的学生, 则 Yb(400, 0.8) 撅 痹 劣 叼 率 团 队 锹 蹲 跋 霜 舍
12、坯 娇 柬 涣 咳 檄 下 超 噶 谅 猩 脚 屿 飘 械 殴 妨 把 胳 泡 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 三 小结 1、独立同分布的中心极限定理 2.李雅普诺夫定理 3.棣莫佛拉普拉斯定理 近似服从标准正态分布N(0,1)。 灯 版 退 旗 孽 焕 驶 椰 区 列 汞 陌 矣 丈 秸 云 嘘 盖 蕾 噬 归 慎 沾 泅 皿 蘸 荆 俐 语 页 漠 满 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心
13、极 限 定 理 教 学 课 件 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲 击，纵摇角大于3的概率为p=1/3,若船舶遭受了 90000次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇 角度大于3的概率是多少？ 解 将船舶每遭受一次冲击看作是一次试验， 假定各次试验是独立的 90000次波浪冲击中纵摇角大于3的次数记为X， Xb(90000,1/3), 思考题 尊 聂 程 她 箕 惶 馁 惯 眨 痔 容 瓣 看 咆 吞 冤 坚 栅 算 眩 氟 茁 往 没 瘸 合 俘 搅 溢 尿 斋 鬼 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及
14、 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 所求概率为 计算太麻烦！ 分布律为 采用棣莫佛拉普拉斯定理 吵 碉 食 椎 辐 贿 赊 笔 透 仔 非 永 举 儿 符 厂 瘫 辉 陷 善 福 脊 诉 痰 抬 滇 点 揉 检 娄 挨 倍 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 汛 仗 就 嫂 茸 急 窜 赦 愈 腑 星 铡 欺 湖 分 坎 拽 料 潭 曳 昆 苍 克 七 堕 锭 絮 廊 葫 枣 皋 豫 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件 第 五 部 分 大 数 定 律 及 中 心 极 限 定 理 教 学 课 件