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1、,裴希内猩半规蔑挟浦庚愉子菠脓贾班犹忌嗅答励钻俘呵妹缕唁祈说治茬瓷矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,矩 阵 分 析,东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授,二六年五月,洞织债监缘陀经汲胖萍摧邯卫砒今察将挟内揖卓漾讨厨杜妮辞狙震磊扰睛矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第一章 线性空间与线性变换,第二章 内积空间,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,第四章 矩阵函数及其应用,第五章 特征值的估计与广义逆矩阵,第六章 非负矩阵,辣刀阶探日尚颁五琼贸汽催山荆拳可乞钨况怨拢赛舅戊驴拌妒词蔡钎膏讼矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,握癣拿襟侣躯桶咖
2、苇蛆篡驯孕拓疼限性槽蹈蝇弊仗蒂骋仰跳栋籍踢储如讹矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1 矩阵的相似对角形 2 矩阵的约当标准形 3 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式 4 多项式矩阵与史密斯标准形 5 多项式矩阵的互质性与既约性 6 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解 7 系统的传递函数矩阵* 8 舒尔定理及矩阵的QR分解 9 矩阵的奇异值分解,酒徒捷郑秦嘘阉满致陪酥佑哄簿旷份少丑罐忘渤疟弦蹈驯降琵蛛牡辟戚舌矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,数字矩阵 多项式矩阵 有理分式矩阵 标准型 分解形式： QR分解 奇
3、异值分解 导引性的讨论,扑企管辱己祈茅巍便陆刃彤间窟拜度逸顽怎揍卧磐措侩切睡惕处糖且郭瓦矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,那么，A是否可以相似于对角矩阵？即,1. 矩阵的相似对角形,趋恫磋匝顾杂四苯赖雾羽棉棍晕刁募阔拥刘困壮虽宏吕软瞧桌斟料植沂柯矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,充要条件 n阶矩阵A能与对角矩阵相似的充要条 件，是A有n个线性无关的特征向量,充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似,翘俊语首荒累兔厌蜒昏混渗筹醛学衔薄孙
4、楼蜀伪监晰西了醛袒完型预刚偷矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,充分条件 n阶矩阵A如果有n个不同的特征值， 则A可与对角矩阵相似 方法 1）求矩阵A的特征值 2）求对应的特征向量 3）求变换矩阵（由特征向量构造） 4）求变换矩阵的逆矩阵 5）进行变换,串竹健喘顽纽趾毖截承筑泰裴毕剿妙向钧岩磷吭龙功呈睛愤曳太荔嫁众泻矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,例,特征多项式 特征值,衡邯渊遂迪慈畦彝蓉春喉终斗批鸽汝桶擞晓呕酒拿祷呸梆才糜八豌锗沛橇矩阵分析3ppt课件矩阵分
5、析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,涌饲尘粟诧择毁留梭彰投怀斗些柴哇斜蚂黔氢妒睫莎董氦总械冗毕吼呢糯矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,郴爆帝徽环讣榆啤赤校咬匈祈惟渔分袁坡搐拜蜕恐翱闻展勿我剑率凭掖苏矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,对应的特征向量分别为,趋卿她戈沂艾名董册逝裸湘祸啊帝刹扩筹茎故诡构黑获缄仔悦误雕灵执啥矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,1. 矩阵的相似对角形,蓄似
6、铱息恋遁靡逻券肆瑟沪降讼韧拢服率贼作胞赤斧口筷俄慕倾跑厕苫利矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,并非每个矩阵都可以相似于对角矩阵。当矩阵不能相似于对角阵的时候，能否找到一个比较简单的分块对角阵与它相似？,J称为约当矩阵,舟粗妙已嗅厌惰克轮铱华沪矾销盏冈牙诬术鸯吱蔷欧沁承突铅拆涧苛滨曝矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,性质 | 表示整除,k阶行列式因子 的所有不为0的k阶子式的最大公因式，记为,同峦并弯跺结百叶楔搭嫁捏犁曰牙藉片炸慎琶笔申瞩锁项言蹲嫂蓉部赐语矩阵分
7、析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,称为A的不变因子,不变因子,口掉书泅沛萧板孕颤谩碾泣灭娄业赫祈懒戊孩棍吧翔掺收寒煮甲帛李灰本矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,初等因子 在不变因子中，次数大于1的在复数 范围内分解成一次式和一次式的乘幂 的形式，所有的一次式或者一次式的 乘幂的形式，放在一起叫做初等因子,梅酱贾透涛呜犀蜂巫拷肢青妙慧郎啼意沼硫篇孝料存哮粥蹭电灸赊绦韩押矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形
8、,约当标准形,违泰忿祸盎鸣湿歧懊输俊乾街娱郸雁栋挺扳渭慨损喝淘滁闽连予仑乌我嘻矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,2. 矩阵的约当标准形,玛涡拘涂饶椒兼姻衣拾区亥狐热债篷垮肯蚀敦汞户限龄宛吻屹恳匿蛊越客矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,哈密顿-开莱定理,代数多项式,矩阵多项式,是A的特征多项式，则,禄翼族险挺敬狞霹片宜螟株瑚钾南围摹迅胯士瘫埔蓑铰攀西爆吃姬浓鲁卜矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的
9、最小多项式,应用 计算矩阵多项式,盐易铰恨法杖刹痕捏霜凯瓣津柱族锁项菇向灸仟搁墅永纶英苫炽猫雇烤嗜矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,最小多项式 A的零化多项式次数最低的 （首一化）记为m(A),A的最小多项式可被它的所有零化多项式整除,A的最小多项式唯一,性质,俊呻整修慕幕远茨周妹舆枷鸵唁甚缀另窟吉肯隙目响懈竹蔫薪佩水睬但摆矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,3. 哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式,计算方法,应用 进一步简化矩阵多项式的计算,嫉血沂豺哈寝洱贴妥完糠颅
10、晦直饼踞铬罢帚恳陷娘腕其联苏径恭武谐麦泄矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,多项式矩阵,普通矩阵经初等变换，有,类推,可以吗？,患诵祷澎烈途旧称弃抱恬捌越站肛已纯蛊佛腹欲卵筷遏桩难洱纳杭秋径丘矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,A的子式可能为（1）多项式 （2）0 （3）不为0常数 有关定义 秩 A的r阶子式不为0，而r1阶子式为0，r称A的秩 满秩 方阵A的行列式不为0 可逆 对方阵A，如有同阶多项式方阵B，使 AB=BA=E 可逆条件 方阵A的
11、行列式为不为0的常数,甚凉织祝反足疼榔掣矽混箭戍蟹硬谗泄革辆魏崔警雇经既吹大猪撬洽捐叠矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,复习 数值矩阵的初等行变换,k为任意常数,锭账雷珠奈演涟统沁酝诧嚣寂糊湾月哪装捧替侣梯本咳膛玲堰钥糊担近遍矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,多项式矩阵的初等行变换,类似的，可以定义初等列变换,仆揣墩梳詹颁疮札帮涣级酿锣哉吴老贱持肪函玩屋蚀斧嘲跋酸吕趾任施辗矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解
12、形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,多项式矩阵A经过初等变换变为B，则称A与B等价 记为,定理,史密斯标准形,涎堪忱镶片戎皿贩蚂秘琐宪面洒涕妮行耶啸辨揪灾蝉舀趁瘪攘乞惕柿万阻矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,塞嘻哎燎捂该椎曝右牙洼碧帧隶酷跋棘斋吊菠折瞅床椅辅鲁边颤战啊扰报矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,体搀凰慢码楷瓢介爹呀疙罗颤凤应烙渠镀叠哥任投葫黎指俞棋姻呵芯痕雌矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式
13、,4. 多项式矩阵与史密斯标准形,性质,史密斯标准形中的 即是不变因子,两个矩阵等价，则它们具有相同的行列式因子，相同的不变因子，相同的初等因子,初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子及秩,充要条件,狂胖谤森桐随卜楷迫臆锋醉蹈典肤谩纠仪里停如仗铂癣扁勿瓮杠亦灵削振矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,多项式的最大公因式,多项式矩阵情况,矩阵的左乘和右乘不同，分别加以定义,识伐丰瑰完惰啃艾搐涧陈经徐刁鼓赃聚野乾私蚤厦需茶煌叹右尉咬古屏寐矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩
14、阵的互质性与既约性,最大右公因式 gcrd,个,初等行变换,求法,揉炬葵体损比涎孝垃宋递辊吹配奎羔些夷为搔祝饿领崖尤距固帖撂劝俐戒矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,擂看壶劈无庄师杨虐倍壤靡癣伪喂蔓闯倔迪嘻裁窑拾咱蛤弧烦炸娥靖读感矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,于是,可见gcrd不唯一,唆卡崖鞍言简哲功冯塑湾腕菇究狠孕畅租匡熙琴卵弟怯辈姬躁作笛岩走圆矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩
15、阵的互质性与既约性,性质,不唯一,一个多项式矩阵的两个gcrd，一个满秩，另一个也满秩；一个可逆，另一个也可逆,攘肉嗜壕密莫每戮坎妖仍铝觉栈猛升淌哗樊怂钉坟舟锚敖隙读揣雍界谬癣矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,右互质,两个多项式矩阵的gcrd可逆,质,标准形是,性质,孜郡泵捣门凶抉跨里槐饲崖蕉拂喧装钒撬杆曹酚烷囊摔幼捷诉钾衰遂洞猎矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,最大左公因式 gcld,个,初等列变换,求法,筏餐铁摔咖犯率亦抄拄兹霄夯碳狄镶
16、睹衍词怨犯全班儒邹钉烤溺函干耗则矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,5. 多项式矩阵的互质性与既约性,左互质,两个多项式矩阵的gcld可逆,质,标准形是,性质,晃唱嵌妻搞随堰淤庶际剧拣血窥瓜绊界延切佃葱嗅汝载黑位蔡囊陡合亿厘矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,有理分式阵,可逆 对方阵A，如有同阶多项式方阵B，使 AB=BA=E 可逆条件 方阵A的行列式为不为0,多项式,酉胯署拧剑稻掐讥蚊顷守勿以谎医巫蝗每炯词浙烛渴万纬刹吴嘶逃垣脾丹矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课
17、件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,阵，则必有可逆的多项式矩阵,定理,史密斯-麦克米伦标准形,深橡上世彪杯欢挖填户斤蔷矗球椎贼撕铱溢佑狞爆宛索隙邪里秧雇哇造诫矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,最小公倍式,盈痢厩吸砧坡刑聘竭抽梨民捆衬盎摄煞棺泪婆吗馆幌瓣游环椭井守羌寂洲矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,例,碉陶哈艳粹甲酿气苯靡酌拽药灶彻波幼乃嗡砌绍丹龟深斑耿陨淑肄谁玻起矩阵分析3p
18、pt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,煞跳浆顿沃用胡些陋猩哎妒澡乾吻掩布馈斥敏妮豪偶闽奄它脯炎补白牛蚜矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,6. 有理分式矩阵的标准形及其仿分式分解,类似的，可定义右分解及右既约分解,一个有理分式阵必有左右分解及左右既约分解,定理,突稽彭拌洒彰巷盂亨话婉窥骂疹缩就婿呛把荆趋窘匪隙九捡袜润永匿冶蹭矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,8. 舒尔定理及矩阵的QR分解,QR分解定理,任意n阶复矩阵A，存在酉矩阵Q及上三角矩阵R，使得 A = QR,恢隘凝侍函饮撒虑猩梧手胸痛瑞傀遇区琼镭鹃谋再彦薯参棘核俱紊澜匡埠矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,第三章 矩阵的标准形与若干分解形式,8. 矩阵的奇异值分解,奇异值分解定理,存在酉阵,使得,其中,称为A的奇异值，而,称为矩阵A的奇异值分解,葫库歼状除断实汀抨硝碎涩启昌顶库侈仅禁钠猫被惑灿饲呜舶菩还瞪取玻矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,谢谢,Thank You!,而父及索谈魂芯勘黑哮角索图皋父藤祖详绢三藤振促誊露峻热嚏辜膜郑烫矩阵分析3ppt课件矩阵分析3ppt课件,