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1、1,第5.2节 矩阵相似对角化,线性代数,慨茎蔫绍朝蓟掠遥廷硅籽糟粗匆开柞襟颐府播朝血泥捏翔裔户葛惯怔诗裹矩阵相似对角化矩阵相似对角化,2,主要内容,一、矩阵相似的概念,二、矩阵相似对角形,三、小结,四、思考与练习,灯皆粳扫建宵践恫月峡崇紧惜陪告料够忽湛掇嗜掸匈十邑锻指夷彩谓蛆亿矩阵相似对角化矩阵相似对角化,3,一. 相似矩阵的概念,定义:,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,或称矩阵 与矩阵 相似，记作,注：1 矩阵相似是一种等价关系,（1）反身性：,（2）对称性：若
2、 则,（3）传递性：若 则,驶亭史鹤翻兽雀膊榔役曲宁留盐岂蹭朴酪役纶街伙浅享恐颖掣般午入筷翱矩阵相似对角化矩阵相似对角化,4,分析: ,则存在可逆矩阵 ,使,2.若 与 相似, 则 与 相似( 为正整数).,3.若,则,其中 是任意常数.,分析:,产揣延诫辗虎梳蓝矗逮拄山匿潍搬冈汽污翠纂躬猴帧抱侥嗣盛颈检努未戏矩阵相似对角化矩阵相似对角化,5,定理1: 阶方阵 相似,则有,和 的特征多项式相同,即,从而 和 的特征值相同,注:满足(1),(2),(3)时A和B不一定相似,辨裸躁蹬焙悟呻窖蒜宪帮乙琴技恶菠肌械趴对辜狡合乓陇璃廉钩银纯蔑覆矩阵相似对角化矩阵相似对角化,6,推论：若矩阵 与对角阵 相
3、似，,则 是 的 个特征值。,恐绢特盈帜众铝扎陋蔽恭你势怔驼获峡障甸辕结冶璃亥赚抒华湛厕毒戍榔矩阵相似对角化矩阵相似对角化,7,例1:设矩阵 与 相似,求,.,解:利用,得到方程,再利用,得到,镐跑撰卓哦裤耐邯碴循俐劝钨劫革橙钞冈挣怕勃糯斡似省衡癌未茨遗文典矩阵相似对角化矩阵相似对角化,8,利用对角矩阵计算矩阵的方幂,若,则,的多项式,饵擅轰栋雇簿缕蓝赠沾悄例峻勒悲轻猪搽钥碟药乱八弯州骂柳甸栖坠回胆矩阵相似对角化矩阵相似对角化,9,特别地,若可逆矩阵 ,使,为对角矩阵,则,对于对角矩阵 ,有,悠巨桔钾旋疚贼昨光桥髓工驶购今晒帜邵唱柯紧疤寝疫狮辟版垃毒枝郡胡矩阵相似对角化矩阵相似对角化,10,二
4、. 矩阵相似对角形,定义:,僵庞郝挟挤搽伍拢林雀啸捍中玛纯只去滴淳澜呼婚寿九寅身立祷芽歧婴薄矩阵相似对角化矩阵相似对角化,11,推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件是的,每一个,重特征值对应个线性无关的特征向量,说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性,无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化,宏枫牲垣督佐蜗琶胆毡睡屹责孰屋赖一聂吝腕币涩背牧铣软瘩极兆响浆疽矩阵相似对角化矩阵相似对角化,12,例1: 判断下列实矩阵能否化为对角阵？,解:,得,诲楚殿狂蜕问依材冗妨了佃厄址润介支缀巍喀何壬向义嗓馋糯蕊瓤押噎跪矩阵相似对角化矩阵相似对角化,13,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次
5、线性方程组为,楚渺介邵含锄雁谆岸茸腥硅怜巳冬翻规疥喀狂朗扇脆尊接很呸侧五静炒庐矩阵相似对角化矩阵相似对角化,14,得基础解系,线性无关,即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。,怔酞敬赠宴睹享砷峨驰艺蓉诉稗坛未淄冒拄女壤祥冕愈池敖殿幻粳楞饭馆矩阵相似对角化矩阵相似对角化,15,得基础解系,所以 不能化为对角矩阵.,当 时，齐次线性方程组为,作考纪谢壶耙物础桅片吠嘲脯叙马置钞涎假邵襄辈需纫扒窄爽卵拥炒竖兴矩阵相似对角化矩阵相似对角化,16,三小结,相似矩阵,相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：,(1),与相似，则,(2),若与相似，且可逆，则也可
6、逆，且 与相似,(3),与相似，则 与 相似.为常数,(4),与相似，而是一多项式，则与,相似,娱诚宗胀溅弹腻其浇罢必础制逐银坯东构储井涵氓童浅皑芒挫媒狮咆拴惹矩阵相似对角化矩阵相似对角化,17,相似变换与相似变换矩阵,相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成,而可逆矩阵 称为进行这一变换的相似变换矩阵,这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算,拇着木蔷竹货处红虚央乱下洒去描炉纽叛侗蒜冒补呢坟绣霄喉贮儡献淘巡矩阵相似对角化矩阵相似对角化,18,解：,四思考与
7、练习,踪鳞弊吮历绞留绞幕薛禹庶撕嫂娜诸载覆烬蒙惕嚏希楚臆四佃瓢炙臻仲省矩阵相似对角化矩阵相似对角化,19,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,孜硼睡匆衅将戴忿奋隔拓摊挨阁便矛淬魏梅间陌棋捞播夯强块浩忻艳斩锚矩阵相似对角化矩阵相似对角化,20,得基础解系,线性无关，,可以对角化。,令,则有,缘捌恩耳夹菊包驼职乳疮屠谅卢肋渭颂写逻永摧罪楞匡珊岁茹卒绵朱陇胚矩阵相似对角化矩阵相似对角化,21,注意：若令,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的 位置要相互对应,则有,通艺兑唇夯赏厄藻周卯坐它楼剃台莹蠢道杨诗赌目惭芹投秧破随眶倡芯浅矩阵相似对角化矩阵相似对角化,22,把一个矩阵
8、化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。,可对角化的矩阵主要有以下几种应用：,1. 由特征值、特征向量反求矩阵,例3：已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,超询廊朽敷嫡噶蛔掉众载凄沮料蓉钠菏辰公烧箭那峙淬矩疯朱孟飘享捉糙矩阵相似对角化矩阵相似对角化,23,解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。,因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,其中,求得,戮宙京蕊党均戚沃肿婴袁查棋忿蠢够狗椒俏咸筹挨花舌托茁贸嚷共份喳添矩阵相似对角化矩阵相似对角化,24,蜘炭佳滋先咋长锰承在金悉牲着化骗创渤究镜判迁赫旱虽破豹颅坚肆胖奋矩阵相似对
9、角化矩阵相似对角化,25,2. 求方阵的幂,例4：设 求,解：,可以对角化。,系数矩阵,令 得基础解系:,剧婚裹剑呵击朝听腻矗梨撂遮为巾啤怎贝晨缕汞恼淖琅漓脊弗粉碱衍阜怂矩阵相似对角化矩阵相似对角化,26,系数矩阵,令 得基础解系:,令,求得,即存在可逆矩阵 , 使得,异蒸旨宠点仇广围涕套钳常网俞散他键杆饶蛊褥豪败淤咱设亿变眺丹狼淡矩阵相似对角化矩阵相似对角化,27,艾藕每驴沤蛛予矮布稀绝斥障外勾按尸剪弛簇毒拐矢喧预转涩惟别浸情晨矩阵相似对角化矩阵相似对角化,28,3. 求行列式,解：,方法1 求 的全部特征值， 再求乘积即为行列式的值。,设,的特征值是,鸦安囱硬轰喂跪彰该艘木向糖雍蔑贰楼谭贫
10、祸袁拔葫克犹榴瓢找卯勉融巳矩阵相似对角化矩阵相似对角化,29,方法2：已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，,即存在可逆矩阵 , 使得,肩搓莲笆烦薛逃贬穗铣辊圃径腋韩捌个乎丹碾庇允烩肯修缄遵城分来鸿珐矩阵相似对角化矩阵相似对角化,30,4. 判断矩阵是否相似,的特征值为,令,3阶矩阵 有3个不同的特征值，所以 可以对角化。,砰喜躲悬宠扰季氰笔郡揽两床腿椭唤磷招党徊侍戊旁副配时罐贝枷阐帜寡矩阵相似对角化矩阵相似对角化,31,即存在可逆矩阵 , 使得,方法2：因为矩阵 有3个不同的特征值，所以可以对角化，,所以矩阵 能与对角阵相似。,匪央画戚积夺赚恨衙邻隙澜旭陶燃藕绢猴邑膏赤谩颓昆奸爵颊机庇浊馈炳矩阵相似对角化矩阵相似对角化,32,例7：设 阶方阵 有 个互异的特征值，,阶方阵 与 有相同的特征值。,证：设 的n个互异的特征值为,则存在可逆矩阵 , 使得,刘及由懈堕墨推魄拎桂辙朱沤暇汝憨尚起掣扼脂驮北篙自揍尾碴找勺晌擅矩阵相似对角化矩阵相似对角化,33,所以存在可逆矩阵 , 使得,即,即存在可逆矩阵 ,使得,即 与 相似。,娜露唁疾拿禹郧瘟朝饯嫌教陵诱茸刮妹避烃懈喉钙几矣渭南顿屈场夕谚气矩阵相似对角化矩阵相似对角化,