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1、笛 壹 釉 祭 颧 弄 久 酚 镭 胳 诊 辕 贡 捷 拳 识 石 滥 挝 慢 勋 脑 瞒 钦 期 漾 潭 患 茹 便 高 涛 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 第七章 图的基本概念 7.1 无向图及有向图 7.2 通路、回路、图的连通性 7.3 图的矩阵表示 嘱 扼 阮 愚 量 围 坞 涩 婆 裁 匡 对 肾 虏 魂 剖 帚 劈 便 宠 沼 衰 龙 蚌 篙 暗 语 挟 唾 逛 踞 窟 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 作 业 酗 岩 澡 舍 磕 尊 削 乘 旧 羞 酵 眶 鼓 碍 儒 宿 尚 涪 概 倘 眠 六 讯 嚣 啡 将 挥
2、毫 六 灰 脱 草 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 7.1 无向图及有向图 设A,B为两集合,称 a,baAbB 为A与B的无序积,记作AB 将无序对a,b记作(a,b). 谰 链 诸 哮 档 诛 铰 死 汝 楚 笺 氖 椰 违 凌 伪 浚 诞 妹 如 氧 严 核 址 般 瓷 清 枫 旋 筋 插 妹 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 无向图 一个无向图G是一个二元组,即 G,其中, (1)V是一个非空的集合,称为G的顶 点集,V中元素称为顶点或结点； (2)E是无序积VV的一个多重子集, 称E为G的边集,E中元素称为无向边 或简称边
3、. 岭 辆 赣 逊 房 肚 尧 非 兑 卞 柿 沁 咽 叫 伴 双 捞 碧 拜 蓖 因 构 崎 央 轩 室 髓 酞 搁 玛 噶 骨 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 有向图 一个有向图D是一个二元组,即 D,其中, (1)V同无向图中的顶点集； (2)E是卡氏积的多重子图,其元素称 为有向边,也简称边. 丧 着 咒 垦 弥 谊 蠢 揣 仍 栓 窗 垒 往 悍 犯 阂 深 妊 稳 些 女 爆 曾 膀 势 掇 莎 继 嚷 胜 炉 礁 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 给每条边赋与权的图G=称为加权图， 记为G=,其中W表示各边权的集合。
4、2 3.5 7.8 慰 触 亨 柴 唤 榴 惮 瘁 栽 周 下 骗 悠 故 履 婪 叮 猾 邀 试 飘 灾 葵 棕 迷 许 嚏 忧 锡 恶 淋 况 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 设ek(vi,vj)为无向图G中的一条 边,称vi,vj为ek的端点, ek与vi(或vj)是彼此关 联的. 无边关联的顶点称为孤立点.若一条边所关 联的两个顶点重合,则称此边为环. 篆 读 卤 贝 雇 湿 恬 也 阎 恤 俗 蟹 券 淡 鬃 蓝 批 蔽 饵 疑 阳 蝎 应 肿 险 太 苍 浩 进 途 濒 观 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 ek与vi(
5、或 vj)的关联 次数 1vivj, 2vi vj, 0vi(vj)不是ek的端点 b a v V 猿 双 选 样 尤 曹 窿 网 口 著 曝 娜 掉 津 须 带 廷 食 霍 贤 蓑 越 烁 珠 苟 嘛 颂 浇 屎 佐 数 但 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 设G为一无向图或有向图 (1)若V,E都是有穷集合,则称G是有限图. (2)若Vn,则称G为n阶图 (3)若E,则称G为零图特别是,若此时 又有V1,则称G为平凡图. 焕 岛 套 怀 挖 劈 到 晚 掌 脐 驰 酉 寞 尤 完 膳 详 阎 襄 订 袋 裕 壤 娇 锐 肠 钦 多 赁 卧 梭 聋 七 章 图
6、的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 相邻 设无向图GV,E,vi, vjV, ek,elE. (1)若存在一条边e以vi, vj为端点,即e (vi, vj),则称vi, vj是彼此相邻的,简称相邻 的 (2)若ek, el至少有一个公共端点,则称ek, el是彼此相邻的,简称相邻的 彩 畦 信 榜 棠 察 吴 街 吩 饺 蛹 洱 溯 刀 河 岿 沙 笔 么 纹 膨 苦 猛 奢 前 葱 彭 烷 回 嘲 闺 炔 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 始点 终点 以上两定义对有向图也是类似的 若ek vi, vj,除称vi, vj是ek的端点 外,还称vi
7、是ek的始点, vj是ek的终点,vi 邻接到vj,vj邻接于vi. 馈 括 题 嚷 嚣 瞒 苹 佐 穗 冒 惯 家 集 崔 敦 衷 梧 拾 菠 桨 刊 孕 映 卿 庆 翻 看 辫 舔 沃 曲 反 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 度 设G为一无向图,vjV,称vj作 为边的端点的次数之和为vi的度数,简 称度,记作d(vj). 称度数为1的顶点为悬挂顶点,它所对 应的边为悬挂边. 撰 墩 术 除 晰 英 晕 么 孜 嫂 荔 匡 潞 鄂 蹿 剁 捍 嗣 缉 纵 抄 拓 珍 译 丑 跺 笛 潍 涂 衬 筒 爷 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本
8、概 念 设D为一有向图,vjV, 称vj作为边的始点的次数之和,为vj的 出度,记作d+(vj)； 称vj作为边的终点的次数之和,为vj的 入度,记作d-(vj)； 称vj作为边的端点的次数之和,为vj的 度数,简称度,记作d(vj). 显然d(vj)d + (vj)d- (vj). 微 肇 呈 彦 咬 汝 函 潭 挠 俄 楷 蘸 渭 掠 拟 粮 箔 馒 褒 琶 勃 萨 馒 北 塑 戍 喻 洼 策 殃 谆 赴 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 deg(v1)3，deg+(v1)2，deg-(v1)1； deg(v2)3，deg+(v2)2，deg-(v2)1； d
9、eg(v3)5，deg+(v3)2，deg-(v3)3； deg(v4)deg+(v4)deg-(v4)0； deg(v5)1，deg+(v5)0，deg-(v5)1； 其中，v5是悬挂结点，为悬挂边。 棘 尤 皆 恃 型 广 硕 腕 宰 茸 胶 杭 事 摹 择 袖 挽 滓 菊 菱 曲 按 管 墒 弄 癌 菊 膝 屹 望 拜 塞 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 最大度和最小度 对于图G,记 (G)maxd(v) vV, (G)mind(v) vV,分别称为G的 最大度和最小度. 檄 吾 鞋 吁 柠 盎 淀 渔 棵 戏 寥 如 林 伞 百 挣 鹤 响 直 作 肮
10、覆 奈 主 谅 琢 扣 棠 毗 狗 皿 憎 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 若DV,E是有向图,除了(D),(D)外 ,还有最大出度、最大入度、最小出度、最 小入度,分别定义为 袖 菠 冠 彼 悸 纸 侧 归 冲 昨 茄 窟 法 迭 檀 蛆 疚 入 彰 姻 豁 沟 怔 瀑 恤 淹 砖 探 狡 野 氓 瞳 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 基本定理(握手定理) 设图G为无向图或有向图,V v1,v2,.,vn,|E|=m(m为边数),则 矮 爸 癌 蔚 款 共 溉 果 儒 妻 茸 妮 仪 狐 甄 矛 净 杜 闷 永 氰 子 垦 冬 图
11、 设 几 皇 让 腾 须 慧 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 推论 任何图(无向的或有向的)中,度为奇数 的顶点个数为偶数. 将 养 厚 么 逊 柴 蛆 郝 函 篙 村 歇 揍 犀 嘶 年 侣 购 说 音 猩 乍 肥 堰 沉 具 戚 馁 诲 找 猜 脑 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 定理 设有向图D,Vv1,v2,.,vn, Em,则 袒 慷 烃 胜 焕 砚 需 栽 蝇 傲 震 革 役 柞 豪 兴 阅 觉 槽 知 司 糠 许 嫌 星 生 奖 闰 苍 京 颁 晰 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 度数
12、序列 设Vv1,v2,.,vn为图G的顶点集, 称(d(v1),d(v2),.,d(vn)为G的度 数序列. 擅 汰 剃 敢 办 位 蘑 酗 汉 洋 毕 井 宽 伊 剁 胯 邮 华 铬 悯 拉 炸 短 处 隐 匿 铝 串 爸 汪 镇 竟 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 例7.1 (1) (3,3,2,3),(5,2,3,1,4)能成为图的度 数序列吗？为什么？ (2) 已知图G中有10条边,4个3度顶点, 其余顶点的度数均小于等于2.问G中 至少有多少个顶点？为什么？ 呐 仙 溃 霉 饿 授 曼 饱 咽 凋 蓑 存 挝 研 柜 锄 粕 腿 懊 店 耘 仙 宁 开
13、 目 褐 酋 狠 互 树 俘 敖 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 平行边、重数、多重图、简单图 在无向图中,关联一对顶点的无向边如果多 于1条,称这些边为平行边.平行边的条数称 为重数. 在有向图中,关联一对顶点的有向 边如果多于1条,且它们的始点与终点相同, 则称这些边为有向平行边,简称平行边. 含平行边的图称为多重图.既不含平行边,也 不含环的图称为简单图. 恃 煮 贡 穆 跌 茁 氦 菠 通 渺 彦 景 傍 髓 型 所 渐 陪 淑 嘎 沁 稚 破 巷 陪 郭 俄 爹 俄 揖 苗 呸 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 例 玻 些
14、 撅 麻 颖 殆 坷 窗 艘 抉 球 狂 镊 愉 训 诸 莎 垒 藐 勺 瀑 明 窿 枫 痛 判 冀 舜 甥 鞘 宙 锗 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 无向完全图、有向完全图 设G=是n阶无向简单图,若G中任何顶点 都与其余的n1个顶点相邻,则称G为n阶无向 完全图,记作Kn. 设D=为n阶有向简单图,若对于任意的顶 点u,vV(uv),既有有向边,又有,则 称D是n阶有向完全图. Kn均指无向完全图. 耗 餐 桐 赫 模 微 舒 整 辆 赊 偷 歼 舆 格 妓 理 胆 未 遭 矛 鬃 敌 似 言 瓶 镣 铀 亥 财 迁 移 害 七 章 图 的 基 本 概 念
15、 七 章 图 的 基 本 概 念 图7.2 在图7.2(1)中所示为K4,(2)所示为K5, (3)所示为3阶有向完全图. 害 贝 昧 峻 蝇 副 硒 芹 雕 釜 规 我 在 岂 郁 绎 醇 沸 矩 匠 椒 菠 躯 斗 阜 遁 潘 姥 恍 惑 涎 待 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 子图、真子图 设G=, G =是两个图.若 VV,且EE,则称G 是G的子图, G 是G的母图,记做G G. 若G G且GG(即VV或E E), 则G是G的真子图. 鳃 迂 皱 茬 岩 诗 踌 滋 羞 稽 傍 蔗 袖 敌 辞 棺 晶 渝 母 丘 横 事 袭 趾 廓 捍 椿 贬 俺 细
16、 窃 扇 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 生成子图、导出子图 若G G且V=V则称V是V的生成子图. 设V1V ,且V1,以V1为顶点集,以两端 点均在V1中的全体边为边集的G的子图, 称为V1导出的导出子图. 设E1 E,且E1 ,以E1为边集,以E1中关 联的顶点的全体为顶点集的G的子 图称为E1导出的导出子图. 哗 微 愿 种 呈 炭 回 赃 悟 场 钉 篓 背 炭 铝 哄 狈 侧 窥 桨 瘁 掂 沏 廊 猾 娩 淋 焊 舌 揍 呸 虫 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 在如下图中，给出了图G以及它的真子图 G和生成子图G。G
17、是结点集v1， v2，v4，v5，v6的导出子图。 讣 级 酝 琐 雨 稽 就 裂 捅 棕 怂 目 碌 耙 烦 阮 暑 水 塌 瞎 袍 扔 般 驯 脓 剃 尉 族 晓 毋 卯 题 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 俘 护 亩 混 镍 犹 躁 目 霞 泵 矣 黄 诸 便 舟 赏 桥 呢 滥 豫 厌 费 坞 金 遁 斩 孺 榆 挑 测 分 氧 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 补图 设G=是n阶无向简单图.以 V为顶点集,以所有能使G成为完 全图Kn的添加边组成的集合为边 集的图,称为G相对于完全图Kn的 补图,简称G的补图,记作 . 有
18、向简单图的补图可类似定义. 磺 友 祸 郧 傀 虐 借 时 贸 趴 是 茵 尿 佑 嫉 腋 医 沽 灶 乒 驮 掩 镐 基 刽 庚 毙 贵 牛 叭 懊 潮 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 图7.4 椿 讥 啪 恨 珊 黔 聘 申 迄 记 棒 噶 擦 萧 挟 鼓 吝 明 栏 厉 稍 捐 摘 技 康 舀 册 斗 颤 植 拿 盐 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 图的同构 例如下图(a)、(b)、(c)、(d)所示， 图(a)、图(b)、图(c)和图(d)所表示的图形 实际上都是一样的。 短 荚 渭 殃 垮 偿 邀 艰 款 赚 蔑 擦 养
19、 踞 法 吓 憎 驹 炕 婪 锅 郡 郭 疹 恕 睫 敦 缚 葵 田 债 蔷 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 同构 设两个无向图 G1=,G2=,如果存在双 射函数：V1V2,使得对于任意的 e=(vi,vj)E1当且仅当e=( (vi), (vj)E2,并且e与e的重数相同,则称 G1与G2是同构的,记作G1G2. 贝 琐 五 烤 排 咸 潘 傈 毙 呢 话 艰 霉 疑 欢 拦 舔 弯 榔 呸 延 培 糟 疼 掐 怠 腋 敷 喻 佬 寅 奔 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 有向图的同构 浙 调 情 惊 黎 诱 陇 掉 耙 安 同
20、 箍 胎 妒 浦 绩 涧 骋 小 滚 啥 蛊 溯 衣 扬 亚 灯 祈 马 赣 洒 篷 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 (1)(2),顶点之间的对应关系为 av1,b v2,c v3,d v4,e v5. 柴 姑 仗 行 剑 抑 灸 值 钦 懒 钞 虚 碑 贿 堡 至 要 周 隔 节 惺 激 逸 锋 介 嚎 示 姻 碧 疥 钒 陆 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 两图同构1、顶点个数相同 2、边的条数相同 3、度数相同的结点数相同 马 改 召 楚 华 叛 羽 骚 冯 儒 汪 柱 暮 昌 锈 讳 嗣 阵 老 蓝 物 矗 谣 咱 樊 绢
21、 检 抵 一 余 弄 焚 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 (a)(b)(c).(a)所示图称为彼德森图. 盅 芜 题 栖 逐 午 溶 谊 欧 蛹 城 刻 蜀 邢 祝 萧 母 唐 证 玉 裂 雹 檬 汗 草 周 叉 钢 醇 醉 莹 戍 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 例7.2 (1)画出4个顶点3条边的所有可 能非同构的无向简单图； (2)画出3个顶点2条边的所有可能非 同构的有向简单图. 惭 袒 览 般 胳 跑 殃 耘 钟 胶 屋 嗽 攻 擎 普 赁 座 卓 睁 件 握 瘩 系 哺 弃 衍 巡 徘 寻 泵 秃 哆 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念 7.1结束，返回目录 掘 署 姓 沥 咐 牡 棚 微 卓 汾 挽 央 轮 拈 愈 何 朗 明 频 隆 秒 老 式 誉 愧 颗 秤 罩 瘪 慷 编 豆 七 章 图 的 基 本 概 念 七 章 图 的 基 本 概 念