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1、第四十一讲,主讲：杨荣副教授,大学文科数学,吉林大学远程教育,（微积分学）,咸站嘱裂汇牲吓赖悠唉围藏组绪拆湾喉共趴坚揭麻嘉寨偏疥义哄缆桨骋滤第四十一讲第四十一讲,2.2 定积分的定义,类似于曲边梯形面积的计算，还有许多其他实际问题，例如求变速直线运动的距离问题，旋转体的体积问题，曲线的长问题，等等，它们都可以结为求某种和式的极限。我们把解决这些问题的数学思维方法加以概括和抽象，便得到定积分的概念。,a、b分别称为定积分的下、上限。,定积分的这个定义，在历史上首先是由黎曼（Riemann）给出的，为了纪念他，在上述意义下的定积分也称为黎曼积分。,定义3 设函数 f (x) 在区间 a , b上连
2、续，用分点a =x0x1x2 xn1 xn= b把区间a , b分成 n 个小区间xi1 , xi ，其长度为 xi xi xi1，(i= 1, 2, ，n ) 。在每个小区间xi1 , xi上任取一点i ； xi1 i xi ，并作函数值 f (i)与小区间长度 xi的乘积 f (i) xi的和 ，记 。当 时，若Sn有极限 S，则称此极限值 S 为 f (x)在a , b上的定积分，记为,憨霍溅烩抡齐槐姜偿肪闺韶开砰坯绣灵毒交隆劲梨拙涕棉诽嘿形零母叛队第四十一讲第四十一讲,注1 若 f (x) 0时，则f (i) 0 (i= 1, 2, ，n ) ，因此曲边梯形的面积为,即：定积分的值不依
3、赖于积分变量的选择。,注2 定积分是一个数，它仅仅取决于被积函数以及积分的上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，即有,即,这说明，当 f (x) 0时，定积分 的几何意义是：它等于曲边梯形面积的相反数。,注3 为了使用方便，我们规定：,汪囤敏腕漱描嚎挠枯串野烧查局悄喳逢协倚什慈喜氨毋笋轨臼舱黑陪陌缓第四十一讲第四十一讲,对于定积分我们要研究两方面的问题：第一， f (x)在a, b上具有什么条件才是可积的。第二，在可积条件下如何求定积分的值。,关于第一个问题，我们只给出一些结论，其证明超出本书的范围，在此从略。首先 f (x) 在a, b上可积，从定义可知必须 f (x)在a, b上有界。因
4、为否则无论对于怎样的分法，总至少有一个小区间xi-1, xi，f (x)在其上无界，因而可取i使 f (i) ti以及积分和的绝对值任意大，所以积分和不能有极限。这就是说， f (x)在a, b上可积的必要条件是 f (x)在a, b上有界。不过被积函数有界只是定积分存在的必要条件而不是充分条件。关于定积分存在的充分条件叙述成以下的几个定理，称为定积分存在定理。,定理1 f (x)在a, b上连续，则 f (x)在a, b上可积。,定理1告诉我们，只要能判定被积函数在积分区间上是连续的，就可以断定它是可积的。我们知道，初等函数在它的定义域中的任何一个有限闭区间上都是连续的，因而是可积的。,秤仆
5、哪唆佐笔渴鹏综益氮擎谈腋柱戍敌惩冉肪读腥累额厕舔辉叠诊魏氖豫第四十一讲第四十一讲,根据定积分的定义及存在定理，前面讨论的曲边梯形的面积A，即为函数 f (x)在区间a, b上的定积分,作变速直线运动的物体经过的路程 s，即为速度函数 v (t)在时间区间a, b上的定积分,下面我们讨论第二个问题，即在可积的条件下，如何求定积分的值。根据定义，在可积的情形下，积分和的极限值与对区间a, b的分法及 i的取法无关，因此我们可以对区间a, b采用适当的分法并且适当的选取i来求积分和的极限。,例1 求定积分,解 由于被积函数 x2在积分区间0, b上连续，故定积分存在。将区间0, b n 等分，分点为 ，各小区间长度都为 ，取i为各区间的右端点，即,惋狙阿戊瓢值旷去块霍土骂粥亿味灭因篆殖屯优萤少吃赐诣构信驹坡弹绷第四十一讲第四十一讲,积分和为,显然，用上述方法求定积分是很不方便的，以后我们还要详细讨论定积分的计算问题。,现在 ，所以0相当于n ，对上式取极限，得,双狙蕴巢办傲旅仿强慕惧荣操稳膳藉居烙棺绍苦褪禾铡敬享慑做溺陆诉跑第四十一讲第四十一讲,例2 求定积分,例3 求,禄左周逮梭葬装举髓鄙妊耻扑毕蠢斟氮贮漫卞酬磋屑掷狂渗痊苞仿狙勤勇第四十一讲第四十一讲,谢谢！,遵帖刀收晨谭群幌疫靳您乙蒲喜庄琼病掀锡傲凌擞阿喘拆簧费眨背寇廖趋第四十一讲第四十一讲,