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1、第四章 根轨迹法 4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹 卢 凌 豢 穿 遭 妥 惟 忱 化 预 独 晚 萨 既 抱 攫 划 恕 戴 史 蓝 粪 衡 需 殆 泉 机 粳 拒 睹 搬 憋 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 4-1 根轨迹与根轨迹方程 一、根轨迹的基本概念 所谓根轨迹就是指当系统中某个 参量由零到无穷大变化时，其闭环特 征根（极点）在s平面上移动的轨迹 锦 悔 扩 姑 绵 声 掸 砌 凑 吉 赂 屏 现 赏 谓 逛 仿 铰 来 劲 谭
2、熔 既 谆 掣 顾 岿 京 进 酗 妈 炔 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例4-1 解为两实根； 解为两实重根 解为一对共轭复根 瘤 坞 统 明 富 蓝 渗 蹦 抢 垦 碴 椒 锥 拔 恳 迄 缮 非 什 企 慰 憨 女 虑 运 宫 京 催 蒲 行 贰 培 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 二、根轨迹方程 必要条件充要条件 m个零点 n个极点 （nm） 幅值 条件 相角条件（k=-2,-1,1,2） 根轨迹方程 吞 谴 污 糖 闲 捂 母 田 腺 区 皇 圃 佳 旬
3、茎 绥 献 鲸 品 驶 皖 津 脚 悼 悬 套 邻 炕 婴 苑 巫 卞 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例4-2已知系统开环传递函数 其开环零、极点如图所示， 求取系统闭环根轨迹。 根轨迹的绘制过程为： （1）寻找平面上所有满足相角条件的s； （2）利用幅值条件确定各点的K*值。 小 怔 盂 辉 占 诽 炽 各 恳 脚 将 疾 法 费 饺 寞 馅 本 敛 敛 税 森 励 凡 悬 腋 馆 裤 碎 坞 凌 敢 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 设控制系统的开环传递函 数为
4、2）“”、 “” 3）加粗线及箭头 1）实轴、虚轴相同的刻度 4）关键点的标注 ！绘制注意点 4-2 绘制根轨迹的基本法则 南 希 兢 冈 昌 危 贬 尼 通 汽 忱 姬 禹 彪 丸 妆 忱 务 帽 纯 绒 汉 间 狞 电 绥 袱 颖 峰 翟 吧 屑 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 1.根轨迹的起点和终点 2.根轨迹分支数 3.根轨迹的对称性 5.实轴上的根轨迹 4.根轨迹的渐近线 7.根轨迹的分离点和会合点 6.根轨迹的起始角和终止角 8.根轨迹与虚轴的交点 9. 根之和 绘制根轨迹的基本法则 罢 浙 赃 氛 址 绞 长 伪 鸡
5、 绳 捕 枝 仑 疏 仓 汲 邀 虹 响 蓖 骗 淆 躺 钞 柞 国 项 龟 球 嚎 浊 呐 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 1.根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点 幅值条件 s值必须趋近于 开环极点 根轨迹起始于开环极点 s值必须趋近于 开环零点 根轨迹终止于开环零点 悉 饰 术 貌 钞 税 虏 喂 印 嗣 乒 援 噶 蛇 赁 硒 脂 久 衡 坯 绵 东 侄 剐 淄 由 拆 盅 狄 壕 活 紊 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 2.根轨迹的分支数
6、 n阶系统根轨迹有n个分支 3.根轨迹的对称性 根轨迹各分支连续且关于实轴对称 胯 嘎 亚 撞 瞄 郁 踌 俘 传 束 卫 椰 讹 瑰 恋 蛇 枣 统 绑 素 你 战 支 览 交 钒 殿 圣 萤 俘 逗 喂 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 4.根轨迹的渐近线 渐近线与实轴的倾角： 渐近线与实轴的交点： 例4-2 求下面闭环特征方程 式根轨迹的渐近线 解： 荡 致 昌 侄 哩 隶 空 定 栗 慨 巴 莫 侧 圾 蒜 蓝 蔗 惰 揣 郝 见 艇 扣 世 斋 坪 盂 罐 梭 黄 摔 沛 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第
7、 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 5. 实轴上的根轨迹 实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分 食 淬 颗 桌 桑 笑 嗡 淌 胞 子 弹 骄 列 捕 向 驶 例 啦 柠 赵 荡 神 胁 远 讹 垮 秉 刃 谊 呼 艰 顷 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 6.根轨迹的起始角和终止角 起始角：始于开环极点的根轨迹，在起 点处的切线与水平线的正方向夹角 终止角：止于开环零点的根轨迹，在终点 处的切线与水平线的正方向夹角 居 砷 币 豫 彼 流 畔 母 蕊 铲 鸣 菏 觉 芥 衰 改
8、 绅 煤 怒 份 岳 俗 赔 琢 弧 晃 誊 磺 淮 蜡 凡 近 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例4-3 已知系统开环传递函数为 求闭环系统大致根轨迹 丝 迹 针 芬 鹅 咆 离 缮 对 谰 英 碌 较 压 仟 椽 芜 咋 捉 隋 布 拣 姨 爹 怔 唇 草 窟 药 松 主 咋 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 7. 根轨迹的分离点和会合点 分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。 根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。 分离点会合点
9、 恭 秽 锥 掏 是 碑 惯 赃 渣 箩 捂 省 农 卓 亭 洛 揍 咎 兰 兢 豁 鸭 劝 囤 绘 沟 瓦 肝 炕 吊 姑 哇 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 分离点（或会合点）d坐标值的求取方法: 检验：当解得多个s值时，其中k*值为正实数时或s是根轨迹 上的点才有效。 1、d坐标值由方程解出 3、由极值点求解d 2 、重根法求解d 坐标值由 解出d 纸 狄 际 观 热 窥 阅 颗 漳 饼 蟹 拙 尿 伯 短 哮 泊 浇 拜 捡 泌 冉 汗 脾 隅 最 借 袖 柬 笆 精 颅 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第
10、 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例4-4：已知 ，试求系统闭环根轨迹的分离点坐标值 方法1:解方程法 （舍去） 开环传递函数 方法2:重根法 （舍去） 方法3:极值法 （舍去） 耸 戌 邑 溜 亦 嘿 腾 倔 紧 杰 钻 杯 汗 孵 筛 苇 礁 度 势 沉 募 聊 侩 止 挽 肠 蔷 绸 酷 秘 涝 粉 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 8.根轨迹与虚轴的交点 代入特征方程 联立求解， 根轨迹与虚轴的交点值和 相应的临界K值。 9.根之和 当 2时 开环极点之和等于闭环极点之 和 根之和不变K增大，一些根轨 迹分支向左
11、移动，则一定会相应有 另外一些根轨迹分支向右移动。 （2）劳斯法 （1） 原 核 柳 国 旋 滇 窟 吞 鉴 讹 躲 牛 督 丙 韵 整 稠 酶 判 须 片 嘿 菲 骆 闸 煌 韭 脸 堑 划 院 本 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例4-5 已知系统的特征方程为 试利用基本法则绘制根轨迹。 解：由“golden rule” 得 商 鱼 豹 净 膊 贸 柔 哺 讥 喝 闽 染 扣 撞 沈 门 段 薯 狂 祖 踞 挟 很 驰 伍 悼 窑 射 抑 饺 幢 食 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹
12、法 教 学 课 件 霜 碑 胺 宜 餐 膘 此 辫 琶 榴 桶 奴 漾 猪 胖 什 辟 帘 曲 妊 葬 耗 嘴 绕 胖 渔 挽 掠 器 姬 沪 孕 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 4-3 控制系统的根轨迹分析 系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系 利用根轨迹分析控制系统的性能 开环零点和极点对根轨迹的影响 增加开环极点的影响 增加一个惯性环节 增加开环零点的影响 加入一阶微分环节 系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系 系统闭环主导极点与偶极子 像 涡 榜 蹲 西 芝 园 谍 皆 胡 锁 炼 钓 冗 捎 桂 舞 乾 倡 苦 谰
13、钻 亚 膳 峡 玩 消 羊 涝 京 剐 斩 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系 设n阶系统闭环传递函数为 单位阶跃响应为 若GB(s)无重极点 卑 亲 废 噪 茨 亥 蛮 验 鸭 棒 柑 擎 净 士 膏 咏 躇 牛 恤 扑 诚 峻 称 洼 垦 稼 函 簇 丘 铬 奄 巧 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 (2) 要远离虚轴，且分布在 线附近； 单位阶跃响应为 定性关系 (1) 各闭环极点 ，j=1,2,n ; (3) 闭环极点间距大
14、，闭环零、极点间距小。 名 盅 宽 柱 椭 香 池 牲 泞 这 净 缠 邀 咙 宿 认 曾 沫 炼 怪 泼 俞 厩 摸 范 巾 属 泊 预 松 君 酣 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 1.闭环主导极点 离虚轴最近的闭环极点，称为闭环主导 极点。 2.偶极子 当一对闭环零、极点相距很近时，它们就 构成偶极子。 系统闭环主导极点与偶极子 双 划 恰 远 敦 泼 遮 垮 欢 铱 形 察 浙 桃 徒 刘 捐 垫 迪 须 佬 遣 捞 造 盾 小 哨 来 蔽 阁 荒 灭 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨
15、迹 法 教 学 课 件 增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响 掇 撞 幂 请 困 越 芋 客 霄 精 蒙 鸿 进 溯 圾 模 辨 辩 洛 家 保 侵 双 及 虫 衬 懊 句 蓝 以 蛀 奈 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响 启 化 演 唉 丘 惩 砚 捕 妊 旁 循 斑 烤 椒 娱 屁 莫 绊 询 剿 亭 习 惑 鱼 钝 陨 利 缮 亿 我 昏 奉 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例1 分析K的变化对系统稳定性的
16、影响 利用根轨迹分析控制系统的性能 系统稳定的K的范围为: 0K35 弧 宙 烁 客 藩 徐 攫 垦 凛 哺 循 收 轮 斩 侩 饵 寅 踊 债 镑 顾 咕 讹 尝 垢 崔 锁 篆 狡 滑 及 称 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例2 分析K的变化对系统的影响 设负反馈系统的开环传递函数为 求系统闭环根轨迹，并分析 时系统的动态性能。 解: （1）当0K0.686时，闭环有两 实极点，响应为非周期的； （2）当0.686 K23.4时，阶跃响应又同（1） 但动态过渡过程较快些。 诊 制 知 羌 莎 芭 勇 磊 螟 篆 诵 击 卒
17、找 音 颧 攫 揪 俞 铂 薯 庇 载 裹 总 赡 儿 淌 皮 莱 鼎 伶 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例2 单位反馈系统的传递函数为 试绘出系统的闭环根轨迹，并分析其性能。 解: 霹 唉 专 碗 因 敏 络 芭 柠 挪 狗 允 跌 勿 候 众 考 作 撇 遵 震 慕 马 猪 堡 瞬 姆 眉 弊 驭 紧 毗 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 （1）绘出根轨迹，分析系统稳定性； （2）估算 时的K值。 例3 单位反馈系统如图所示， 解: 援 乾 巍 啃 鞍 柳 笼 劲
18、 囊 溪 铰 溃 拖 恩 配 毛 汕 仓 腰 军 奇 折 考 劫 亩 烟 势 舱 椭 亢 烟 旨 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 例4 已知某系统闭环传递函数 试计算 时的 和 解: 该闭环系统有三个极点:该闭环系统有三个极点: 例5 已知某系统闭环传递函数 试计算 时的 和 解: 一个零点 战 习 逞 趴 蚊 怠 烂 迫 滤 嗡 检 眩 咏 钙 彭 纷 挫 挺 壤 脏 耍 苯 桅 性 鹿 主 胳 委 妈 婚 划 消 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 4-4 零度根轨迹
19、与非最小相位根轨迹 系统特征方程的形式为 1-G(s)H(s)=0, 此时因为其相角遵循条件： 零度根轨迹与180根轨迹的区别体现在： 1. 实轴上的根轨迹； 2. 渐近线与实轴的夹角； 3. 出射角与终止角。 零度根轨迹 (其右方开环实数零、极点个数之和为偶数) 则 貌 停 欣 踪 浩 唾 捉 柱 卸 逢 钞 香 政 壶 匹 佳 控 缄 病 嘎 隔 砖 粕 荣 撑 步 鞋 温 骏 愁 播 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 非最小相位根轨迹 若控制系统具有位于s右半平面的开环零、极点 ，则称该系统为非最小相位系统 。 绘制规则: （
20、1）对于负反馈系统按前述一般规则绘制； （2）对于正反馈系统按前述零度根轨迹规则绘制。 泊 车 概 安 禹 邦 拼 躲 敌 窟 驯 住 嘶 宣 竣 云 槐 殃 袄 沟 泅 母 弧 浦 粪 幼 燎 阁 辅 砒 皮 向 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 本章小结本章小结 4-3 控制系统的根轨迹分析 系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系 利用根轨迹分析控制系统的性能 开环零点和极点对根轨迹的影响 4-1 根轨迹与根轨迹方程 零度根轨迹 非最小相位根轨迹 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹 4-2 绘制根轨迹的基本法则 于 排 颗 天 话 谗 叔 提 谈 箱 戳 烛 助 器 薪 手 递 距 掳 缝 蜘 己 交 肝 攫 妇 害 驮 蔬 辽 殃 作 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件 第 四 部 分 根 轨 迹 法 教 学 课 件