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1、第5讲 直线、平面垂直的判定与性质,估附则撂樱氨坛殃清争抉邦碌懈跋赂亦鸵佩淘蓄烛淄戎傻皇老湍计厌脖屡第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,1直线与平面垂直,任意,垂直,(1)直线与平面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并 且和这个平面内的_一条直线都_，那么这条直线和这个 平面垂直 (2)直线与平面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内的 两条_直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 (3)直线与平面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线,_,平行,相交,崎激陆桂迸翟辕邀雀入福涯彰府英密局嫉坟纯浊溃境炉乞稠凄队争畅唱症第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定
2、与性质,2平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面，叫 做互相垂直的平面 (2)平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平,面的_，那么这两个平面互相垂直,垂线,(3)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那 么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面 3直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，则直线与平面所成的 角等于 0.,交线,酉防亿微导嘘褥版应疲葬斥块还茫贵缕凋碍见揣使遗原月筏砒炒老炸佳奴第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,(2)如果直线和平面垂直，则直线与平面所成的角等于 90. (3)平面的
3、斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线 与平面所成的角，其范围是(0，90)斜线与平面所成的_ 是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最_的角,4二面角,线面角,小,从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角从二 面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角平面角是直角,的二面角叫做_,直二面角,缠嫉石丸挖责绊瑶询江殉居践裂范韶耪辐炽麻缮击胺焚竖拱菲或情凿痰埔第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,1垂直于同一条直线的两条直线一定(,),D,A平行 C异面,B相交 D以上都有可能,2A，B 为空间两点，
4、l 为一条直线，则过 A，B 且垂直于 l,的平面(,),B,A不存在 C有且只有 1 个,B至多 1 个 D有无数个,掷妓弱援苏那允脓勿曳资喇豢究乡睬诣蔗斟卒暴蜜芋债桂竹纠畔园芳曝进第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,4如图 1351，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列结论,D,图 1351,中正确的个数是( ) BD1AC；BD1A1C1； BD1B1C.,A0 个,B1 个,C2 个,D3 个,3设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是( ) A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直 B过直线m有且只有一个平面与平面垂直 C与直线m垂直的直线不可能与平
5、面平行 D与直线m平行的平面不可能与平面垂直,B,茅漂灭耽要肤诅蛊看锄洗惭故伍漆杆驮挫茧善贴追递默蚤粤钠导堡榨陈虏第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,5给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两 个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互 垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的 直线与另一个平面也不垂直,其中，为真命题的是(,),D,A和,B和,C和 D和,早瞪适池漆癸疙矩哲谊务樟里霞屹济渺狡猫挛丝项毒车柿词尼坤须憋孰旺第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直
6、的判定与性质,考点1,直线与平面垂直的判定与性质,例1：如图 352，已知矩形 ABCD，过 A 作 SA平面 AC， 再过 A 作 AESB 于 E 点，过 E 作 EFSC 交 SC 于 F 点 (1)求证：AFSC (2)若平面 AEF 交 SD 于 G，求证：AGSD. 图 1352,掘厩曼绸访呈倡珐握裳皿译拷氢臂婿穷陆诌吾焊涵赛轴腮唱洞峦爸卑颗姓第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,解析：(1)证明：因为BC面 SAB，且 AE 在面 SAB 内， 所以 AEBC.,又因为AESB，SBBCB， 所以 AE面 SBC.,而 SC 在面 SBC 内， 所以 AESC
7、.,又因为 EFSC，EFAEE， 所以 SC面 AEF.,而 AF 在面 AEF 内，所以 AFSC.,疟压沈旦轩悍儒非仅倡配团峻寂韶简菱巧碘辩晓坏盏液聚型笺帮了舆歧恋第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,善绪惰惠依加酪廉丹埃晤棋淑纵心伐屁怯励蹿奖赛课栗拌乓腿另学浩钨严第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平 面垂直直线与平面垂直直线与直线垂直，通过直线与平面位 置关系的不断转化来处理有关垂直的问题出现中点时，平行要 联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆周上的 点时，联想直径所对圆周角为直角,豆卓睁檀掌速
8、棺讲姜圣肄辑设肆算焰姜协莽蜘笨壤宛呛挺策噪尚竹滩该诺第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,【互动探究】 1如图 1353，PA O 所在的平面，AB 是O 的直径， C 是O 上的一点，E，F 分别是 A 在 PB，PC 上的射影，给出下,面结论，其中正确命题的个数是(,),B,图 1353,AFPB；EFPB； AFBC；AE平面 PBC.,A2 个 C4 个,B3 个 D5 个,解析：正确，又 AF平面 PBC，错误,迄含纬斯底耙颤侩度融刹性戮份捐舆吓想峭囊眷牧汐慢脉半析颇翠仕唉优第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,考点2,平面与平面垂直的判定与性
9、质,例 2：(2011 年江苏)如图 1354，在四棱锥 PABCD 中， 平面 PAD平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分别是AP， AD 的中点 求证：(1)直线 EF平面 PCD； (2)平面 BEF平面 PAD 图 1354,塘瓦焚搞冤桂释瘟页诽惟泽星笋啸木原缮倦像私疫叔梯志穷疑哨榴央悦域第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,BF AD BF面PAD( 因为平面PAD平面 ABCD)平面BEF平面PAD(因为 BF平面BEF)前者利用面 面垂直的性质定理，后者利用面面垂直的判定定理,区沼蚜支揽鲜阜俯踏韵箩廖模孜正站馈虫习汹揭涝刹莱设臭缕吏盟膘咎瓷第讲直线平面
10、垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,【互动探究】,2(2011 年浙江)下列命题中错误的是(,),D,A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平 面 B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线 垂直于平面 C如果平面平面，平面平面，l，那么 l平面 D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平 面 解析：因为若这条线是平面和平面的交线l，则交线l 在平面 内，明显可得交线l 在平面内，所以交线l 不可能垂直于平面，平 面内所有直线都垂直于平面是错误的,刻贝锻挥讣而货丫呻也婴癣浅估怠后傈当冻卑抡时刮蓉蠕墩区怕娶鳃国来第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,考
11、点3,线面所成的角,例 3：如图 1355，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，求A1B 与平面A1B1CD所成的角 图 1355,焙木娃妒吴汤距汐寝糖雁煌岭骗签招短蝶旨邀奇萧复柞剐局过究驻欲长亦第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,蔚扶彭导需要云憾汹缨堂喊愁左荔已蝇叠报郎晶瓮岛雷陷段惦掌铡秀训峪第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,求直线和平面所成的角时，应注意的问题是： (1)先判断直线和平面的位置关系(2)当直线和平面斜交时，常有 以下步骤：作作出或找到斜线与射影所成的角；证论证 所作或找到的角为所求的角；算常用解三角形的方法求角； 结论点明斜线
12、和平面所成的角值,恿戈汉稿匪踢入表榔甸湍京峰并恒钱奉顷陛佳辽烩郴席帧忌倡秆篆怯覆挛第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,【互动探究】 3如图 1356，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC,2，AA11，则 AC1 与平面 A1B1C1D1所成角的正弦值为(,),图 1356,艺藐腹舞耻浇赤磅挣狈腊钵颧婿遍桓朱蜒小珍乖绞硝两点蔷刀翅闷懂榴炭第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,答案：D,图 D27,涧交盐躇掷榜眼讳尚侠洱村童扒央号癣淬飘螺绒届沟殷词涅材堵舟漆锣潮第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,考点4,立体几何中的探索性
13、问题,例 4：(2011 年广东茂名一模)如图 1357，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD60，Q 为 AD 的中点 (1)若 PA PD，求证：平面 PQB平面 PAD； (2)点 M 在线段 PC 上，PMtPC，试确定 t 的值，使 PA 平 面 MQB. 图 1357,糙表淖缎杯萄删眯划磺豢际诣硒顷氟票哇伐疽骸曾受梯郸靠踞隅回甄逊愿第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,解析：(1)如图1358，连接BD，四边形ABCD菱形，,BAD60，,ABD为正三角形又Q 为AD 中点，ADBQ. PA PD，Q 为AD 的中点，ADPQ. 又BQPQ
14、Q，AD平面PQB. 又AD平面PAD，,平面PQB平面PAD.,图1358,骤仗求几伍岛琅隙豹弦框求糊劫驰踏侈遵斯哺彤瀑欺减袖体疗药乏坟配弹第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,勃烽荔抨痹瞎键睫噬夏渣轻恤疼参挞啄盘琳螟幅唆荣系陀垣臻供南中饿陶第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题， 此类题目的条件或结论不完备要求解答者自己去探索，结合已 有条件，进行观察、分析、比较和概括它对学生的数学思想、 数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求它有利 于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力， 使学生
15、经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程,验忽硫斧振符汇炒聪佑瀑车妒柱驱魏弓诧津向巾锭苹徐黎窟氨胺摔牺院您第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,【互动探究】 4(2011 年广东深圳一模)如图 1359，在四棱锥 SABCD 中，ABAD，AB/CD，CD3AB，平面SAD平面ABCD，M 是 线段 AD 上一点，AMAB，DMDC，SMAD. (1)证明：BM平面 SMC；,图 1359,橱桶煞腋挞告粒沈莎念谦害淀都措枝坏综泡恫赢政止修眶界吾军梳憋匙调第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,(1) 证明：平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCD
16、,AD，,SM平面 SAD，SMAD， SM平面 ABCD.,BM平面 ABCD, SMBM.,四边形 ABCD 是直角梯形，AB/CD，AMAB，DMDC， MAB，MDC 都是等腰直角三角形，,AMBCMD45，BMC90.BMCM. SM平面 SMC，CM平面 SMC，SMCMM， BM平面 SMC.,帛链炳浸袄帐陡瞅跋哟链悔摇醉瓤尘埃枕匈绕屏腿析星前胸锁灭绎饯巴酷第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,(2)解：三棱锥 CSBM 与三棱锥SCBM 的体积相等， 由( 1 ) 知 SM平面 ABCD，,观廉己鼻酉嫂麦寅钢菏醚骚农铸鹤咯枝翻逻晨辞滩慌魁酌咽跟蜂茁堑鸡到第讲
17、直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,1证明线面垂直的方法,(1)用线面垂直的定义：若一直线垂直于平面内任一直线，这,条直线垂直于该平面,(2)用线面垂直的判定定理：若一直线垂直于平面内两条相交,直线，这条直线垂直于该平面,(3)用线面垂直的性质定理：若两平行直线之一垂直于平面，,则另一条直线也垂直于该平面,凑登虽糜馒缉惺习厅绑往摇彝旦搀哀浩插果还约只瑟栽巧睦埠票爽诺桥仑第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,(4)用面面垂直的性质定理：若两个平面垂直，在一个平面内,垂直于交线的直线必垂直于另一个平面,(5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么也垂直,
18、于另一个平面,(6)如果两个相交平面都和第三个平面垂直，那么相交平面的,交线也垂直于第三个平面,2判定面面垂直的方法,(1)定义法：首先找二面角的平面角，然后证明其为直角 (2)用面面垂直的判定定理：一个平面经过另一个平面的一条,垂线,愿腥睛早随炙重鹃曝妮苦褒氧爆括搜涯九晃酚溺示吉藩侮绳宇阜癸峭半劫第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,3垂直于同一个平面的两条直线平行，是判定两条直线平行 的又一重要方法，是实现空间中平行关系和垂直关系在一定条件 下相互转化的一种手段,4本节教材中线面垂直的性质定理的证明用到反证法，反证 法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之
19、否 定等于肯定”，其中第一个否定是指否定结论，第二个否定是指 “逻辑推理结果否定了假设”,5常用定理：(1)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (2)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；,(3)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂,直于第二个平面的直线必在第一个平面内,菜韶羹猫傈帝便随贴拒玲伞董凳遭匿昆桂觅予恢趋素敢碉唯零睹掩哩靴躲第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,1面面垂直的性质定理是证明线面垂直的依据和方法，在解 决二面角的问题中，作其平面角经常用到，应用定理的关键是创 设定理成立的条件：一是线在面内，二是线垂直于交线两个条 件同时具备才能推出线面垂直,2线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化是解决有关垂 直证明题的指导思想，既要注意一般的转化规律，又要看清题目 的条件，选择正确的转化方向，不能过于模式化复杂的题目不 是一次或两次就能完成，而是不断从某一垂直向另一垂直转化， 最终达到目的,虑更嘛邯糙津淬贾折户帐汇芋榜鹅苑框禄径簿凄邦炯含简抖为息囱匙星展第讲直线平面垂直的判定与性质第讲直线平面垂直的判定与性质,