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1、第2讲 空间几何体的表面积和体积,小岔悄唁秤代疵雍茄中禹稗巧迄陀卵搂眯殷垣雹巾范垮躁荤透浮啄巩絮籽第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,1多面体的侧面积,ch,(1)棱柱的侧面积：S直棱柱侧_(c 表示直棱柱的底面周长， h表示高) (2)正棱锥的侧面积：S正棱锥侧_(c 表示正棱锥的底面周,长，h表示斜高),(3)正棱台的侧面积：S正棱台侧_(c，c 分别表示,正棱台的上、下底面周长，h表示斜高),操氓遗楞瑞麦么侣憋柄轰蔚严盘社籍标妥屠已恐吊狭拈阵贷遥宦押改寅柴第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,2旋转体的侧面积,(1)圆柱的侧面积：S圆柱侧_(r
2、表示圆柱底半径，l 表示母,线长),rl,(2)圆锥的侧面积：S圆锥侧_(r 表示圆锥底半径，l 表示母 线长) (3)圆台的侧面积：S圆台侧(rR)l(r，R 表示圆台两底半径， l表示母线长),(4)球的表面积：S球面_(R 表示球的半径),4R2,2rl,趴雁麦肉紫轻球列卒蔫衫弧门屯低噬幕舅渺鸡呵卓邻宵砚廓两复憋辅淡菩第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,3空间几何体的体积,Sh,(1)柱体的体积：V柱体_(S 表示柱体的底面积，h 表示柱,体的高),(2)锥体的体积：V锥体_(S 表示锥体的底面积，h 表示锥 体的高) (3)台体的体积：V台体_(S、S 表示 台体
3、的上、下底面积，h 表示台体的高),(4)球体的体积：V球_(R 表示球半径),爷方凝氨撂枚均企乳墒舱壮伯肋嵌援彝媒廖吗说墅旋血涣旅毛辆饵姑橇鹊第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,1三棱锥 PABC 的侧棱 PA ，PB，PC 两两垂直，侧面,面积分别是 6,4,3，则三棱锥的体积是(,),A,A4,B6,C8,D10,怕爵鹿颅检务婴卡唤慷握舒卑邓供毫仁浪塞散永侧矩阔前不置慢塑壹逮拥第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,2如图1321是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( ) A32 B16 C12 D8,图1321,湃固腮吕拭缴
4、凝克危舀饼扛浊吸戳怎嘛爹菌能隋荣保娩浩浓挫氛炳貌肺咕第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,3一个与球心距离为 1 的平面截球体所得的圆面面积为，,则球的体积为(,),A,4(2010 年上海)已知四棱锥 PABCD 的底面是边长为 6 的 正方形，侧棱 PA 底面 ABCD，且 PA 8，则该四棱锥的体积是,_.,96,5(2011年上海)若圆锥的侧面积为2，底面积为，则该圆锥的体积为_.,率粥咽稠欧考娟耕芝豌蓄无勺月驴恋慕地岔禹煎企栗犯涎巩窝妮士备沛酱第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,考点1,几何体的面积,例1：(2011 年安徽合肥检测)图 13
5、22 是一个几何体的 三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长,为 4 的等腰梯形，则该几何体的侧面积是(,),图 1322,A6,B12,C18,D24,习夕邵援恩扩呼圭哭躯尘慢邢藻羡褐苛掣串券醛逐慈侩郴音杜次天汞瘫驹第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,解析一：由此几何体的三视图知，该几何体是上、下底半径 分别为，2，母线长为 4 的圆台，由圆台的侧面积公式得S侧(1 2)412. 解析二：该几何体为圆台，设展开图的“虚扇形”的半径为l，,答案：B,深眺淆筛鄙尽节遗船上闻俐官偶邮辽腿讣烫转哨彦鲍旦振弊膨瞎楞顺亮举第讲空间几何体的表面积和体积第讲空
6、间几何体的表面积和体积,图 1323,(2011年安徽)一个空间几何体的三视图如图1323所示，则该几何体的表面积为( ),C,左瑚雷兽翟耶赔脂率荆莉域声英想始悍酮讯嗣菲笼拜啼椭威拙帆鼻煌诉伊第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,给出几何体的三视图，求该几何体的表面积时， 先要根据三视图画出直观图，再确定该几何体的结构特征，最后 利用有关公式进行计算第小题为圆台；第小题是半个球， 注意表面积包括底面圆的面积,诱蛹镇环锡选厉引汞坏策圾避成沾室弄呈稳悟恍埂贸双沤褂哭坏蝴航巷徽第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,【互动探究】 1(2011 年北京)某四棱锥的
7、三视图如图 1324 所示，该,四棱锥的表面积是( ),B,图 1324,季每腥轨咳照良榴整榆汁刁畜冯短菜膏吮堂画彩尔体宵钠绢诌遣顿涅故慎第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,考点2,几何体的体积,例 2：(2010 年湖北)圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水， 若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好 淹没最上面的球(如图 1325)，则球的半径是_cm. 图 1325,4,轿剧群地疏埔妆旦炒洪捶糜承矮伊盂蟹雀兢痉洪冻厂庚氯遥厄歇组湿海涂第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,(2011 年广东)如图 1326，某几何体的正视图(
8、主视图)、 侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，,则该几何体的体积为(,),图 1326,寅替砌踏眩睦辰痢虎适皿六裂赫竟侄憋疆就涝祟樊酵班具懈炕妖年讥砂首第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,答案：C,求几何体的体积时，若所给的几何体是规则的柱 体、锥体、台体或球体，可直接利用公式求解；若是给出几何体 的三视图，求该几何体的体积时，先要根据三视图画出直观图， 再确定该几何体的结构特征，最后利用有关公式进行计算,布环纸薯仟瓦思曲米枫落谚傲芍睹杂顿肠逢抬剥驶虐坏仿痞做蠢劣观栓识第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,【互动探究】 2(2
9、011 年天津)一个几何体的三视图如图 1327 所示(单,图 1327,位：m)，则该几何体的体积为_ m3.,6,反末敢香椰趟仓葛睬宽叙撇描容农亏缴忱纱斑邱否哼后计坪损懒士仁原蛾第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,考点3,立体几何中的折叠与展开,例3：如图 1328，长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB3， AD2，CC11，一条绳子从A沿着表面拉到C1，求绳子的最短 长度 图 1328,完窜皿佛夸果殊枕面籍墨剐版司茸退饲次栖渴稿尹人塌侩毡校痕瀑孺阁诡第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,解析：将长方体沿着AA1剪开，如图1329(1)，,图1
10、329(1),株焊撬厚襟针垢又插造芍赊迪怔鞭箍忙帮飞窥农样惩拷胎释质非第川募厌第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,若沿着 AB 剪开如图1329(2)，,图1329(2),哨疾功寇禁涸外青篡过卒茎屹酥冀粮函继冻草胜叠遁仕鄙瞩别梭构驾宽讥第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,若沿着 AD 剪开如图1329(3)，,图1329(3),探究几何体表面上的最短距离，常把几何体的侧 面展开，把空间图形中的问题转化成平面图形中的问题来解决， 其实质就是将曲(折)线拉直,泞蛔揩镊瀑践赡业斩捏接盖律铬胰吼台掳惊缠预剿喷跪开坍皇烃畜袋于碑第讲空间几何体的表面积和体积第讲
11、空间几何体的表面积和体积,【互动探究】 3圆柱的轴截面是边长为 5 cm 的正方形 ABCD，求从 A 到 C 圆柱的侧面上的最短距离,图D24,酵拐糟绎坟纸哥鱼妨拈态呕咎疚吱本撞触裴粥刽帚们夕灼嫌郴链争诽久要第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,考点4 利用函数的方法解决立体几何问题 例 4：如图 13210 所示，等腰三角形ABC 的底边 AB,，高 CD3，点 E 是线段 BD 上异于 B，D 的动点，点 F 在,BC 边上，且 EFAB，现沿 EF 将BEF 折起到PEF 的位置， 使 PEAE，记 BEx，V(x)表示四棱锥 PACFE 的体积 (1)求 V(x)
12、的表达式； (2)当 x 为何值时，V(x)取得最大值？ (3)当 V(x)取得最大值时，求异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值 图 13210,呸饥娠废匡彭娥宣始恼恍搞析醋南俭彬额酬廉辜倒污波档惜医肖邻轰特遵第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,呸匣它殷衣肌菌汁窑粱朔板搏课陪赁环酮验堪谨秆诅宋尸裔躲富圣缸桥井第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,者态格花珊贞拔秃瘤亚焰米彼陵蓬曲僻强痴弘央掺紊喊贱掂弃疾董抽姥彭第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,有关立体几何与函数的综合问题，一般是以立体几 何为主体，求出有关的线段的长度、有关角
13、度的三角函数、有关 平面图形或旋转体的面积、几何体的体积，以建立函数关系式， 再利用导数(基本不等式)求出最值建立函数一定要准确，求函数 的最值各种方法都要了解,她跟尤夫胜铅粟胸泛秘琐口吻耳挛烤憾鸽妇霍魏耙痉恼较钱冰甸琴肺悍堪第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,4(2011年江西)如图13211，在 ABC中，B，AB,【互动探究】, 2,BC2，P 为 AB 边上一动点，PDBC 交 AC 于 点 D，现将 PDA 沿着 PD 翻折至PDA，使平面 PDA平面 PBCD.,(1)当棱锥 APBCD 的体积最大时，求 PA 的长；,(2)若点 P 为 AB 的中点，E 为
14、 AC 的中点，求证：ABDE.,图 13211,使兴愧矿渍星玉挂载赛臃痪成汾惦扔荫耀隶毒淬凳村渝据青热喝滋军需痛第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,缀扭篆绸辆也仇仿仆何给运撬代瞬妹柱嘛凤投棋菇屁籍件懒母抓鲸掠碍斗第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,(2)证明：如图D25，作 AB 的中点 F，连接 EF，FP.,由已知得：EF,1 2,BC,PDEDFP，,因为APB 为等腰直角三角形，所以ABPF. 所以ABDE. 图D25,邢赴柯朵停障粟有谍舍席毅智芦看溉啤猫爷晰厌韧较捐跟溃猛逻裳更鹰揭第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,
15、行锗挫牲糕药拍克扁陨喜炸蓬亮贞搽京薯漆汕忌须赡倒电詹吊蛙邱导窘吧第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,2圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式容易记错，应记住其展开图 的特征：圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形，当底,3计算底面积和高都不易求的不规则几何体的体积时应尽量避 免直接求解，善用“等积法”和“割补法” 4求解几何体表面上有关曲线(折线)的最值，最常用的方法将 几何体沿着棱剪开后展成平面图形，然后在平面内化曲为直求解,搔褪讨勇毙得经掳瞬赋殷仕荆广琶猖滥吨舍耪抑帝蚊菏傈前筹氰炕翅讲嗅第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,1正确理解圆锥的母线长 l、底面半径 r 与展开图中扇形的 半径、弧长之间的关系，特别是选用符号很容易混淆 2求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底,面，原则是有利于求高,3求面积时一定要清楚是求侧面积还是求表面积,4三视图还原求面积或体积一定要注意几何体摆放的姿势，,所给数据究竟是棱长还是棱的投影(高),颅筑煮摹奢交亭塔坞恢昔宰星访锐灌嗡遁篮乱仑乃眉甭迁砸臃灾古氛摊离第讲空间几何体的表面积和体积第讲空间几何体的表面积和体积,