《第6部分变分法与边值问题.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第6部分变分法与边值问题.ppt（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第6章 变分法与边值问题,通过求解一个相应的泛函的极小函数而得到偏微分方程边值问题的解，这种理论和方法通常叫作偏微分方程中的变分原理，简称变分方法。本章通过求解一类边值问题和特征值问题简单介绍该方法的理论及其应用。,巍我捌初蝴禾求碴离鳖体账旁歇皇窑虎存娥号音桌餐耻划挝丙溃辰咨讫阮第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,6.1 边值问题与算子方程 6.1.1 薄膜的横振动与最小位能原理 考虑张在平面有界区域 上的均匀薄膜在垂直于平面的外力作用下的 微小横振动，薄膜的边缘固定在 上。利用微元分析法可得薄膜的总位能为 其中，T 表示张力，F(x,y) 表示外力面密
2、度，u(x,y) 表示薄膜在点 (x,y) 出垂直于平面方向的位移。 由于薄膜边缘固定, 故 可见, (6.1.1) 是定义在容许函数类,上的泛函。,捶吨暇戎跑诛椭咖鲁旬四拙颧黍异畜罕侯家饮挪掌爸夹憎茁锻靛癸帚舒体第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,类似于5.2.5小节中对Dirichlet原理的讨论，可知泛函 （6.1.1）的极小函数就是Poisson方程Dirichlet问题 的解；反之边值问题（6.1.2)的解 u 也是泛函(6.1.1)的极小函数,即 于是,我们可以用变分方法得到边值问题(6.1.2)的解.值得注意的是, 为了保证极小函数的存在性
3、,有时必须将容许函数类扩大.此时我们得到的不一定是边值问题的古典解而是弱解.,楔圃颊矽津刃霖激委狰猩天币峭飘浑碌区扮访鼎奔役驾啮昭详耘捐碾旨境第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,6.1.2 正算子与算子方程 我们称满足等式（Au,v)=(Av,u) 的算子 A 为对称算子。 设 A 是定义在 Hilbert 空间 H 的某一线性稠密子集 上的线性算子，若对 中的任意元素 u，有 且等号成立当且仅当 u=0, 则称 A 是正算子。,旗贝捌雹肿午咳丈根洲鸽邹怀品古莉损艇签色喻贫氨柞穴脾戒祖辛皂央沃第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分
4、法与边值问题,应用 取 Hilbet 空间为,鄂苍笋循拣位归爽岗辣心劈寅憾额哗洱搏词狐故掏浙扭熟堑抠碗京随勤治第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,可以验证，它们各自对应的算子是正算子。对应于以上三种问题算子 的定义域分别为,漆蹈讨伴缴漳失悲蓝泼甫陶构危鸵口枚怨萍吉项寅拭醇苍矫藏盒自疤旋鳖第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,6.1.3 正定算子 弱解存在性 设 A 是 上的线性算子，若存在常数 对任意 有 则称算子 A 是 上的正算子。 在 上引入新内积 由此内积诱导的新范数记为,笨允堕谦蕴瞧风域堤殖贰启制箕火混夕岳
5、锣祷执仑膀级水搅帮去微苗秘学第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,堕拳颜捞结过泣营肠籍涅销硫撬放厦颗蓝翰楷万袄溶藐蹬噬会贫综它柞葫第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,域劝戚氧什擂运届倦检搪翅巡关们店迁伶笨赶砰惟霍加减炔商赣西侥抗拦第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,6.2 Laplace 算子的特征值问题 本节考虑如下的Laplace 算子特征值问题：,槽诧摆膝穷胡恰砾毅回轩惮姻知纂郴鞠鞭形赔凑软泛臻呐尼朱芦铭知蛇叉第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分
6、法与边值问题,6.2.1 特征值与特征函数的存在性,威签昼磁纷赂嚼召殖琴狡贾兵敷纳菜抿吵损虚含呐降萎懊凳程揽恕菠聘溢第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,模吞哄袁款酱遇鬼钉耶悔兢络尼祥涪圭医戮踊垄补荡灵细佑垮迈抒靶傅桔第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,6.2.2 特征值与特征函数的性质,染汁兵金抵驶偏苑兼杂舆裳稽疏慌哺松身航宛豫宽膊皆祥肺检旺耸学鹤盆第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,第6章 变分法与边值问题,娜乾漏注唉娠喉芦色忠纷煮酸淀罗评能架堑测媳梅饿蓑租涟娶气落陵职屏第6部分变分法与边值问题第6部分变分法与边值问题,