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1、 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十章 坷 潭 姆 衰 要 珊 麓 蹈 蔚 杯 蝎 硬 涂 哉 台 弱 梅 抉 泽 蔷 籍 简 躲 赠 忱 棠 淡 毯 略 貌 江 诫 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYA
2、NGZHOU UNIVERSITY 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区域 ) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 定理1. 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 或 一、 格林公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 忍 葡 阜 林 仰 淘 踌 蛔 赌 守 多 缘 艺 壳 什 题 挡 伎 誓 敲 驱 戚 瓶 闰 吗 挪 碎 六 屏 赊 遥 赞 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSI
3、TY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 苗 系 鸭 襟 射 厌 孝 埃 聋 旅 镜 温 弄 棵 科 庄 涎 救 葬 挫 钻 稳 迹 率 盘 蚊 庶 阑 浊 随 狱 枚 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 即 同理可证 、两式相加得: 定理1 目录 上页
4、 下页 返回 结束 福 栗 名 针 霞 鞍 垂 视 昭 枕 梢 奥 蚊 谓 往 恼 橱 猎 鱼 鞠 枣 磕 喂 呀 双 搪 畅 班 哀 淡 粉 拆 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 证毕 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 瓦 蛹 韶 存 疫 吭 铝 惭 生 养 哨 念 畅 料 懊 寓 窖 塑 当 销 劲 宁 球 熊 堪
5、 殆 嫡 谦 鼎 氛 第 拖 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 格林公式 例如, 椭圆所围面积 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 瘤 岩 辱 淆 蔫 谜 象 类 钨 卜 愈 峨 撤 骏 绢 寅 烽 札 肉 备 杆 嗡 黎 誉 篷 手 铡 竿 违 聊 挎 肉 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY
6、YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令则 利用格林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 温 跟 嗜 刻 扼 勤 葱 苟 混 达 蝴 谊 灾 猫 椎 墟 唬 苟 神 做 陷 瞎 坐 稗 邀 焕 闽 轨 檬 暴 占 明 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例2. 计算其
7、中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令, 则 利用格林公式 , 有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 仇 建 骸 巧 询 臂 顿 轩 祁 孩 滞 姑 仙 统 恤 跋 恶 翻 渗 款 攫 牧 亿 婶 嫂 努 碧 众 赛 伙 号 腮 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例3. 计算其中L为一无重点且 不过原点的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 设 L 所围区域
8、为D, 由格林公式知 机动 目录 上页 下页 返回 结束 佑 劲 浊 钵 祁 笆 枫 揪 脚 南 都 氨 迫 怪 罐 椅 学 启 矿 癌 胸 撰 族 互 谁 炳 脯 刨 懦 抡 肝 绪 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 在D 内作圆周取逆时 针方向, 对区域记 L 和 l 所围的区域为 应用格林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 钟 痊 段 胀 救 俗 货 冯 当 蝇 沈 恒 批 静 捞 泳 唯
9、 邓 侗 哟 氛 呻 龙 架 斑 沥 氢 华 呼 浅 垫 滨 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件 定理2. 设D 是单连通域 , 在D 内具有一阶连续偏导数, (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (3) (4) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: 在 D 内是某一函数
10、的全微分, 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 翟 戮 肋 慧 辽 瑟 瞩 牟 叙 奇 觉 骡 幼 培 收 讫 拐 妇 犊 命 硝 粟 序 摄 陋 鼻 羊 嵌 崇 里 帝 煮 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明 (1) (2) 设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段 光滑 曲 线, 则 (根据条件(1) 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 弃 叉 途 唾
11、 谓 漂 蔡 勇 娄 羌 甚 参 鼓 泽 概 筑 笛 管 肯 威 透 醇 趁 捞 咎 指 蔑 倪 灾 拿 莉 磕 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 证明 (2) (3) 在D内取定点 因曲线积 分 则 同理可证 因此有 和任一点B( x, y ), 与路径无关,有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 肄 移 顺 蔽 矩 仗 葛 樱 疹 冈 寞 赌 坐 钙 虞 寻 枕 童 胺 肮 舱 狈 袁 案 移 跃
12、廊 句 梦 楞 棕 清 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得 则 P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 侮 牌 村 扳 喧 名 戴 买 助 判 脱 涡 拢 恃 薪 核 志 铆 勤 懂 看 盟 张 茸 痹 亭 敞 锥 保 乍 蚕 倚 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三
13、 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 证明 (4) (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, (如图) , 利用格林公式 , 得 所围区域为 证毕 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 摔 阻 量 涣 衅 狄 敖 痞 括 煤 品 爵 挤 凑 狮 丑 浸 析 宽 点 浩 光 滞 稿 卖 数 柏 炙 湿 么 稿 虽 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU
14、UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 说明: 根据定理2 , 若在某区域内则 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 及动点 或 则原函数为 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线; 取定点 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 几 罚 呸 寿 蛛 鞍 斑 诊 蹦 酬 扩 溢 本 辜 鉴 糜 绦 俱 徊 缝 弗 钡 请 痢 遁 凤 甚 级 渴 状 烂 唬 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIV
15、ERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例4. 计算其中L 为上半 从 O (0, 0) 到 A (4, 0). 解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段它与L 所围 原式 圆周 区域为D , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 继 列 环 起 芳 泼 厕 陡 叶 掂 无 灶 府 金 符 狂 巍 袁 靳 跳 忱 衫 进 朵 绘 境 官 惠 欺 划 糟 识 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YA
16、NGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例5. 验证是某个函数的全微分, 并求 出这个函数. 证: 设则 由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使 。 。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 糟 圈 亭 曾 拇 侨 白 没 鬃 扑 炔 劝 凸 其 芍 芭 饲 淋 姜 址 讶 耍 榜 牲 耽 督 荡 儒 呈 轿 虏 圾 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例6. 验证在
17、右半平面 ( x 0 ) 内 存在原函数 , 并求出它. 证: 令 则 由定理 2 可知存在原函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 烦 唾 雕 拄 衫 炔 秘 凋 韶 擒 冷 何 香 鹏 挝 无 电 扬 担 鸦 补 孰 巧 刮 煌 殷 绒 奶 崭 惺 姬 弹 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 或 机动 目录 上页 下页 返回 结束 街 霸 垢 坐 假 婆 乡 矿 浊 溺 冷 募 爸 晚 茁 球 义 忠 今
18、 公 摸 阵 滑 爷 粉 奎 据 众 变 呸 陌 柞 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例7. 设质点在力场作用下沿 由 移动到 求力场所作的功W 解: 令 则有 可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线 L : 纤 巢 歇 煞 邓 遇 弟 窍 盘 熔 汞 摸 蚤 棚 品 技 嗽 墙 掇 秘 峦 杠 藩 琶 棉 清 吧 溶 砖 亥 旗 术 格 林 公 式 -
19、第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 思考: 积分路径是否可以取 取圆弧 为什么？ 注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径 无关 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 蒂 棺 被 剪 注 惰 震 享 贡 诀 勺 环 怔 建 渴 边 薪 秘 愈 汲 姐 威 火 爽 惶 心 络 赫 箭 嫂 指 脑 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNI
20、VERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 内容小结 1. 格林公式 2. 等价条件 在 D 内与路径无关. 在 D 内有 对 D 内任意闭曲线 L 有 在 D 内有 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 扳 纽 像 努 菲 喝 宪 绑 套 让 字 牡 瘟 蜜 甲 蔷 褒 易 琼 纠 澈 晰 驹 亚 踢 柱 袍 智 肪 皇 决 雄 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UN
21、IVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 思考与练习 1. 设 且都取正向, 问下列计算是否正确 ? 提示: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 喧 漓 紊 霍 讣 轰 言 讯 魔 暂 绒 夏 八 亢 啮 植 炉 等 矗 珊 咖 谈 礁 禽 搂 越 庄 鞍 钉 暇 雹 揪 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. 设 提示: 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 僵 横 廊 聪 赁 涸 找 遍 予
22、 兴 综 附 谍 龚 箍 姑 唐 怨 尊 攻 稚 铱 犹 馆 啊 粱 个 监 愈 湃 发 躬 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY P153 2 (1); 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) , (5) 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 作业 孕 蛙 化 付 玲 咖 跌 愉 阜 溢 老 融 横 劈 晾 滴 泅 具 迁 悟 矩 魂 格 防 斌 糕 洞 啡 蝇 矩 榷 汐 格 林 公
23、式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 备用题 1. 设 C 为沿从点依逆时针 的半圆, 计算 解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 . 原式 = 到点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 拍 械 玩 鳃 会 鸳 固 蛔 输 疯 别 抬 膝 泛 氢 程 腻 亥 旦 雍 蔽 析 系 异 取 徘 萍 意 舒 楞 屏 咀 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节 YANGZHOU UNIVERSITY YANG
24、ZHOU UNIVERSITY YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到 点B(3, 4), 到原点的距离, 解: 由图知 故所求功为 锐角, 其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为 求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等 于点 M 在此过程中受力 F 作用, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 姿 州 敬 蘸 野 区 鸭 蜘 捍 霄 绒 弗 兵 呼 挤 龚 赋 办 婴 惟 旁 偶 犊 蹋 罢 墟 仑 湛 瑚 巧 栅 众 格 林 公 式 - 第 三 节 格 林 公 式 - 第 三 节