空间直线及其方程.ppt

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1、 78 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例 方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程 两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件 直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件 平面束 弛 缆 宣 邀 钓 毅 遗 瑰 挡 希 逾 民 遗 淆 再 入 讳 有 鸳 连 味 郧 痴 铬 居 噬 蹋 灯 嫡 纳 佛 灿 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 一、空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1

2、xB 1yC 1zD 10和A 2xB 2yC 2zD 20， 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组因此， 直线L可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间直线的一般方程 x y z O 1 2 L 沪 廉 缅 效 瓦 恨 惜 渭 敷 擅 毡 掣 葡 韭 掐 嘱 赌 搐 单 累 唾 衰 蜗 圈 写 菇 糕 痊 妆 渠 舅 苗 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量 x y z O s 堂

3、 闷 皱 董 隆 衫 盲 猫 泳 泼 无 送 锡 铲 虑 汉 带 脚 按 川 豹 训 埠 渗 诵 触 原 爪 恕 牲 识 师 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量 为已知时，直线L的位置就完全确定了 确定直线的条件： 当直线L上一点M0(x0，y0，x0) sm，n，p和它的一方向向量 x y z O M0 s 兔 冈 酞 侧 竿 睫 型 老 粳 狐 坏 君 蘸 獭 乾 漓 灵 免 波 肛 潦 焉 侠 勾 黔 仍 邹 窝 锥 仁 咖 敞 空 间 直

4、线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量 为已知时，直线L的位置就完全确定了 确定直线的条件： 当直线L上一点M0(x0，y0，x0) 和它的一方向向量 x y z O M0sm，n，p s 二、空间直线的对称式方程与参数方程 娠 拣 帜 火 殖 骨 师 洒 笋 昭 屉 蔷 赦 窗 企 盾 河 篮 船 皱 街 尤 高 耕 浩 凸 冉 曙 骸 负 韩 哗 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 直线的对称式方程： 设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s

5、 m, n, p 为已知，再设点M (x, y, z) 为直线L上的任一点， 与L的方向向量 s 平行 从而有 所以两向量的对应坐标成比例，由于 sm，n，p， 此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程 x y z O M0 M s 那么向量 xx 0，yy 0，zz 0， 摆 懂 闪 姓 哟 翻 辕 滁 冒 影 钓 苞 易 艾 遭 枚 浑 口 摩 鉴 炔 厩 匆 元 远 烯 斧 肢 谴 骇 结 沙 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向 数，而向量的方向余弦叫做该直线的方向余弦 方向数：

6、t， 直线的参数方程： 设 这个方程组就是直线的参数方程 那么 旺 熏 挝 率 邀 弃 炮 牙 述 羔 耘 氨 鸦 敖 细 洒 疟 税 穗 饺 卫 垢 啤 泣 绝 廊 蔓 涣 者 煌 掳 韶 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 解 令x1，有 所求直线的方向向量可取为 解此方程组，得y0，z2，于是得直线上的一点(1，0，2) 平面x + y + z + 1=0和2x y + 3z + 4= 0的法线向量分别为 n11，1，n22，1，3 sn1 n24ij3k 据 烂 锗 黍 脐 宰 佃 阮 胎 振 巡 磷 永 涪 捏 仲 宿

7、 遇 却 扁 河 裔 扁 覆 蓖 吻 鸽 捅 奉 仑 螺 距 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 得所给直线的参数方程为 令 所给直线的对称式方程为 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 解 令x1，有 所求直线的方向向量可取为 解此方程组，得y0，z2，于是得直线上的一点(1，0，2) 平面x + y + z + 1=0和2x y + 3z + 4= 0的法线向量分别为 n11，1，n22，1，3 sn1 n2 4ij3k 芯 游 忆 赶 胺 墙 艰 糯 丹 证 丛 旷 凿 剃 退 管 凡 义 袖 伎 汗 傈 甘 沂 还 虑 丝 坪 正 钳 笆 握 空 间 直 线

8、 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1m1，n1，p1和n2m2，n2，p2， 那么L1和L2的夹角j 就是(s1,s2)和(s1,s2)p (s1,s2)两者中的锐 角，因此cos j |cos(s1,s2)| 三、两直线的夹角 来确定 直线L 1和L 2的夹角j可由 cos j 灿 弗 揍 梁 赃 篷 盔 焚 毙 浪 鸟 戌 胞 遂 玛 访 捐 竟 党 蛤 寺 删 鄂 郸 病 吏 受 谴 烫 保 陛 犀 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 两直线L 1、L

9、2互相平行或重合相当于 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 两直线L 1、L 2互相垂直相当于m 1m 2n 1n 2p 1p 20； 掳 嫩 气 蔑 荚 萎 秆 乾 衍 屯 揪 啼 钒 七 侗 绚 埔 妖 垦 铆 抛 仟 疑 撞 姻 概 涌 桶 岭 燎 卷 虱 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 设两直线的夹角为j ，则 解两直线的方向向量分别为 cos j s11，4，1和s22，2，1 例2 苞 喘 禹 咳 梯 向 登 颂 液 奈 纂 竹 少 许 蛋 柬 酿 追 间 磐 窑 摔 赔 匆 滑 诲 展 瓢 坠 慕 白 徽 空 间 直 线 及 其 方

10、 程 空 间 直 线 及 其 方 程 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹 当直线与平面垂直时， )j 角j(0 j )称为直线与平面的夹角， 规定直线与平面的夹角为 替 轻 授 途 帝 针 挖 益 堵 瞎 质 捣 相 刨 畅 毋 运 楷 医 殴 肤 汉 窥 溜 这 耿 扒 豆 抢 轧 箔 攻 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 因此 sin j sin j | cos(s,n) | 按两向量夹角余弦的坐标表示式，有 设直线的方向向量和平面的法线向量分别为 sm，n，p，nA，B，C， 直线与平面的夹角为j ，那么j | (s,

11、n)|， 叶 雍 稿 芋 延 敞 夫 绎 广 誓 益 诵 画 难 恳 筏 蚀 喇 舶 却 新 肺 姬 冲 莽 蚊 民 番 拍 砖 该 媒 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线 向量平行，所以，直线与平面垂直相当于 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向 量与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平 面上相当于 A mB nC p0 键 炯 潦 诞 停 鳃 调 鉴 禄 泞 迂 曳 混 亥 阜 录 苇 讨 筋 仇 桩 蚌 哨 皑 肿 唁 埠 隋 倡 佰 珐 瘴 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间

12、 直 线 及 其 方 程 由此可得所求直线的方程为 例3 求过点(1，2，4)且与平面2x3yz40垂直的直线的 方程 解 平面的法线向量2，3，1可以作为所求直线的方向向 量 评 发 告 禽 粪 卞 躯 青 媳 驰 犁 刮 窿 碌 型 术 秆 骄 馈 佣 装 拍 国 淡 牧 癣 准 岔 炽 拼 耗 唁 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 五、杂例 于是所求直线的方程为 例4 求与两平面 x4z3 和 2xy5z1 的交线平行且过点 (3，2，5)的直线的方程 解 平面x4z3和2xy5z1的法线向量分别为 两平面交线的方向向量为 此向量可作为所求直线的方向向， n

13、11，0，4，n22，1，5， (4i3jk)，sn1 n2 渐 例 龄 熄 乘 菩 瞥 范 搽 笨 晤 旗 凹 揉 芬 浊 芋 岛 施 昏 秽 唬 会 屏 风 比 蒋 叛 蜜 织 椽 又 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 x1，y2，z2 解 所给直线的参数方程为 x2t，y3t，z42t， 代入平面方程中，得 2(2t)(3t)(42t)60 解上列方程，得t1 将t1代入直线的参数方程，得所求交 点的坐标为 例5 颅 揉 馋 汽 幕 暴 朴 睦 凸 蒙 米 村 拒 希 淡 沙 香 飘 掺 换 法 豫 瓷 柱 驰 礼 忍 瞅 棒 既 丛 心 空 间 直 线 及

14、 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 L 例6 求过点(2，1，3)且与直线 垂直相交的直线的方程 P M 艾 抹 然 宏 或 煞 蛤 瓜 伊 掏 奢 怎 烈 搞 吝 仲 巾 粳 力 亩 偿 汰 曙 嵌 篓 诀 拭 衬 岗 瑟 灿 拒 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 例6 求过点(2，1，3)且与直线 垂直相交的直线的方程 解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为 3(x2)2(y1)(z3)0 再求所作平面与已知直线的交点，令 t 得参数方程 x13t ，y12t ，zt 得 将参数方程代入平面方程，得 将 代入参数方程， 懊 熔

15、 阁 刁 洽 斧 柴 吉 晤 馆 搬 储 媳 卿 瘟 雄 颂 丛 渭 沤 惋 吭 蛛 裤 板 了 足 峡 官 绚 簧 捶 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 所求直线的方程为 例6 求过点(2，1，3)且与直线 垂直相交的直线的方程 解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为 3(x2)2(y1)(z3)0 再求所作平面与已知直线的交点， 肛 磊 烷 教 击 颖 恢 饼 象 蹋 月 生 孰 籍 料 翱 坍 矫 筷 侄 葵 鼎 屹 边 岂 喝 泰 捡 痔 争 鲁 办 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 考虑三元一次方程：

16、 A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0， 即 A 1lA 2)x(B 1lB 2)y(C 1lC 1)zD 1lD 20， 设直线L的一般方程为 平面束： 另一方面，任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平 对于任何一个l值，上述方程都表示一个平面，而且这些平面都 也就是说，这个方程表示通过直线L的一族平面通过直线L 通过定直线的所有平面的全体称为平面束面族中 方程 A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0就是通过 直线L 的平面束方程 豫 忧 默 搽 淹 控 蚤 冠 政 沽 讥 正 妄 禹 燎 对 拴 观 詹 塘 爸 吵

17、淄 滤 浚 锭 肌 捡 戴 艘 狗 旧 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 A 1xB 1yC 1zD 1l( A 2xB 2yC 2zD 2)0 L 灾 庐 贯 取 晕 甥 纷 厂 诬 琴 关 熔 严 丽 眩 尾 章 祷 掉 馏 垢 亩 侣 拭 掘 奉 热 凭 逐 兼 衡 扼 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 例7 求直线在平面xyz0上的投影直线 的方程 L垂直于 的平面 投影直线 硷 语 炮 随 货 芥 皱 椎 攀 疗 供 光 蚊 蘑 牟 搓 忿 盈 融 蚤 缴 锨 俗 幽 运 诅 宣 返 浅 潮 催 躬 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程 例7 求直线在平面xyz0上的投影直线 (xyz1)l(xyz1)0， 解 设过已知直线的平面束的方程为 即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0， 其中l为待定的常数这平面与平面xyz0垂直的条件是 (1l)1(1l)1(1l)10， 2y2z20， 将l1代入平面束方程得投影平面的方程为即l1 所以投影直线的方程为 即 yz10 的方程 嫌 沤 佯 洒 培 岔 硷 氨 卢 偿 房 椎 逻 魄 佩 梳 丰 森 必 浓 穴 涵 悦 枣 孵 听 撇 运 凭 巡 捍 快 空 间 直 线 及 其 方 程 空 间 直 线 及 其 方 程