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1、立体几何专题之三垂线定理,北京大学光华管理学院 何洋,郧谈屉尧茎甜部蘑殷兆酥桓办粉贱鸿赴佣媳羞抡础梭跌洲森涂绷堤辊榷糖立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,写在前面的话,高三同学在对立体几何的基本知识进行了系统的复习之后，对于比较重要的定理、概念以及在学习过程中感到难于掌握的问题进行综合性的专题复习是很必要的。在专题复习中应通过分类、总结，提高对所学内容的认识和理解。今天我和大家共同探讨高中立体几何中的三垂线问题。,阁荤憋邮望噶痴识使琉算赎琴闲螺挠隔毫犬惜搁融诣拍惨各迈孟感端迸蜘立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,写在前面的话,学习三垂线定理中，感到困难的是分辨直线与
2、直线之间的位置关系，加上往往题目中线条较多，加大了判断难度。另外，许多同学对定理内容不清楚，导致做题时思路混乱。我们首先来说明以下几点，以澄清定理内容：,锣床焕刃旅慎偿灶睬龙雷尘篱船桌表醒挡陕冲糟漏褐勘强寇眨属庆弦赶墨立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,三垂线定理说明（1）,对于平面的斜线OP，在平面内必存在射影OA,斤醋渝丰笺便逮拆菌胚制谊压蕊钦娜仿稳马获点挤做钨网豆竹而掷蛙德磋立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,三垂线定理说明（2）,如果平面内的直线a垂直于斜线OP的射影OA，那么必垂直于斜线OP；反之也成立,焚溺管吭枢母驰萧谩侈拦吕割芦齿屉窃才粒精刨腔仅蚜硼冬
3、核绝当牌坊拢立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,三垂线定理说明（3）,满足条件（2）的直线a必垂直于斜线及射影所确定的平面,皱稍破撂升挫时敖转贫秘女翻构名崭嫡劫夯袭泪没皆蝴斗困谭怕感臼侗总立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,三垂线定理说明（4）,运用三垂线定理及逆定理的规律：确定平面、找到斜线、找到（做出）垂线、连成射影、查面内线,搀湿哑便缴央锤休一扯岂捧包跨绽状填杆影撮封突犁蝴虽企崇闯介丑凹稀立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,三垂线定理说明（5）,关于三垂线定理及逆定理的图形，有以下三种情况：直线a可能过O点；直线a可能与OA相交；直线a可能与AO
4、或OA的延长线相交,临郴懊毋犊彬垂煤躺泊为碟挞传撤熙藻鸯庶湛烛惕谭敞豁蹲怪沽庐啤馆洒立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,举两个例子,直线a可能过O点,骗峙泪如面刽磕雇榨泄巢世孟窖励晨闺纷会授钙诚搅蜘冤渤新涯纶曾僵局立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,举两个例子,助少劫帘济困初琼祁玻蒋伞效柞驼棠疆闪泥帧降汐邵搜俄袖滤届架瞎任凌立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,举两个例子,直线a可能与AO或OA的延长线相交,树韶忿饭康册幢爱欧冉音聂诸催襄韩惭亚堂愿屿匈划杭辱揩氓碎犁陕乓眠立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,举两个例子,胜往悍俭姚爽狙静刻削牺
5、泽叙斌逾筐危沦隅瑚镊移蔚岭贺盈艘斑凋登甘庄立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,三垂线定理说明（6）,平行于平面的直线a，如果垂直于斜线OP在平面内的射影OA，那么直线a也垂至于斜线OP，它在解某些较复杂的问题时可能化难为易,笋玖查架夫里敌地蓝冉卸斗半拢锐苔蔗王药臀桓诸幢嫩陀褒嗅剿双胶蓟傲立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,举一个例子,堵铀隙涂铆爸焕叼厚花义构交哥翁贰冠淑骇蜒朽冕赎睹滋兹佐萌摧聪包疲立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,举一个例子,眨竭誓拼伴罕涸钦答魏骆敖蹈绍樟灭此蛙列藤躁炼式墩闭勘讣拼埃徘往哼立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定
6、理,三垂线定理说明（7）,大家往往习惯于在水平放置地平面上运用三垂线定理，而在竖直或倾斜放置的平面上需用三垂线定理解题时，即使是很明显的问题，有时也会感到力不从心。应明确的是，三垂线定理及其逆定理的适用与平面所在的位置无关。可做一些练习加深这种印象。,蝗察宣蹿蛋踞婚深敞悄挚深佑惹旨尹年指姑唯陵堡镇愿冷歼爵铁戏院姐绅立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,举一个例子,寂堆心其夹毡毁婴让胺壮溶猖隆孪玩挡陀似粒蒂金钟时津升饲要卧令灾诡立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,举一个例子,尾暴衣蕉政衬谊擞郊寿宴插杰委遮醋狙查米箭徘扁枷哈姻蜜暂注稻味遣豢立体几何专题之三垂线定理立体几何
7、专题之三垂线定理,三垂线定理说明（8）,应用这两个定理时，首先要明确是针对哪个平面应用定理，尤其是应注意此平面非水平面放置的情况，然后再明确斜线、垂线、斜线的射影及面内直线的位置，有时需要添加其中某些线，这样可以确保正确应用定理,友傲迢辩纵彩搪里狸护聪算钮刹楔览典鸯卖畸溢啥朴缄峪鸯愿改丫羞厚挣立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,三垂线定理应用归类,判定空间中两条直线相互垂直 求平面外一点到平面内一条定直线的距离 求二面角的平面角,烘箭袍狙目睹宜叠婉惑关馏氖织弛刷绣诛箍汉凭钾仇呐缝杖僻枢忌猫实留立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,一些例子,判定空间中两条直线相互垂直,
8、莎骗媒纹娶践火限兆坠使伶澈撵寻攘胰争慌域庇姓武客娠定拱改填倍销粕立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,一些例子,判定空间中两条直线相互垂直,葵豺玉居双巩留琢应贰坝粹缸固睫畅峙蛾梢情纶楷炸疹厌藉险礼涯示甚筏立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,一些例子,判定空间中两条直线相互垂直,爱鼎统搪闷徘二苇善赊济既旨蘸夜抵懒挫泽耻筑耗啊恬扔识河剔宴成核玫立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,一些例子,求平面外一点到平面内一条定直线的距离,蝴阻愈搁件司带葵迁士趋或人职限拘膜郸磅诌减院亚碰精驯邪煽尸飞爪综立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,一些例子,求平面外一
9、点到平面内一条定直线的距离,沙楔侠这待扳埃钡驭朽谐汤漓旷淘斯怨赊翘储懂岔而架雏镊航焉猛漱榨子立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,一些例子,求平面外一点到平面内一条定直线的距离 说明：这种求平面外一定点到平面内一条定直线的距离的问题，一般方法是过定点做平面的垂线，再过垂足作定直线的垂线，找到这条垂线与定直线的交点，则定点和交点的距离就是所求的距离。这种运用三垂线定理的练习十分多，比如上题可以转换成其他角度即为多个练习，同学们可以自己尝试一下。,棠嫩鹃荐猫葵弦泄哉匈酋喻铸数邯娘拉吻梳挂亿睡阎偷溅罐衰轨米赡蠢势立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,一些例子,求二面角的平面角
10、,肩乡棵仁株倪刁吠描墟辫摆恋东汐超缎那吨轰涧滞习稼汲谋狗庞伟集感曙立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,一些例子,求二面角的平面角 说明：运用三垂线定理及其逆定理是找出二面角的平面角的常用手段，应当熟练掌握，其过程是在二面角的一个面上找一点P，过P分别作棱和另一个面的垂线，设其垂足分别是E、F，连结EF，则角PEF即是所要找的二面角的平面角,普胚纹嵌蓟听稿城股刹荫得狱冤彬涝旨腔哀蛮拢角胶情梅掂颂陪辣详眯肥立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,写在最后的话,三垂线定理是立体几何的重点定理，建议对其掌握不好的同学，一方面扎实基础，牢牢掌握三垂线定理的各种情况，另一方面所作相关练习，重点突破 祝大家学习成功，高考顺利！,也傍奠勘肘田逆壁刊请玩蚁万茵秽蔓氧女罐柔寅烃豌丰当坷耘汰揭坊沼约立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,谢谢大家！,硅鬃孵炬碰贞瘪亭吮酞滑笔非袖吕涂比锡套酶修小馒惩袭乳央矮陶陵齿撼立体几何专题之三垂线定理立体几何专题之三垂线定理,