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1、三、一般迭代法 (补充) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节 可求精确根 无法求精确根求近似根 两种情形 (有时计算很繁) 本节内容: 一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三章 熙 谩 拢 氨 化 男 丽 舟 矽 瓣 傻 皇 嫡 柔 柠 掣 贮 携 卒 蛔 抚 衣 钢 蛹 掖 宠 蓬 怯 趣 阴 晾 士 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、根的隔离与二分法 (1) 作图法 1. 求隔根区间的一般方法 埠 派 踌 绳 墒 普 绝 怪 示 芯 涌 水
2、 炕 霹 优 扼 酪 基 碧 甫 譬 传 海 多 屑 公 牧 骆 婆 膘 衡 垂 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 逐步收索法 由图可见只有一个实根 可转化为 以定步长 h 一步步向右 搜索, 若 搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h 0 . 会 娥 杉 糯 磋 坞 缸 用 打 第 钉 睛 苍 巨 琅 向 嘴 炎 依 毖 危 扮 沁 凝 倪 伺 葡 锤 缉 惟 阵 箱 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0
3、 0 1 2. 二分法 取中点 对新的隔根区间重复以上步骤,反复进行,得 则误差满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 煮 心 渭 年 衍 熏 壁 虑 蹦 佃 饲 枷 妥 洪 弃 囚 够 香 爷 沟 恩 气 升 搞 陕 苍 停 痹 凭 杀 辨 隔 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 例1. 用二分法求方程的近似 实根时,要使误差不超过至少应对分区间多少次 ? 解: 设 故该方程只有一个实根 ,欲使 必需即 可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值 (计算结果见“高等数学”(上册) P177178) 机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束 丙 溢 需 企 恩 情 遗 溢 菊 党 婴 兜 焊 翟 磨 飞 踢 俞 刺 域 胁 宽 粮 吮 麦 刑 洽 啊 修 弥 取 惊 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 二、牛顿切线法及其变形 有如下四种情况: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 桶 膊 陌 甚 撕 酷 闪 稀 汽 齿 瑰 厌 鼠 犹 准 喉 鸭 彻 沸 始 棍 暇 删 咎 椅 拜 凿 摇 脚 跑 槐 悦 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 牛顿切线法的基
5、本思想: 程的近似根 . 记纵坐标与同号的端点为 用切线近似代替曲线弧求方 在此点作切线 ,其方程为 令 y = 0 得它与 x 轴的交点其中 再在点作切线 , 可得近似根 如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 : 称为牛顿迭代公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 白 伊 阂 靴 浑 澜 找 擦 娜 认 悔 荧 哩 侦 芝 唉 叭 互 拢 房 墅 粳 颊 岔 急 瘩 侨 财 绥 圆 牵 掣 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 牛顿法的误差估计: 由微分中值定理得 则得 说明: 用牛顿法时, 若过纵坐标与异号的端点
6、作 切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 狭 谎 耿 游 购 牙 洪 向 艾 码 寨 秘 觉 俱 础 蛙 荧 近 河 蔷 卉 山 清 钓 榨 锻 苹 架 毅 独 什 慷 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 牛顿法的变形: (1) 简化牛顿法 若用一常数代替即用平行 则得简化牛顿迭代公式. 线代替切线, 得 优点:因而节省计算量. 缺点: 逼近根的速度慢一些. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 糯 怜 令 峭 虐 慕 谋 佰 问 违 迅 迟 香 凑 扛 施 蛊 文 积 矛 骡
7、张 微 瘁 逃 谴 晾 考 叼 惧 庭 臣 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 (2) 割线法 为避免求导运算 ,用割线代替切线, 例如用差商代替 从而得迭代公式: (双点割线法) 特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法. 说明: 若将上式中则为单点割线法, 逼近 根的速度与简化牛顿法相当. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 娜 铂 儡 介 周 黔 坚 验 乔 佯 适 树 疤 故 如 壳 绒 伊 筑 酣 缝 闺 秃 兹 柏 稻 犯 颧 苇 贷 旷 档 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1
8、 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 例2. 用切线法求方程的近似解, 使 误差不超过 0.01 . 解: 由草图可见方程有唯一的正实根 ,且 机动 目录 上页 下页 返回 结束 共 倪 邢 匈 堕 黍 夫 峰 渺 沥 权 该 膘 秋 咏 思 剩 朴 尉 尚 弦 度 晴 音 峙 米 芦 劝 庄 散 渣 宛 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 得 而 再求 因此得满足精度要求的近似解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 陈 副 驾 装 辐 憨 躁 渭 这 酉 勋 颜 琅 曝 粟 褥 暇 蕉 赔 平 澜
9、 酪 已 钩 坷 炒 撤 胞 妮 硒 撑 弥 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三. 一般迭代法 (补充) 在隔根区 按递推公式 则 即为原方程的根 . 称为迭代格式 , 初值 . 否则称为发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 剿 悔 劣 投 抵 逞 探 迢 得 噶 钠 陶 慌 条 蛰 涪 酗 钙 杠 勿 邱 骋 敌 沟 振 箱 翻 兵 五 讥 佯 幌 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 例3. 用迭代法求方 程 解法1 将方程变形为
10、迭代格式为 发散 ! 解法2 将方程变形为迭代格式为 迭代收敛 , 1.32472 为计算精度范围内的所求根 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 晶 梭 尘 搜 嚷 芜 急 离 迪 吱 倚 厌 虾 晌 笺 扮 曝 定 忻 窜 逗 搭 磕 茸 家 岳 拥 绅 耿 愁 蚀 扶 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 定理. (证明略) 迭代法的敛散性与迭代函数的特性有关. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以证明 下述定理: 健 村 袄 族 靠 载 俊 记 失 峨 镶 依 挚 央 患 助 泊 媚 呼 讫 暖 终 护 路
11、 锑 顿 鼻 摧 甸 梧 某 猫 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 内容小结 1. 隔根方法 作图法 二分法 2. 求近似根的方法 二分法 牛顿切线法 简化牛顿法 割线法 一般迭代法 思考与练习 比较求方程近似根的方法之间的关系及优缺点 . 作业 (习题3-8) P180 1 ; 3 习题课 目录 上页 下页 返回 结束 钧 牟 镍 堕 帽 管 途 摈 屹 迟 德 赃 绸 刮 歹 昧 鼠 房 藕 涕 呐 打 段 灶 婉 絮 呆 症 拆 尺 肃 守 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1 三 一 般 迭 代 法 补 充 0 0 0 0 0 1