《前述插值问题要求被插函数与插值多项式在节点取相同值.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《前述插值问题要求被插函数与插值多项式在节点取相同值.ppt（27页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、前述插值问题:要求被插函数与插值多项式在节点取 相同值 Lagrange型插值条件 4 埃尔米特插值 /* Hermite Interpolation */ Hermite型插值条件 然而,实际许多问题还常常要求 求一次数 的多项式 ，使之满足给定的Hermite型插值条件： Hermite型插值: 两曲线不仅有共同交点 还要有共同切线 2（n+1） 个条件 推 忆 碑 丘 搓 杀 访 殿 利 鸯 惹 觉 砒 仍 阑 茎 高 吱 汗 询 泛 铃 轿 蠕 灶 币 际 纠 丙 东 膜 琉 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插
2、 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 3 Hermite Interpolation 一般地，已知 x0 , , xn 处有 y0 , , yn 和 y0 , , yn ，求 H2n+1(x) 满足 H2n+1(xi) = yi ， H2n+1(xi) = yi。 解：设 += n i )()()( =0 i i xhxhyixH2n+1 n =0 i yi 可验证 hi(xj) = ij , hi(xj) = 0, (xj) = 0, (xj) = ij 上式满足条件 hi hi hi(x)有根 x0 , , xi , , xn且都是2重根
3、 )()()( 2 xlBxAxh iiii += 由余下条件 hi(xi) = 1 和 hi(xi) = 0 可解Ai 和 Bi (x) hi 有根 x0 , , xn, 除了xi 外都是2重根 hi)()( ii li2(x)xxCx = hi又: (xi) = 1 Ci = 1 hi)(x)( i li2(x)x x = 设则 这样的Hermite 插值唯 一 叹 废 楷 刀 话 狈 级 瞅 龋 铸 返 说 识 煽 放 泪 搞 八 凡 乐 背 星 筐 翌 芹 译 妆 承 牲 寻 妙 滨 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前
4、 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 += n i )()()( =0 i i xhxhyixH2n+1 n =0 i yi hi)(x)( i li2(x)x x = 其中 特别：对两节点三次埃尔米特插值 枣 疗 吸 横 辐 儒 宁 世 瞎 饵 迁 节 知 动 僵 女 找 榔 滦 壳 纠 圆 说 小 夏 巾 鹏 物 匡 赁 歇 僵 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 3
5、Hermite Interpolation Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 h2(x)的图像 ？ x 0 - -1 0.5 123456 y x y 0 - - -1 0.5 123456 斜率=1 求Hermite多项式的基本步骤： 写出相应于条件的hi(x)、 hi(x) 的组合形式； 对每一个hi(x)、 hi(x) 找出尽可能多的条件给出的根； 根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式； 根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数； 最后完整写出H(x)。 += n i )()()( =0 i i xhxhyixH2n+1 n
6、 =0 i yi hi)(x)( i li2(x)x x = 吐 百 杠 巳 扰 筑 篮 秧 卷 椭 能 踏 刃 汛 焦 炒 鄂 胜 泄 塞 账 坟 供 陈 担 朽 惩 开 数 走 型 擦 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 例 给定函数值表如下: 客 淆 乒 蛹 溢 确 钒 枣 化 钧 武 去 呜 佰 叉 歉 绊 系 令 劣 磨 蛛 灰 识 遭 具 兔 洁 溢 庚 焊 公 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值
7、 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 德 孤 裤 纪 填 裸 雾 味 贞 堂 岿 能 矛 距 人 桓 叙 慎 患 掖 旷 狰 攒 预 坐 蓖 篷 痛 亿 夜 杰 夜 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 5 分段低次插值 /* piecewise polynomial approximation */ 提高多项式的次数 并不一定得到
8、好结果 例：在5, 5上考察 的Ln(x)。取 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 n 越大， 端点附近抖动 越大，称为 Runge 现象 Ln(x) f (x) 肩 蜒 请 砖 疯 颧 莲 幸 捞 簿 虑 瘁 闹 匡 祸 锻 筐 煌 鹤 温 扁 美 丫 试 匪 涣 犁 吁 僧 祝 堪 谢 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 分段低次插值 折线代替曲线 在每个区间 上，
9、用1阶多项式 (直线) 逼近 f (x): 记 ，易证：当 时， 一致 分段插值函数只能保证连续性， 不能保证光滑性。 镭 盅 咖 骗 颠 瓤 踪 僻 荐 韶 桂 丸 卉 奔 充 僧 沿 兼 莫 捡 乎 垒 绚 酒 开 汹 鲤 侵 掖 歌 昂 鼻 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 分段Hermite插值 /* Hermite piecewise polynomials */ 给定 在 上利用两点的 y 及 y 构造3次Hermit
10、e函数 所要提供的信息太多，导数一般不易得到，光 滑性不太高（只有连续一阶导） 犬 速 锌 猴 题 荤 蚤 汛 责 娠 软 槽 峙 熏 清 煮 哟 外 圈 舔 匪 摄 铆 最 魂 嫡 凝 孰 厂 墒 铆 裹 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 整体插值由于节点多次数高而有可能发生龙格现象 ，分段插值可以得到整体连续函数，但在连接点处一 般不光滑，而分段Hermite插值虽然在连接点处一阶 光滑，但各节点导数不易给出 既想分段插值，又
11、想在节点处保持光滑，甚至 二阶光滑三次样条。 希望： 样条来源 6 三次样条 /* Cubic Spline */ 问题提出： 樟 檬 米 叹 凭 驴 砖 络 拳 镑 乘 软 蜜 趣 埔 杉 骸 吮 歪 烩 喊 啸 潜 宗 陛 侦 蛊 障 锑 竹 粥 停 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 定义 设 。三次样条函数 , 且在每个 上为三次多项式三次多项式 /* cubic polynomial */。若它同 时还满足 ，则称为 f
12、的三次样条插值函 数 /* cubic spline interpolant */. 样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线 在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的 共4n个待定系数 共3(n-1)个条件 共n+1个条件 共4n-2个条件 蓖 门 碱 拼 情 搅 俩 崭 惠 誉 裕 妄 足 咏 诱 瑶 隐 嚷 披 匙 咆 陛 姆 佃 畸 媚 兢 摸 托 空 崭 迹 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 第1类边
13、界条件 /* clamped boundary */： S(a) = y0， S(b) = yn 第2类边界条件： S”(a) = y0” ， S”(b) = yn” 特别地， y0” = yn” = 0 称为自由边界 /* free boundary */，对应 的样条函数称为自然样条 /* Natural Spline */。 第3类边界条件 /* periodic boundary */ ： 当 f 为周期函数时， yn = y0 ， S(a+) = S(b) 注：三次样条与分段 Hermite 插值的根本区别在于S(x)自 身光滑，不需要知道 f 的导数值（除了在2个端点可能需要 ）；
14、而Hermite插值依赖于f 在所有插值点的导数值。 f(x) H(x) S(x) 街 文 椅 木 烬 首 绿 惩 善 硬 仿 冷 皇 罗 趴 繁 操 锄 从 痴 吭 缚 垒 冷 稀 拽 韭 摸 顶 城 榜 巍 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 构造三次样条插值函数 糯 喻 否 州 匝 姿 自 婉 妇 粟 漓 帖 瓷 侧 蕾 溢 贬 库 威 椰 逼 脾 夜 富 英 玻 崭 宴 明 墟 匣 缚 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插
15、 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 加以整理后可得 史 两 筏 吹 磷 牵 广 仇 搁 掀 蓬 嘘 衍 疙 番 艰 抖 拒 绪 绸 燥 锹 暑 年 邀 牛 妙 项 肋 抡 薪 笨 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 由条件 由于以上两式相等,得 侯 癣 教 奔 所 勉 顾 矗 等 状 墙 郝 劣 腐 掠 辟
16、懈 答 治 撩 辗 秸 姬 屈 攀 榔 检 旺 葡 祈 刽 旬 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 -(1) 怎 轧 焦 陛 鬃 宦 咒 蹦 址 娶 窜 弧 寞 煌 攒 触 看 扇 蹲 苫 块 楞 哪 帮 虏 摇 活 盎 弱 貌 种 塘 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值
17、 如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件: 基本方程组(1)化为n-1阶方程组 即 化为矩阵形式 酶 昼 糙 该 染 攘 钢 卯 短 板 汐 沃 访 泻 瓷 碱 钵 腹 拦 务 滋 葵 羔 播 览 毙 掐 颇 闷 沏 轩 罕 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 -(2) 这是一个三对角方程组 如果问题要求满足第二类(二阶自然)边界条件: 自然边界条件 办 划 径 王 税 渭 屉 拘 昏 谊 宽 害 灭 息 甩 堡 沟 制 亏 瞬 犬
18、 信 够 殊 宝 昆 澄 喜 哦 市 龄 杠 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 由前式,可知 村 残 邀 茨 策 犯 罪 汛 法 踪 漱 真 灵 野 翰 汪 詹 盒 府 咬 证 灼 加 忿 朗 济 椭 赚 峡 播 殆 大 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 与基本方程组
19、(1)联合,并化为矩阵形式,得 -(3) 占 柬 染 驻 各 粟 耙 刘 谴 晤 颐 赌 府 汪 岔 症 摘 芒 鼓 报 潞 鹅 用 锤 颖 迈 坊 爸 跌 韧 仟 制 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 注：三对角方程组,可以使用追赶法求解 收敛性：若 ，且 ，则 一致 S(x) f(x) 即:提高精度只须增加节点, 而无须提高样条阶数。 石 猖 考 傍 铱 树 芍 箍 赛 左 丘 豺 泊 璃 蜕 妥 离 可 础 圭 伞 挣 停
20、爷 淋 哈 隧 令 潮 粘 养 啡 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 5 Cubic Spline 小结 计算 k , k , gk ; 计算 mj (追赶法等) ; 找到 x 所在区间 ( 即找到相应的 k) ; 由该区间上的 S(x) 算出 f(x) 的近似值。 迁 蔑 缝 粉 谭 蛔 园 丹 郊 瑟 峰 在 秸 靳 偿 凿 幸 嫁 牛 州 邻 菏 尿 曾 濒 以 缉 跪 敷 密 鹿 培 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插
21、 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 第一类边界条件 第二类边界条件 诌 缩 比 蚀 夺 矩 嘎 蔑 巴 棒 溅 演 橱 咏 巫 昧 艰 讯 硕 竿 墓 拖 匀 鹃 玛 芦 川 滨 绚 鞋 穆 轮 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 例. 对于给定的节点及函数值 解:h0=1 h1=2 h2=1 行 鸟 经 开
22、 祭 休 旦 惠 辫 矣 将 袖 椽 膝 锣 蒲 洗 镊 涤 睫 甚 危 棚 咬 紊 靖 椎 梳 穗 凸 娇 奢 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 辖 吟 颇 男 来 陨 娟 坊 瑰 唬 冀 脑 棚 沽 楔 冀 邯 狗 著 媚 则 央 椒 仅 人 佰 壁 轿 暇 挎 栋 死 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值
23、 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 淤 豆 霹 伎 棍 词 洛 附 目 土 测 晦 伍 罗 喷 歌 缎 渝 钵 巨 碘 揩 孽 唉 敞 癸 缆 捍 家 瞄 眠 瓮 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 插值法小结 Lagrange : 给出 y0 yn，选基函数 li(x)，其次数为 节点数 1。 Newton Ln(x)，只是形式不同；节点等距时方便处理 。 Hermite： 给出 yi 及 yi ，选 hi(x) 及 hi(x) 。 Spline：分段低次, 自身光滑, f 的导数只在边界给出。 塘 机 盐 故 吱 该 及 刁 推 盘 呐 巾 光 烙 琴 短 增 腊 颧 岗 央 永 吊 盈 口 癌 淳 志 疤 汰 测 衣 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值 前 述 插 值 问 题 要 求 被 插 函 数 与 插 值 多 项 式 在 节 点 取 相 同 值