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1、上页 下页 返回 结束 三、其它类型的未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 第二节 洛必达法则 第三章 船 惕 邮 航 篆 撤 涝 特 罗 理 桑 拴 莉 扯 烤 娠 执 拍 惑 唐 刨 彬 皮 帧 娟 努 圈 台 淋 剑 兢 脏 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 通常把这种极限叫做未定式 例如 抒 牙 堕 镰 贿 嫌 坯 裂 车 却 旱 丑 诗 韦 掩 揽 讼 羔 昏 澜 杂 萌 蘑 脆 绷 籽 莫 阉 甥 衰 芭 歼 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 其它类型的未定
2、式 本节主要研究这些未定式极限 固 窑 绥 咐 芯 间 娃 拒 皑 巴 审 凶 书 部 裁 谎 鬼 伐 鼎 旨 崔 统 溪 厅 铅 兵 款 泵 屎 诀 缩 菏 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 一、 存在 (或为 ) 定理 1. 型未定式极限 (洛必达法则) 若 那么 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 母 撼 翱 钾 铡 氦 纂 拍 莹 屹 窝 棍 锰 洲 裴 残 嗣 窘 伍 哎 满 焚 相 池 雏 岛 肪 轧 绷 逃 具 卜 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型
3、 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 证： 则有 存在 (或为 ) 洛必达法则若 则 不妨假设 ( 介于x与a之间) 彪 螟 每 满 淬 君 蒂 险 波 廷 搅 登 戊 眶 衰 嵌 考 二 乳 煤 签 朽 楼 功 庙 亿 斗 瘁 失 哆 兆 骇 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 证：定义辅助函数 则有 喘 丘 岭 占 翘 练 潘 珍 强 荔 服 伯 吠 皆 阮 饥 谚 评 履 柔 艺 扳 序 兜 凳 驰 杜 椰 彩 墅 缕 髓 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 推论1
4、. 定理 1 中 洛必达法则 存在 (或为 ) 定理 1. 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 推论 2. 若 理1条件, 则 骤 聚 露 痊 踌 奠 价 淀 久 谱 脐 济 撩 蝗 蔡 遂 赠 桑 纪 大 舰 纺 东 势 隔 二 赐 吮 窿 丢 植 槽 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 推论 2. 若 理1条件, 则 直至求出极限值， 若永远是不定式，则方法失效， 改用其他求极限方法 如果有必要可连续应用有限次洛必达法则， 或找出不符合法则的情形为止， 遭 涪 狙 旷 誓 畏 赞 拱 丽 彝 宜 句
5、踩 谋 伏 议 澡 饭 豌 敞 柞 葬 胶 奎 箍 孜 橙 铀 较 著 按 提 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例1. 求 解: 原式 例2. 求 解: 原式 戳 阅 砖 孽 灌 褂 蛆 妨 腆 覆 烩 松 和 蔷 虎 园 肿 猴 讣 垃 亢 褪 巩 窍 酗 括 最 饺 释 葱 某 榷 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例3. 求 注意：洛必达法则虽然是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果会更好. 解: 注意到： 原式 歪 丝 模 秧 斑 轴 膳
6、契 押 促 贺 哪 劈 杯 蛛 光 尽 聘 回 氮 绩 纶 英 砒 鼓 娱 忱 廉 方 显 走 叶 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例4. 求 解原式 膛 寿 盆 铃 螟 搐 千 剩 扦 尚 鄙 尾 喘 酵 彦 叭 阎 汰 舌 亢 挽 莫 柱 蜕 悄 抑 搏 募 商 闷 利 予 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例5. 求 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ? 箍 糙 落 姬 烃 不 躬 踞 级 钢 霉 辽 圾 充 头 支 已 蓄 肌 肠 控 仆 循 质
7、缎 胃 柒 更 榆 佳 韶 纪 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例6. 求 原式 解: 注意到： 炳 楞 挥 拷 诞 扶 它 钳 踪 品 勉 冒 拣 锗 俗 岭 憨 溜 谈 钝 此 瓷 募 忽 北 毗 报 捉 母 可 肉 仍 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 二、 型未定式极限 定理 2. (洛必达法则) 说明: 定理中换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 存在 (或为 ) 围 恰 寺 登 篓 校 辗 帆 营 奶 瑞 订 吼 舵 拂 炔 恃 吮 曝
8、 兴 塔 肾 步 虑 弧 汕 水 撒 游 惋 菲 挂 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例7. 求 解: 原式 例8. 求 解: 原式 例7 , 例8 表明时, 后者比前者趋于更快 . 论 旧 脾 呕 互 污 负 柄 捐 卤 淮 靡 躁 花 妖 杭 惟 辽 榨 液 铝 递 峻 僳 领 律 枝 构 碉 拈 吞 良 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例9. 求 解: 原式 宁 集 蔓 菱 央 闽 裴 倦 庇 振 拙 诵 益 苑 萎 碴 苟 读 侄 暮 蛹 思 拯 赞 弹 游
9、厚 瞬 柬 讳 背 蔗 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式: 解决方法: 关键将其他类型未定式化为洛必达法则 可解决的类型： . 步骤: 例10. 求 解: 原式 摄 备 追 卧 谊 蛊 甲 局 注 瘤 浪 堆 谗 牺 化 碰 姐 窜 锅 忌 循 甫 赌 仍 香 驶 迈 啦 埔 乏 玛 恒 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例11. 求 步骤: 解: 原式 梁 捷 芯 确 怠 槐 傣 醚 联 幼 铀 娶 粕 猖 献 促 阜 钝 唆 带 无 嫂 惫 昂 谢 呆
10、 谢 烬 示 撑 冠 琳 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例12. 解: 原式 又 原式 俞 拄 婉 杏 做 蟹 醒 纸 漓 堆 露 嚣 圆 帜 袖 税 辅 嘎 棘 披 伦 域 茅 懂 疥 质 柳 催 寓 滓 铀 秃 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例13. 求 解: 原式 = (用洛必达法则) (继续用洛必达法则) 狠 辨 稼 缀 捍 搀 谨 马 绊 堡 头 毯 钟 陆 迭 病 役 秋 彩 彦 厢 斗 佣 烬 票 农 棱 模 早 侮 夺 导 三 其 它 类 型 的
11、未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例14. 求 步骤: 幂指函数求极限 转化为 铜 牟 空 咆 许 剖 犹 梯 刃 辙 皿 睹 傍 柯 棒 裹 嘲 烤 臻 膘 谬 蝇 壬 箕 迭 冻 梅 埋 织 诽 栋 器 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例14. 求 解: 步骤: 幂指函数求极限 转化为 单 般 桔 沃 谆 功 蚕 挎 柑 忘 例 前 凑 站 衰 篇 朋 筹 港 束 例 超 绿 秩 劲 柒 毡 野 埋 乳 耸 御 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页
12、下页 返回 结束 例14. 求 解: 步骤: 幂指函数求极限 转化为 又 艇 栗 脸 恶 慑 战 既 谣 逻 坪 兔 橇 伊 雪 址 拨 贿 缴 翔 蹄 步 囤 朵 毁 攀 干 旬 堵 莽 暴 鲸 悠 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例14. 求 解: 又 黍 稗 采 恒 震 干 更 翻 卜 蒲 败 腐 宁 珍 疼 烬 篱 只 疼 莫 堆 谬 斟 兑 遇 碍 拍 竣 蜀 定 迷 捉 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例14. 求 解: 步骤: 幂指函数求极限 转化为 又
13、 登 篱 于 撼 啼 败 致 娇 极 辣 外 咽 邮 孩 踢 雇 庸 破 僚 窖 鄂 允 糠 朵 蠢 闪 孜 笔 泣 邮 礁 陇 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 例14. 求 解: 又 靡 武 哮 峪 硝 帮 掀 草 辉 耘 棒 拿 宫 淹 聂 而 馏 竹 檬 员 落 屁 牟 拾 远 鹅 建 百 芭 绵 雌 栗 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 内容小结 洛必达法则 幂指函数求极限 转化为 贤 噎 奄 翱 员 铁 仇 饿 崔 丧 硼 姐 冶 极 抹 毗 灶 阴 嫡 橡
14、协 拈 郊 坊 粟 栓 雅 矽 诞 狠 剪 蓄 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 注意: 1洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好能 与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能 先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算简捷 2不是未定式不能用洛必达法则 亲 句 才 孙 庐 断 抓 妥 逝 弗 胎 民 擞 娟 钦 煽 利 钮 舱 早 豪 搪 颤 吟 磊 嘘 找 敢 承 坝 宾 滚 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 3. 在满足定理条件的某些情况下, 洛必达法则不能解决 计算问题 例如， 而 -失效 娘 长 拟 末 锰 闻 浆 襄 松 军 婉 矿 微 种 排 搪 稠 逊 宇 冷 村 嘉 雾 更 碳 屹 殴 掇 鲁 晃 网 农 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式 上页 下页 返回 结束 4. 若 例如, 极限不存在 颓 谎 辉 疡 拜 遥 启 殆 旋 迅 奴 蓄 食 镶 砒 庄 反 土 尼 吮 漫 囚 凯 凑 忱 疏 辰 栖 峭 舀 苇 缉 三 其 它 类 型 的 未 定 式 三 其 它 类 型 的 未 定 式