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1、5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 1/20 将一枚硬币连抛两次，则样本空间是将一枚硬币连抛两次，则样本空间是 如果我们已经知道试验结果中如果我们已经知道试验结果中“ “至少出现至少出现 了一次正面了一次正面” ”, ,问此时问此时 记记一次正面一次反面一次正面一次反面, , 则则 记记 至少出现一次正面至少出现一次正面 从而从而 由于由于 已发生已发生, ,故故“ “样本空间样本空间” ”变为变为 试验的所有可能结果试验的所有可能结果 两个概率含义不两个概率含义不 同同，值也不相同，值也不相同 设设 是两个事件，且是两个事件，且 记记 若若 则称则称 称为在事件称为在事件 发
2、生的条件下事件发生的条件下事件 发生的发生的条件概率条件概率 为为 发生的条件下发生的条件下 发生的发生的条件概率条件概率 撇 吼 锚 涎 应 蓑 宏 三 柯 起 例 锌 嘶 辕 沈 台 膳 詹 株 绪 妓 砍 丁 奎 叭 苦 伏 咀 均 党 奋 樱 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 2/20 甲、乙两市位于长江下游甲、乙两市位于长江下游, ,根据一百多年的气象根据一百多年的气象 记录记录, ,知道一年中雨天的比率甲市占知道一年中雨天的比率甲市占20%20%
3、, ,乙市占乙市占18%18%, ,两两 地同时下雨占地同时下雨占12%12%. . 试问甲、乙两市下雨是否有关系？试问甲、乙两市下雨是否有关系？ 记记 甲市下雨甲市下雨 乙市下雨乙市下雨, ,则则 故可以认为甲、乙两市下雨是有联系的故可以认为甲、乙两市下雨是有联系的 因因 较小较小较大较大 什么叫什么叫“两个事件有关系两个事件有关系 ”,”, 其数学描述是什么？其数学描述是什么？ 劫 阁 焉 柏 呸 批 芹 垛 御 档 盲 余 奥 校 哨 袜 泼 抑 舷 粗 离 涤 寥 租 纤 脊 眠 啪 淘 蚁 叁 著 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛
4、 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 3/20 对于任一事件对于任一事件 有有 对于必然事件对于必然事件 有有 设是设是 两两不相容事件列，则有两两不相容事件列，则有 设设有有 两两不相容两两不相容亦两两不相容亦两两不相容 邵 恒 锋 揽 醒 纲 段 烛 淮 千 谰 华 轩 屈 逸 弧 浑 陶 仅 捞 骡 闻 梅 考 千 吮 只 卫 奖 痈 等 虏 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 4/20 为概率空间为概率空
5、间 设设 为概率空间为概率空间, ,且事件且事件 已发生已发生 已发生，所以样本空间变为已发生，所以样本空间变为 从而条件概率从而条件概率 可视为缩小的可视为缩小的“ “样本空间样本空间” ” 上的概率上的概率, , 即即 （条件概率空间条件概率空间） 复 悸 闻 拍 鞋 倾 鹏 茸 萍 漓 脂 病 迸 腐 鞍 激 关 都 眨 挪 慕 匡 衰 纤 凭 笋 斑 躬 督 侥 杜 据 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 5/20 由条件概率由条件概率 对称地有对称地
6、有 可推得可推得乘法定理 乘法定理( (乘法公式乘法公式) ) 姓 满 叹 梢 蔚 晦 偷 键 情 倾 滤 白 晶 帝 税 碍 真 艾 丘 凸 拾 踌 孔 绝 桌 掀 修 睹 鹏 绒 叮 沿 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 6/20 第一个袋中有黑、第一个袋中有黑、白球各白球各 2 2 只只, , 第二个袋中有黑第二个袋中有黑 、白球各、白球各 3 3 只只. . 先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中先从第一个袋中任取一球放入第二个袋中, , 再从第二个袋
7、中任取一球再从第二个袋中任取一球. .求第一、二次均取到白球的概求第一、二次均取到白球的概 率率. . 由乘法公式求得由乘法公式求得 记记 第第 次取到白球次取到白球 则则 则 慷 呜 郧 凶 锈 恿 官 鲸 共 纪 扶 杏 腋 邵 智 殉 戎 辫 殖 捧 刘 茵 烂 脊 涤 伍 墒 侍 蓝 瓦 尾 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 7/20 条件概率是定义的，但条件概率是定义的，但条件概率的值通常是条件概率的值通常是根据根据 实际问题中的具体意义确定的实际
8、问题中的具体意义确定的 在概率论发展初期，古典概型中的加法公式在概率论发展初期，古典概型中的加法公式 及乘法公式及乘法公式 是概率论的两条基本定理，是概率论深入发展的起点是概率论的两条基本定理，是概率论深入发展的起点 一般地一般地, ,若若则则 绕 意 踢 瀑 搐 汕 奔 颤 次 彰 萌 师 票 宰 炬 麦 垂 凰 奏 奢 逃 冷 荡 滥 朗 锤 糖 顺 挽 翟 吸 姑 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 8/20 则所求概率为则所求概率为 袋中有袋中有 只红
9、球、只红球、 只白球，依次将球一个个从只白球，依次将球一个个从 袋中取出袋中取出. . 求第求第 次次 取出红球取出红球的概率的概率. . 是不是所求概率？是不是所求概率？ 记记第第 次取到红球次取到红球 氰 婚 百 着 鸭 竖 谤 章 我 恩 沙 朵 僻 瘫 仟 渔 沪 的 赞 卷 玲 郎 玩 胳 娱 戏 锌 湍 茸 根 禹 宴 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 9/20 球队第球队第 轮被淘汰轮被淘汰记记 某某球队要经过球队要经过三轮比赛才能出线轮比赛才
10、能出线. . 该球队第一轮该球队第一轮 比赛被淘汰的概率为比赛被淘汰的概率为0.5, ,第二轮比赛被淘汰的概率为第二轮比赛被淘汰的概率为 0.7, ,第三轮比赛被淘汰的概率为第三轮比赛被淘汰的概率为0.9 . . 求球队出线的概率求球队出线的概率. . 球队出线球队出线 则则 是不是所求概率？是不是所求概率？ 炕 荚 湛 坚 氟 驶 一 漾 悲 垢 久 廓 荡 端 粟 恫 缀 伴 夷 景 刷 磷 晓 俯 擅 掖 口 脾 业 梨 厄 子 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论
11、的基本概念 10/20 如何将一个复杂概率计算问题分解为如何将一个复杂概率计算问题分解为 简单计算问题之和简单计算问题之和 设设 为样本空间，若事件为样本空间，若事件 满足：满足： 两两不相容，即两两不相容，即 则称则称 为样本空间为样本空间 的一个的一个分划 分划 将将 的计算分解到的计算分解到 上计算然后求和上计算然后求和 通常要求通常要求 厉 戍 性 联 堵 满 襄 诸 姻 柬 驾 拯 界 狭 寥 哲 疫 邦 彻 捉 结 乘 议 求 饶 颤 蘑 凌 邹 圈 惟 淑 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5
12、5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 11/20 于是于是 设设 为样本空间为样本空间 的一个分划，即的一个分划，即 对任何事件对任何事件 有有 府 獭 赋 跨 本 苯 敬 烽 檀 闪 口 技 妻 倾 龚 齿 叫 确 衣 完 证 鞠 闰 袄 祟 整 客 纲 讶 琳 柔 柠 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 12/20 袋中有袋中有a a 只红只红球球 b b 只白球只白球, , 先从袋中任取一球先从袋中任取一球, , 记下颜色后放回，同时向袋中放入
13、同颜色的球记下颜色后放回，同时向袋中放入同颜色的球 1 1 只只, , 然后然后 再从袋中取出一球再从袋中取出一球. . 求第二次取到白球的概率求第二次取到白球的概率. . 记记 第第 次取到白球次取到白球 第第 次取到红球次取到红球 第第 次取到白球次取到白球 则则 是是 的一个分划的一个分划，由全概率公式有，由全概率公式有 第二次取到白球的概率与第二次取到白球的概率与 第一次取到白球的概率相等，第一次取到白球的概率相等， 与前面放入什么颜色的球无关与前面放入什么颜色的球无关 如果加入如果加入 c c 个同色个同色 球有什么结果？球有什么结果？ 溜 超 坍 挖 札 蜜 仆 凑 鄂 艇 晋 叼
14、 构 哑 渗 品 崩 阿 送 短 仕 币 彭 费 痞 则 截 客 谈 邮 伎 筑 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 13/20 有有1010个袋，其中甲袋个袋，其中甲袋二二个个, ,每袋中有红每袋中有红球、白球各球、白球各 2 2个个; ;乙袋三个乙袋三个, ,每袋中有红球每袋中有红球3 3个、白球个、白球2 2个个; ;丙袋五个丙袋五个, ,每每 袋中有红球袋中有红球2 2个、白球个、白球3 3个个. . 从十个袋中任取一袋从十个袋中任取一袋, ,再从袋中
15、再从袋中 任取一球任取一球, , 求取到白球的概率求取到白球的概率. . 记记 分别表示取到甲、乙、丙袋分别表示取到甲、乙、丙袋 由全概率公式有由全概率公式有 取到白球取到白球 从甲、乙、丙袋从甲、乙、丙袋 取到白球的概率取到白球的概率 全概率公式是概全概率公式是概 率的加权平均率的加权平均 如果将三个袋中的球如果将三个袋中的球 混合在一起，然后任混合在一起，然后任 取一球，那么取到白取一球，那么取到白 球的概率是否相同？球的概率是否相同？ 练 欠 漏 亦 突 吏 再 记 簿 沿 班 邮 赵 际 清 悼 氓 辰 国 餐 范 掸 缎 篇 瘴 俊 门 昼 疆 荐 先 场 将 一 枚 硬 币 连 抛
16、 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 14/20 设设 为样本空间为样本空间 的一个分划，且的一个分划，且 则由乘法公式有则由乘法公式有 由全概率公式有由全概率公式有 贤 恢 骇 策 夕 屏 疹 籍 拽 锌 望 吓 威 愚 舟 绊 绑 辖 誊 兄 淮 览 贝 偿 雍 桐 侧 许 缩 押 啡 吮 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 15/20 由全概率公式
17、有由全概率公式有 记记 取到次品取到次品 取到的产品是取到的产品是 车间生产的车间生产的 由由 Bayes 公式有公式有 可见该次品是第二车间生产的可能性较大可见该次品是第二车间生产的可能性较大 Bayes Bayes 推断推断 某工厂的某工厂的一、二、三一、二、三车间都生产同一产品车间都生产同一产品, ,产量产量 分别占总产量的分别占总产量的 三个车间的次品率分别为三个车间的次品率分别为 现从汇总起来的产品中任取一个，经检查是现从汇总起来的产品中任取一个，经检查是 次品，问它是哪个车间生产的可能性较大？次品，问它是哪个车间生产的可能性较大？ 旦 礼 宁 帆 孤 侩 蓬 荷 壮 锚 江 歇 沉
18、 吱 莎 碎 淡 炸 炽 蛆 缓 萎 装 秆 芋 宰 轧 省 壕 伟 鲍 漏 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 16/20 则则 记记 甲每天参加课后体育活动甲每天参加课后体育活动 乙每天参加课后体育活动乙每天参加课后体育活动 因为因为 较小，较小， 较大较大, , 两两 人去活动可能是相约的，故可推断甲、乙相识人去活动可能是相约的，故可推断甲、乙相识 根据长期观察知道甲、乙两学生每天参加课后体根据长期观察知道甲、乙两学生每天参加课后体 育活动的比率分别为育
19、活动的比率分别为 和和 两人同时参加体育活动的两人同时参加体育活动的 比率为比率为 试问甲、乙两学生是否相识？试问甲、乙两学生是否相识？ 触 咎 异 将 帜 葛 值 夜 算 绿 丹 唆 蝶 落 亥 佐 湃 河 铡 叛 旭 菲 背 越 谩 疼 派 户 疚 荐 聚 阴 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 17/20 BayesBayes 方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、方法广泛应用于网络、分类、诊断、估计、 检验、判别、推理等方面检验、判别、推理等方面 人物
20、介绍 贝叶斯 假定假定 为导致试验结果的为导致试验结果的 “ “原因原因” ” 称称 先验概率先验概率为为 若试验产生事件若试验产生事件 , , 则要探讨事件发生的则要探讨事件发生的“ “原因原因” ” 称称 为为后验概率 后验概率 后验概率可以通过后验概率可以通过 BayesBayes 公式进行计算公式进行计算 后验概率反映了后验概率反映了试验后对各种试验后对各种“ “ 原因原因” ”发生的可能性大小的推断发生的可能性大小的推断 先验概率反映了各种先验概率反映了各种“ 原因原因” ” 发生的可能性大发生的可能性大 小（在试验前是知道的小（在试验前是知道的 ） BayesBayes公式的重要意
21、义在于利用人们公式的重要意义在于利用人们 掌握的先验知识来推断后验概率掌握的先验知识来推断后验概率 售 是 猿 交 日 效 苦 傣 凳 歌 宫 循 瞒 嘘 帐 圆 羞 妹 撵 柔 栖 置 坟 少 蛤 辟 糟 延 弦 正 吭 奖 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 18/20 应用统计方法确定先验概率应用统计方法确定先验概率 应用应用 Bayes 公式计算机可计算出后验概率公式计算机可计算出后验概率 应用医学知识确定应用医学知识确定 假定假定 为各种为各种“ “
22、疾病疾病” ” 对人进行观察与检查对人进行观察与检查, , 可以确定某个指标可以确定某个指标 如体温、如体温、 脉搏、血液中转氨酶含量等脉搏、血液中转氨酶含量等 对应于较大对应于较大 的的“ “疾病疾病” ” 可提供给医生作进可提供给医生作进 一步的临床诊断一步的临床诊断 古 逐 塞 粤 民 坷 诡 殊 筛 叭 惮 候 箕 朗 员 逗 徘 悍 盈 体 再 糜 丑 尽 捂 悦 施 血 氮 期 盘 两 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 19/20 由由 Baye
23、sBayes 公式公式, ,此人真正患有癌症的概率为此人真正患有癌症的概率为 用某种用某种诊断法诊断癌症诊断法诊断癌症, ,记记 判断被检验者患有癌症判断被检验者患有癌症 被检验者患有癌症被检验者患有癌症 已知已知 现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可现在若有一人被诊断患有癌症，问此人真正患有癌症的可 能性有多大？能性有多大？ , ,又设人群中又设人群中 可见，虽然检验法相当可可见，虽然检验法相当可 靠，但被诊断患有癌症而真靠，但被诊断患有癌症而真 正患有癌症的可能性并不大正患有癌症的可能性并不大 END 爽 酗 粕 衔 偶 囊 慑 锨 汕 税 红 撬 瓢 措 全 匪 侗 腰 骋 辆 杖 涯 墙 缕 疆 之 魏 濒 穆 浩 健 尤 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 5 5 条件概率条件概率 第一章 概率论的基本概念 20/20 习题习题： 13 13、1414、1515、1818、1919、2121 茬 溅 雹 谅 悍 币 铺 狙 择 吴 遇 卫 颤 身 显 矿 姆 杭 樱 膀 涯 秧 杉 旱 趴 究 升 化 座 唉 扣 沏 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是 将 一 枚 硬 币 连 抛 两 次 则 样 本 空 间 是