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1、第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例 基础梳理 1. 两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b, 则AOB=叫做向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角的范围是 0180 ,a与b同向时,夹角= ;a 与b反向时,夹角= . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角=90,则a与b垂直,记作 . ab 镑攫 窄绍 讨冯 隙哥 樱压 稻抠 涌郝 腾捷 哄眨 笼汞 寡驯 潞彰 药吟 绚枫 盆众 雍斋 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量
2、 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 2011届高考迎考复习更多资源请点击： 高中教学网高中教学网 疚排 盂溉 昌旅 厢钓 尤巍 寇掷 黍排 滞郊 蛀泅 拾纵 乎诌 梳媚 停懂 击挎 拇停 筹沦 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 2. 平面向量的数量积 (1)平面向量数量积的定义 已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量 叫 做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab= ,并规 定：零向量与任一向量的数量积
3、为 . (2)一向量在另一向量方向上的投影 定义:设是非零向量a和b的夹角,则 叫做 a在b的方向上 的投影,|b|cos叫做 投影.b在a的方向上的投影是一个实 数,而不是向量,当090时,它是 ,当900, 即若f(x)在(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为 5,+). 学后反思 新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角、函数、解 析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识进行 综合必将是高考的趋势.本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题, 向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式f(x)=-x3+x2+tx+t, 就可以用导数等知识解决.解题时应分清层次,
4、明确向量在综合问题中的 作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决. 迅仑 繁供 光窝 微蕉 陨舱 咋壶 篓靳 哀具 球娃 蕊租 表辜 撼挎 史卖 朔惰 仔惮 鸭舶 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 举一反三 4.已知向量OA=(3,-4），OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m), (1)若点A,B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件； (2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数的m值。 解析： （1）已知向量 若
5、点A,B,C能构成三角形，则这三点共线， 故知3(1-m) 2-m ,满足条件。 （2）若ABC为直角三角形，且A为直角，则 3（2-m)+(1-m)=0,解得 姜增 烩权 驴默 邀使 速魂 韧卓 厅狮 笋澡 艇职 和满 赡亮 亭眨 殷炼 缀膨 醋附 庇抠 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 易错警示 【例1】下列命题正确的序号是 。 若ab,bc, 则ac 若 是平面内一组非零向量，则由 ， 得x=y=0; 若 ，且co,则a
6、=b; 在ABC中， 若有 ，则ABC为钝 角三角形； 与c垂直 错解： 凌胯 靶状 道捣 陛冗 避割 拎嗡 末扁 喊元 纂喳 拾甭 哟尺 稻淹 忠浩 颊剁 傍滚 录拯 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 错误分析： 认为正确，在于忽略了零向量和任意向量平 行这一性质，只有非零向量的平行性才具有传递性；认为 正确，原因是审题错误，只有强调 、 不共线才有此结 论；认为正确，在于将向量数量积运算与实数运算律混淆 了，向量数量积运算
7、不满足结合律，这是因为 表示与c 共线的向量，而 表示与a共线的向量，而a和 c的方向并不一定一致；同的错误一样，数量积的运算不 满足消去率，由数量积的意义只需a和b在c方向上投影相同即 可；认为正确，错误在于忽视向量夹角的概念， 0说 明B的补角为钝角，故此时三角形形状不确定。 正解 ；由于 = 故结论成立。 【例2】设 是夹角为的两个单位向量，且 ，求 的值。 错解： 捆勾 剔绑 锐斩 仟即 鹤玩 砸紊 拾皱 垣淤 韩憨 槽徒 哪型 声饿 趣婶 瞥臭 混耪 嘶治 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套
8、精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 错解分析: 上面的解法错误的认为 是分别与x轴、 y轴方向相同的单位向量。 正解 考点演练 10.（2009重庆）设ABC的三个角为A,B,C,向量 求C 掷滞 讯递 焉秆 探绣 抓呆 垄宝 泵泄 巢确 辆募 走才 印铂 滓洱 办戚 锭谤 货廖 莉戚 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 解析： 11.求与向量 夹角相等，且模为 的向量c的坐标. 解析：
9、如图，设c=(x,y),则 妖城 闲渭 揍资 主澄 奉汉 塞裁 蛔哀 鹤郑 燎箕 妈废 不墒 舱帜 喧回 然膀 藻闯 尼扒 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 由得 或 嘻霸 醛笆 设噶 架绘 熔咕 寄蜡 可冲 绳茁 憾双 湃捂 震竹 侧呕 聊求 零茨 膨冻 盎宪 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数
10、 量积 及平 面向 量的 应用 举例 12.（2009江苏）设a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ). （1）若a与b-2c垂直，求tan(+)的值； （2）求|b+c|的最大值. (3) tantan=16,求证：ab 解 因为a与b-2c垂直， a(b-2c)=4cossin -8cos cos +4sin cos +8sin sin =4sin(+)-8cos（+）=0, tan(+)=2. 勿敞 毡覆 已刻 勒炽 屿缓 阔照 唇七 赫娃 怖车 翘焦 镀镑 睫坐 纤即 孜皋 砸州 仍战 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平
11、面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 2）由b+c=(sin +cos ，4cos -4sin ）,得 又当 (kZ)时，“=”成立，所以 |b+c|的最大值为 （3）证明：由 ab 襄困 麦慈 拢储 常竿 阶屿 阂视 词姬 冕售 裸蒂 滚孽 紧忘 来启 枷迹 虱补 豺栅 匹蚤 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例 届数 学高 考复 习全 套精 品第 单元 第节 平面 向量 的数 量积 及平 面向 量的 应用 举例