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1、第五节曲线与方程,基础梳理,1. 曲线的方程与方程的曲线 若二元方程f(x,y)=0是曲线C的方程，或曲线C是方程f(x,y)=0的曲线，则必须满足以下两个条件： （1）曲线C上点的坐标都是 ; （2）以这个方程的解为坐标的点都是 . 2. 求曲线方程的五个步骤: （1）建立适当的坐标系； （2）设曲线上任意一点M的坐标为（x,y）; (3)列出符合条件P（M）的方程f(x,y)=0; (4)化方程f(x,y)=0为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.,这个方程的解,曲线C上的点,娄牟芒狸预墩狙沫绘菠牌贷胯购熔约沦紫肋椅荤靛伤凋翻乖见偿衷襄檄痘届数学高考复习全套精品第
2、单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,典例分析,题型一 直接法求曲线方程 【例1】已知点F（1，0），直线l:x=-1,P为坐标平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且 求动点P的轨迹方程C.,学后反思 当动点所满足的条件本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了易于表达时，只要将这种关系“翻译”成含x、y的等式就能得到曲线的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称之为直接法.,分析 设P点坐标为（x,y），再表示出Q点， , ， ， 的坐标，直接代入满足的条件求P点轨迹方程.,解 设动点P(x,y)，则Q(-1,y). 由 ，得（x+1,0）(2,-y)=(x
3、-1,y)(-2,y),化简得C：,雕宠凝腾迂碗耗靳让惩柯滋涅乞蝇水起乳灸匠儡输讣沃桂慈扁蚤淤棺鲤丸届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,举一反三 1. 已知动点P到定点F(1,0)和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程.,解析: 设P(x,y),则 (1)当x3时，方程变为 , . 化简，得 (2)当x3时，方程变为 , 化简,得 故所求的点P的轨迹方程是 ,0 x3, ,3x4.,淤溉险欠棒叉坦欢丁嗓盎大诊隅甸现怎掩擦相后蜡砂糙舰狼糕挖昧鸣曙锤届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,题型二
4、 利用定义或待定系数法求曲线方程 【例2】已知圆 : 和圆 ： 动圆M同时与圆 及圆 相外切.求动圆圆心M的轨迹方程.,分析 设圆 半径 ,圆 半径 ,动圆M半径R,则由两圆外切性得 , (定值)0， 故可考虑用双曲线定义求轨迹.,澄鸯吝额更檄御归位垃灸敬抖村荫叭委帛焦愤易阜在驼淬赌傈愉篡纱派致届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,解 设动圆M与圆 及圆 分别外切于点A和点B， 根据两圆外切的充要条件，得 , MA=MB, 即 这表明动点M到两定点 、 的距离的差是常数2. 根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到 的距离大，到 的距
5、离小）， 其中a=1,c=3,则 .设点M的坐标为（x,y）, 则其轨迹方程为 (x1).,致句莹列宠弘番挥谜券塑办焕便三慈瑞辉孩盛哼晦拴毗将听徐士菊猎插营届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,学后反思 解决本题的关键是找到动点M满足的条件，对于两圆相切问题，自然考虑圆心距与半径的关系.当判断出动点的轨迹是双曲线的一支，且可求出a,b时，则直接写出其标准方程，这种求曲线方程的方法称为定义法.,举一反三 2.如图，已知线段AB=4,动圆O与线段AB切于点C， 且AC-BC= .过点A、B分别作圆O的切线，两切线相交于P，且P、O均在AB同侧.建立适
6、当坐标系，当O位置变化时，求动点P的轨迹E的方程.,神犊宴煌淤英铰床悉啃涵软符糕偏钟喜梆缘蹲逊炒赃座赂微灸研孤刁抛躁届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,解析: 以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y), 由已知,得PA-PB=AC-BC= 2).,题型三 用相关点法求轨迹方程 【例3】 已知长为 的线段AB的两个端点A、B分别在x轴、y轴上滑动，P是AB上一点，且 求点P的轨迹方程.,闪汞焦蛔与胜鼻友壮咕菌菲狙窃埠备浇浦另沙植嫡屉吗萝永截泪额酗叔内届数学高考复习全套精品第单元
7、第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,分析 由A、B两点分别在x轴、y轴上,且 ,得P点的坐标可以用A、B两点的坐标表示出来，而|AB|= ,故可求得A、B坐标满足的关系式，再把P点的坐标代入所求的关系式即可得到P点的轨迹方程.,解 设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),因为 又 , 所以 , 即 , 因为AB= ，即 所以 化简得 ,故点P的轨迹方程为,稳替牙嘲皮奖眼苏茬成裤枣芋蕾绊鸥恃谢充碍其谓狗矣捣削骚攻柠寅胀剁届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,学后反思 对涉及较多点之间的关系问题，可先设出它们各自的坐标，
8、并充分利用题设建立它们之间的相关关系；再对它们进行转化和化简，最后求出所求动点坐标所满足的方程.这种根据已知动点的轨迹方程，求另外一点的轨迹方程的方法称为代入法或相关点法.,举一反三 3. 点P是圆 上的动点，O是坐标原点，求线段OP的中点Q的轨迹.,莫木星铝望愚遮幂彬瞄臂荣荤犀谣辅疲席陀啼紊粪纷歹碌咋芭挑悯抱闪免届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,解析： 设 ,Q(x,y),则 , , 是圆上的动点， 即,题型四 用参数法求轨迹方程 【例4】(14分)设椭圆方程为 ,过点M（0，1）的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点,l上的动点P满足 当
9、l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.,戊出辛韵佃字流棱审瘦串巢荐曙幂成瘴张玫超忌苑揩林昧凌损期亡弱甩靶届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,分析 设出直线l的方程，和A、B两点的坐标，并将直线l方程与椭圆方程联立，求出 , ,由 可表示出点P坐标，再用消参法求轨迹方程.,解 直线l过点M(0,1),当l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.1 设 、 ，由题设可得点A、B的坐标 、 是方程组 ， 的解. 将代入并化简,得 ,4 则 8,苏墅注溉幸尖癸铣漏蒋缚桐跃首缺粮燎祁挛仆担织朋眶雌临甜悸姓贬拒雄届数学高考复习全套精品第单元第节
10、曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,于是 10 设点P的坐标为（x,y）,则 消去参数k,得 (y0) .12 当直线l的斜率不存在时，可得A、B的中点坐标为原点（0，0），也满足方程，所以点P的轨迹方程为 .14,学后反思 本题运用了参数法求轨迹.当动点P的坐标x、y之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t,并用t表示动点的坐标x、y，从而得到动点轨迹的参数方程 消去参数t，便可得到动点P的轨迹方程.其中应注意方程的等价性和参数t与动点P(x,y)关系的密切性.,厂喉畸威捏氨矩皮臻麓宛抛闯棒留聪估蔡戎券适诧循椎住呜敦痈裴台竹栖届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方
11、程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,举一反三 4. 过抛物线 的顶点O引两条互相垂直的直线分别与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程.,解析： 由题意知，两直线的斜率都存在.设直线OA的斜率为k，则OA:y=kx,OB: 由 得 同理由 得 设P(x,y),则 ,我眨奴缆毒平毋锡戈尤笛杰马征矣鸽邮步符唆瞧榴敝妙斟影汁墓肪其废泌届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,由2-2，得 即 故线段AB的中点P的轨迹方程为,易错警示,【例】 过点P(0,-2)的直线l交抛物线 于A、B两点，求以OA、OB为邻边的平行四边形OAMB的
12、顶点M的轨迹方程.,错解 如右图，设M(x,y), , ,直线l的方 程为y+2=kx,即y=kx-2. 由 消去y，得,撮揽伤戏场彦餐若将桩胜宴侦丑魁泰燥凸动肺蛰雏魂峰提咖睦吱锗鲤决血届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,错解分析 直线l与抛物线交于不同的两点A、B,则l的斜率一定存在且受有两个交点的限制，故应由此确定k的取值范围，错解中忽视了k的取值范围，导致错误., , 四边形OAMB为平行四边形, 消去k，得 点M的轨迹方程为,正解 设M(x,y), , ，直线l的方程为 y+2=kx，即y=kx-2(k0). 由 消去y,得,肩蟹土捅招
13、涪镇廉饶垛擒亲疫纪慰耽淆试做琢执怠殆胆腹过彤眠抖晶肮蕾届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程, , 又四边形OAMB为平行四边形， 消去k,得 又l与抛物线 交于不同两点A、B, 解得 且k0,又 ,y0. 综上,M点的轨迹方程为 (y0).,境耕铬掇宽团闹蛮鸥合朝惠谬跨趋解弦慎贪铱池区阔顿紊砰傍牡宰枚娜蔡届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,考点演练,10. 已知点Q是曲线 上的动点，点A的坐标为(1,0),求线段QA的中点P的轨迹方程.,解析： 设P(x,y),Q(x0,y0),则由中点坐标公式，
14、得 解得 点Q在曲线 上， ,化简得,氓赛沼该亏老屏鼓嘘庄空笋叭爱塑朽怒侣某硕副卡蘑手姜梨留出炬中浓绥届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,11. 若直线y=kx+b交抛物线 于A、B两点，已知|AB|= ,线段AB的中点纵坐标等于-5,求k,b的值.,解析: 由 得 设 , ,则 . 又 ,即 . 由，得 ,代入，得,存稚怎役崇执囤浸紊胸龚馆灿卒贡爽幂株捕噬龟舌镇玩利酮憨膜每棵营亏届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程, 或 k=2, b=-3或 k= b= .经检验均符合要求.,12. 如图，矩形
15、ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T（-1，1）在AD边所在直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的方程.,拆桃烧沼文臼琳滩细净临哑带诲医努冷权档答俺紧通蛆瘸戚酮盟捉楞坏怂届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,解析： （1）AB边所在直线的方程为x-3y-6=0, 且AD与AB垂直，直线AD的斜率为-3. 又点T(-1,1)在直线AD上,AD边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0. (2)由 x-3y-6=0, 3x+y+2=0,得点A的坐标为(0,-2). M为矩形ABCD外接圆的圆心，且 AM= ， 矩形ABCD外接圆的方程为,讯变哲弊堆悍蝴胜搅崔汪拷拱筹信旗捏毖斌坐洱枚迅筏拭均常铁彦瞄懦翔届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程届数学高考复习全套精品第单元第节曲线与方程,