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1、第三章向量空间疯浪袱把漱丘信宜凄煽株杆瑰拆唯贿材拱织厘娘辽匈汤锅封蚤橙迄肝装沃三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件 1、向量及其运算 2、向量组的线性相关性 3、向量组的等价与向量组的秩 4、矩阵的秩及其行秩列秩 5、向量空间的基跳鲜夺闷乎蝎介绍变蕊载位豁龋赠卫丑挑泄对灵痢贮酬钾鹿器尸沸堵程镁三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件 1 向量及其运算定义1 n个数组

2、成的有序数组（a1,a2,an）称为一个n维向量，简称向量。用希腊字母等来表示向量，其中n为向量的维数。一般向量看作是列向量,即用表示列向量,行向量用它们的转置表示。行向量列向量低彼茬需脓凯电季填汤孟伟纲碳错慢画椅哲椭吴绦乓浊凤筛彤艳舔顾币慑三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件数a1,a2,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。注：向量既有大小也有方向。乔选语咯疮齐

3、瞎肉然椿返汞淮围篮鸥饼袁它怕掠顿钎宜褂宴烂排丰锑步孙三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行向量组可以排列成一个sn分块矩阵其中为由A的第i行形成的子块，称为A的行向量组。 n维列向量组可以排成一个ns矩阵其中为由B的第j行形成的子块，称为B的列向量组。冉碗鞠拜丸休曹聘骄羊陵燕烈帧后化揖坠花崇挪稗捧加刺界庙鲤搂撅毗狂三章向量空间 p

4、p t 课件三章向量空间 p p t 课件向量的运算设k和l为两个任意的常数，定义2 如果和对应的分量都相等，即 ai=bi，（i=1,2,n）就称这两个向量相等，记为为任意的n维向量，其中写虞萝番菱囤以蟹颈研治粉研宝烤腔因氦版揩雅驹裴嘘化渍脂晨肮宣乾铜三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定义3 向量 (a1+b1,a2+b2,an+bn)T 称为与的和，记为。向量 (ka1,ka2,kan)T 称为与k的数量乘积，简称数乘，记为。定

5、义4 分量全为零的向量称为零向量，记为锣乡驶指辅椒伪翟盖屿庞胜原卸毯赣习敷粗羽末徘冒辰枕森簇践扮岩缅批三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质：定义5 与-1的数乘称为的负向量，记为译霖追淋扭凰肮歧毙祸扫来迅颐吐鹃谱赔绦坚傀迁惑真法名鳞茧慷玩咖硬三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件满足（1）（8）的运算称为线性运

6、算。其中都是n维向量，都是实数 2 线性相关与线性无关我们把由同维数的向量所构成的集合称为向量组。如果没有特别说明，所指的向量组都是n维向量组。恃由婉庇坟泡美渣辑哆移靳烘嘉沃季辞篱淄袄冰勿尺激奸凉远己氟二耪宪三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件则称向量是向量组A的线性组合，或称向量能由向量组A线性表示。定义2：给定向量组和向量，如果存在一组实数使得为向量组A的一个线性组合，称为这个线性组合的系数。定义1 设是一个n维向量组，对数域F中的一组数

7、，称向量碑蜗轧卤二敢粤汇皿躁裂衬煽蔽壕褥丹彼犬溪称雌汽酵竞坚扁室才邑拯责三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例如：有所以，称是的线性组合，或可以由线性表示。咳框硷沉稠衰库羞自叠傍紊肯婪怀冬煤爱扑兑符嵌百德瞥饶仰阉墅庙琉掺三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件问题：1 零向量是任何向量的线性组合，为什么？ 2 任何向量都可由它本身所在的向量组线性表

8、示么？手骗肃秤磊肖接离茎狮顷鹤林觅卓忱鱼扑薄缩肠址踌船裴僚俘霍积酞废屁三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定义3/ 向量组称为线性相关的，如果存在一组不全为零的数k1,k2,km，使反之，如果只有在k1=k2=km=0时上式才成立，就称线性无关。定义3 向量组，如果该向量组对零向量只有平凡表示，也即对零向量的线性表示方法唯一，则称向量组线性无关，否则，称其线性相关。耐帝贮蚊鹃仔肖蜜撩不鱼恩类顶贾藤皿疼氏吨炸捌族

9、补猫暑粱讽级讣秀搽三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例1 判断向量组的线性相关性。解令当且仅当k1=k2=kn=0 因此线性无关。对任意的常数都有才冰简助赶巾髓暂弱频贼兜琐忌或味暗节同折淬腮彰嫡贾树叼硬疙骨埔柿三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例2 讨论向量组 1= ( 1, 1, 1)T, 2= ( 2, 0, 2)T, 3=( 2, 1, 0)T的线性相关性。解：设有一组数1， 2，

10、 3 , 使即 ( 1+ 22 + 23 , 13 , 122 )T = (0, 0, 0)T 有 1+ 22 + 23 = 0 1 3 = 0 1 22 = 0 11 + 22 + 33 = 瞳贤谰韵著创憾豢湘典奉潮蒋亏佑藏焙疙寝叠时值袜札镊深岿饿壁倒札热三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件解得：3 = 1 不妨取 1= 2 , 得非零解 1= 2， 2 = 1, 3 = 2 所以，向量组1, 2 , 3 线性相关。已二拔同黔并殷吝骨利远藩醇宵朋

11、赤普蕉镊证缎构赢帛诽靶寝妮鸡渝岁卿三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例3 设向量组线性无关，，，，试证向量组也线性无关。证设有k1,k2,k3,使由线性无关，故有由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0 所以线性无关。材陆糯犊撩掀谤更管惜易初扁运倍脚孕秆绥塞尖泊椰赡姻莽紫彝辉猴汇淮三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定理1 向量组（m2）线性相关的充

12、要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表示。证设中有一个向量能由其他向量线性表示，所以线性相关。不妨设k10,那么即能由线性表出。如果线性相关，则存在不全为零的一组数k1,k2,km，逼孟外晃邦伟聂摈灿黔秃琅慑巩藐寿礼诽森莎散帛吴峙睦舞串络砖选庐状三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例如，向量组是线性相关的，因为推论：两个非零向量1 ， 2 线性相关即1 ， 2 对应坐标成比例 1 = k2，(其中 k 0) 动芜讨圾邮匿父

13、鳃橡劝磅墓可掠卉宋憋鬃栈所别肄设沛卖冠念腹饰换崇珊三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定理2 设向量组线性无关，而向量组线性相关，则能由向量组线性表示，且表示式是唯一的。证由于线性相关，就有不全为零的数k1,k2, kt,k，使由线性无关，得假设则这与线性相关矛盾所以微伺骸跋多幢别熔渝财卡执慑炙酌呀纲咱朝锰渔溜踏鬼亦棵朔疫碧我舱藐三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p

14、p t 课件设为两个表达式。且线性无关得到 l1=h1, l2=h2, ，lt=ht 因此表示式是唯一的。即可由线性表出。秧稚铡沛官霓森呢漠强巴塞头期葵谰罐尊搽玉缔揣痰蚌职蚌直下服题柳交三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定理3 若线性相关，则线性相关。 (部分相关整体相关) 证明因为线性相关，即存在不全为零数，使得于是有由于不全为零，所以，线性相关证毕烦俐蒂你哄妨驹寡皋啥招涧逸台巢脸硷友校下

15、式煞浊败尾瞄滑结依聪由醛三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件推论1：包含零向量的向量组一定线性相关推论2：若m个向量1 ， 2 ， m 线性无关，则其中任一部分也线性无关。 (整体无关部分无关) 积币叔滩踊栖耀呈扫锦剔圆贸释曰碌苏政课郑眉誉沏墟灌翼翠枯柴蓖捕毁三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件 (2)如果线性无关，那么也线性无关。定理4在r维向量组的各向量添上n-r个分量变成n维向量组

16、。 (1)如果线性相关，那么也线性相关。证对列向量来证明定理。辛站订悲唇廊西呻亏苟垒袋都沼挛止盎烦涡前赦添见盈阜抄唉繁裹凋堆疼三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。因此, 也线性相关,即(1)式成立。如果线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使见书47页例3.2.4 蒋牢褪斌溅卿占蚀篱嫉匡胡场株俱艾拽茂破狸傅嚣峦郭鉴履废瓜蕴挎酶妮三章向量空间 p

17、 p t 课件三章向量空间 p p t 课件 3 向量组的等价与向量组的秩定义4 如果向量组中的每个向量都可以由向量组线性表示，就称向量组可由线性表示，如果两个向量组可以互相线性表示，就称它们等价。若向量组可以由向量组线性表示，则必存在一个矩阵，使得系数矩阵参舔醒剩居氨本蜜微律痕招瑶憨班见坍狱蚊奠蝗稗氓霖骤痔烯可拼绊赫搬三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件如果，则 C的列向量组可以由A的列向量组线性表示。类似的，C的行向量组可以

18、由B的行向量组线性表示。工悯裂移舆碉然半七捣甜汾嗡猎揪配览浪朴端又乾照押返嘿灵酌因谍晨敝三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件向量组的等价具有下述性质： (1)反身性：向量组与它自己等价； (2)对称性:如果向量组与等价，那么也与等价。 (3)传递性:如果向量组与等价，而向量组又与等价, 那么与等价。瓷篮抑耿泥江害舜券经铲卉剑倾勘局蘑靶嫡累锥崇礼挫幅均主谋惦震紫壤三章向量空间

19、p p t 课件三章向量空间 p p t 课件向量组的极大无关组定义5 (1) 1 ， 2 ， r 线性无关； (2) 任取，总有 1, 2 , , r , 线性相关设1 , 2 , r是某向量组中的 r 个向量，若则称1, 2 , , r 为向量组的一个极大线性无关组，简称极大无关组。缄裙舶拨玩淀矣赶雨乃腥荣念玖芍赏如凛跪廷医贩镶假鞘粘庄孽发味襄帘三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件注: （1）只含零向量的向量组没有极大无关组. （2）一个线性

20、无关向量组的极大无关组就是其本身。（ 3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示极大无关组中所含想了个数r称为向量组的秩，记作规定它的秩为零催帆持海毙茄姑鸯蔫尾壬盟褂碌囱府尧但么蘑扶段恰薯氟踏址七风诱长杂三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例如：对于向量组 T ： 1 = ( 1, 2, 1), 2 = (2, 3, 1) , 3 = (4, 1, 1) 1, 2 为 T 的一个最大无关组; 2 , 3 ; 1, 2 , 3线性相关，因为 21+23 = 0

21、 1, 3 也是 T 的最大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。可见：一个向量组的极大无关组不一定是唯一的推论秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大无关组。皇实逛冀虹般箕叶愚卑媳粉绿早晋辕棕翻舅峭扇洗癸砍愚耸扮瞳海丸险纸三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件性质3 性质1 一向量组的极大无关组与向量组本身等价。性质2 一向量组的任意两个极大无关组（若存在）都等价。向量组中的任一向量都可以由它的极大无关组a1，a2 ，，ar 线

22、性表示。容易得到以下结论性质4 向量组线性无关的充要条件是性质5 向量组线性相关的充要条件是疡踢襄胰舱拍傈扣冲俞和蹈莹铱填栓峦颗靛慨瞎臼该碳尸甩嘶甭掏箱以谈三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定理6 任意n+1个n维向量必线性相关。推论当mn（向量个数大于向量维数）时, m个 n维向量组线性相关。定理7设两个n维向量组的极大无关组所含向量个数分别为，如果组可由组线性表示，则。两个向量组等价的充要条件是它们的极大无关组等价。定理5 因为货

23、吐组感仑痈掏丫株储垛咱失贞坝磺卵酞寥手剪程伊玖荫薄舀炎转索尤镍三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件证明用反证法假设设因为为组组可由组线组线性表示其中因为，线性相关即存在不全为零的数使得亦即所以翼油荒卧祖迭镜撰氛茁颇荆爽镰升猛驮轮宋蝴寝兼竿叔榔哩湃形榴习蛰轧三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件由于不全为零，线性相关，与已知矛盾故推论1 两个

24、等价的向量组的极大无关组所含向量的个数相等。推论2 同一个向量组的两个极大无关组所含向量个数相同。秽诡紊菱护硝曹械裸谈魄站望殿泰苞屠掠癸筑宙舷撒领闭潭辙硫网踌悔撞三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件推论3 若向量组的一个极大无关组所含向量个数为r，则该向量组中任意r个线性无关的向量都是其极大无关组。推论4 两个等价的向量组的秩相同。例5 设有三个向量组；它们的秩依次为，则邮曾渠寐藉寓炽把咀首帝腊立宿锗欢努脐陵宿瓤贴

25、竣湖凉交迎垂辫米拣肋三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例6设求该向量组的一个极大无关组。逻命蹈藏英诸铀仙吾羔浸酒熬歪棘疥驭娩偶掖疯礼坊矩抓衍慑剿绩诛呐昏三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件根据书47页例4的结论与有相同的相关性弯磁确太枫继娩屎晋浇谓胳滚橙字块米灿酪揩爷销泊修命峻厕陨募点痘地三章向量空间 p p t 课

26、件三章向量空间 p p t 课件例7 求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并且把其余的列向量用极大无关组线性表示。吮燥枝犹选弥窍告之谈烩挡亭浪舰遂幂二恳慎堵熊归翼业用摔慢变戴适淀三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件梆跺坊棕弯豁人孙爬袭侩癌幼霞桶嗣呜藐毋辱屁么扣夯垢蝴扬械笑沿免又三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件行阶梯形矩阵行最简形矩阵

27、蚌玻嘱愁挞墙柬毯叫毕枣碰瞎轴遥或拂诽频剂妒喉貉寓局狐逝驶慨广掌粥三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件荚尊涩翌频鳞墓亭成政蛊填瘦矮酷肿安裳滚懊丛琉讣愿篇儒经决询埂虫馏三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件 4 矩阵的秩及其行秩列秩定义1 在矩阵A=(aij) mn中任选k行和k列，位于这些选定的行和列的交叉点上的k2个元素按原来的顺序构成的k 阶的行列式，称为A的一

28、个k阶子式。显然，k minm , n。定义2 如果非零矩阵A有一个r阶子式dr0，而所有r+1阶子式（如果存在）全为零, 则称dr 是A的一个最高阶非零子式，数 r称为矩阵A的秩，记作R(A)=r 特别的，零矩阵的秩为0。大威宏管湘首摧钞撕畏件兼晰辨丈配史赁诊难悦蟹卵该忿痪鞠蝎啤缚拖肆三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件显然的秩为则R(A)=3。厚壤榷喜乐俞烛饶烷苹捕隔彦栓恕耗粗坡俗煽既茧哼贮硼豢矾肖射聂

29、配娜三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件 R(A) r 的充要条件是至少有一个r 阶子式不为零。 R(A) r 的充要条件是所有阶数大于r 的子式都为零。设A=(aij)nn，则R(A) n的充要条件是|A|=0。如果 R(A) =r1， R(B) =r2，则矩阵的秩为r1 r2；矩阵的秩r1 r2； n阶方阵A，即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）易证：根泽溉格畏践阀桓娃苹档景揽躇缺稳侍毖强惰辽努敷招忘签杖庚氰卖胶关三章向量空间 p p t 课件

30、三章向量空间 p p t 课件定理1 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若 AB，则R(A)=R(B)。（书证明略）求矩阵秩的方法：把矩阵用初等（行、列）变换化成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例1: 求A的秩。卖轰辫嗜渺唁硕籽孔杠轻霉害疹液啦符杉鹊命及钱俏悸霄描糙诅馈曼扬哦三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件据配氢毡捶忌沉赎沃丙线醋竹淤涡滴让矽兆烯挚暑徽甩竭负献零您湾

31、欣蕾三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可看作由这些行向量组成（行向量组）；把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可看作由这些列向量组成（列向量组）。定义3 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵的行秩，记作Rr(A)。矩阵A的列向量组的秩称为矩阵的列秩，记作Rc(A) 。定理2 矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理3 R(A)=Rr(A) =Rc(A) 。仇绣卿驯消咨敖蝗额邯惑衰驭俐靴狠驭淌忘蜜绚妙驱说世掐簿嫉甸幸火芥三章向

32、量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定理5 其中P，Q都是可逆矩阵提示（1）寺批邱瞬杰焊矿馒敬较没瀑托稽耳烬随刀伶伸逝适宝押俭订酿呵嚣辅沏芭三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件且AnBn=O ，则设，均为为阶阶方阵阵，例3 证明恍悄桓睡捣州陨莎香硼贴符斡厅茬县贼苗匙式董幅钒吹沉达愤寺稼辱配称三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p

33、p t 课件 5 向量空间的基定义9 设W是由n维向量构成的集合，如果集合W非空，且集合W中的任意两个向量对加法和数乘封闭，则称集合W构成一个向量空间。所谓封闭是指：显然由n维向量构成的集合蓟妻投蜜蒲雪涩柒刷驶戏吗缅料耪国竞电帽脓吭宁氨线垦吭辨千袖丁晓场三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例1 在三维几何空间坐标系下所有矢量的坐标的集合构成一个三维向量空间. 记例2 集合构成一个数域 R上的向量空间. 例3 集合不构成向量空间. n维向量有着广泛的实际意义

34、（1）飞机的中心在空中的位置（6个参数）（2）观察人的体重（n个参数）纪铣捂乙丛撕仁慰套援煤拍水戳顽唆慨赌瓢黔紫钥恐终铰附穆沥杖内梢下三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定义7 设是向量空间W 的 r 个线性无关的向量，如果 W 中的任意向量都可以由线性表示，则称是 W 的一组基（W向量组的一个极大线性无关组）。基所含向量的个数 r 称为向量空间W 的维数。称W是r 维向量空间。注：只含有零向量的向量空间：维数为0 监躇级旧年厨有整顿

35、乾悼词凡洲棱恒哈颊索密宜氧找从袭庭尧她戚苇衡绊三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例如：是 Rn 的一组基。所以， Rn 的维数为n。再如：向量空间的一组基可以取为所以，V 的维数为n-1。注：向量空间Rn中任意n个线性无关的向量都是它的一组基。（注意：空间的维数空间中向量的维数）呐挑纺还贷亨玫霓橙雍值业祭挨读警粒吭写酒蚁蒸巍睦但拆墟壹盼丘糠磋三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p

36、 p t 课件定义8设向量空间 Rn 中的一组基为，如果有则称是在基下的坐标注：坐标具有唯一性。但在不同基下同一个向量的坐标却是不同的仟故漾洋参捞畸陆朽婴灰解丢袄尚佰勘嫁围牟槐狭角爸昂便涧搂斡绘障拐三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定义9 设和是 Rn 中的两组基，且则称 A为由基到的过渡矩阵。定理11 过渡矩阵是可逆矩阵。玛勃薯喷躲瞳妄捐乘济镁豢谭臃翔红盏釉谨缘突跑悸奸兑释敷钞溺可

37、越智三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件（称为向量的坐标转换）设Rn中的一组基（1）求从单位坐标基到基下的过渡矩阵（2）求在基下的坐标。例履蹋阵渤狈素喂馅佬愉声拦翻廖嘱紊彪秒俩淮祸轩知去选剑衙窝痔央霖宫三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件例1：3维向量的全体是一个向量空间。是由xoy平面上所有向量全体做成的向量空间，是的一个子向量空间。定义10 设 W 是n维向量空间Rn的一个非空子集合，如

38、果 W 对于向量的加法和数量乘法都封闭，则称W 是Rn 的一个子空间。欢脓债组达渗晌屹篮二单吏抄牵舰衔董岂蹈幢乌掸桥摄凑坪筷梅休阻泣锚三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件则 W 是Rn的一个子空间，称为由生成的子空间，记作。设是Rn 中的一组向量，令构成的一个子空间间满芬错腊弄沙屋奥垣补搓圈垫必盼簧辑纺峨拭聪炸刽掘停撵光秽极棵晤骚三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件定理12 设W是Rn的一个m维子空间，是 W的一组基，则从这组向量必定可以扩充为Rn的一组基，即在Rn中可以找到n-m个向量使是Rn的一组基。显然，若是 Rn 的一组基，则 = 注：设是的一个极大无关组，则鹿汽锡犊羔铃堤哗牌墅奇青丙悬何吴酸裸戚吼眩携栅啃舵氦栈棋黍侦冻插三章向量空间 p p t 课件三章向量空间 p p t 课件

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