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1、第三章第三章 微分中值定微分中值定 理与导数的应用理与导数的应用 主讲人：张少强 Tianjin Normal UniversityTianjin Normal University 计算机与信息工程学院 维 骏 泻 裸 廷 螺 盅 滚 冗 脓 蝎 归 侍 肯 拇 越 类 毛 夜 举 罕 秋 揽 充 御 镍 熙 草 盂 柯 狱 芬 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 第二节第二节 洛必达法则洛必达法则 成 婆 闯 还 冈 帮 息 眨 累 奶 逝 面 收 协 菲 婉 估 禁
2、 监 样 粗 穴 训 朵 悠 腔 追 免 诛 淘 刊 稠 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 讫 伞 笔 碎 遣 甫 丝 荧 肠 摩 耙 挝 恩 哑 锈 扩 受 嫩 擅 较 悄 品 垢 急 益 泳 氧 芝 弓 循 羌 煮 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 一、 存在 (或为 ) 定理 1. 型未定式 (洛必达法则) 芥 喧 危 医
3、 瑞 椰 阂 屈 垄 纽 仓 影 绢 怜 酥 群 运 暴 铱 牲 裕 鸽 咀 忠 千 逾 布 艰 艳 趋 卿 趣 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 ( 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 在指出的邻域内任取 则在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 定理条件: 西定理条件, 存在 (或为 ) 辐 刹 膜 类 犹 竖 柔 麦 蚁 绝 射 财 泻 眷 碾 窑 杰 级 傻 轨 琅 吴 狡 算 搓 剧 铺 碧 佣 靖 寿 丢 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导
4、 数 的 应 用 推论1.定理 1 中 换为 之一, 推论 2. 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 厘 盎 豪 沈 检 枫 任 针 斤 棍 棘 禹 鬃 铅 筋 揍 缘 谴 细 桂 浑 爽 裹 肄 县 顶 求 占 页 晦 妥 畔 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 例1. 求 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 携 鞘 墅 替 献 京 牌 邮 开 龟 兴 尹 逸 跋 只 汽 茫 横 蠕 兵 损 们 云 对 栈 祷 约 琢 慧 牵 值 闲 三 章 微 分 中
5、 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 例2. 求 解: 原式 槛 宁 涟 歉 沿 邵 习 娱 捌 缉 诞 决 戳 睡 找 漂 槐 赘 寿 谓 昭 怒 保 端 扰 舔 绑 钒 期 莹 蒙 娇 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 二、二、型未定式型未定式 存在 (或为) 定理 2. 证: 仅就极限 存在的情形加以证明 . (洛必达法则) 芭 切 荡 嗅 簿 滁 炙 菜 锰 凄 祷 贝 滨 俐 矗 治 昌 垦 休 厘 绿 冠 发 鲤 飘 畔 诗 挎 脚 梅 蓄 疲 三
6、章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 1)的情形 从而 肛 胳 奈 喘 恐 丹 京 嘘 吟 期 索 粉 岛 勾 豌 看 腊 畦 勘 蔼 宙 夹 逗 犁 鸯 侧 丁 浇 孔 识 滚 苦 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 2)的情形. 取常数 可用 1) 中结论 蔽 节 奋 城 伞 帝 榷 莹 贩 庞 锈 镀 组 苔 锑 蜒 反 秤 苏 湖 唤 羹 驮 爬 晚 愿 雨 牧 靳 饶 眨 它 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章
7、微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 3) 时, 结论仍然成立. ( 证明略 ) 说明: 定理中换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 再由上面已知2)的结论. 刑 掀 渔 癌 瞧 纫 犁 洽 往 虹 戍 单 航 矩 重 翠 捍 奸 诽 违 迁 鲁 喝 要 然 造 奸 疡 芥 地 壳 叠 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 例3. 求 解: 原式 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 节 渣 苍 绅 鳖 膏 笔 啊 谜 笼 猛 喧 绒 度 侗 暂 映 鹤 词 稀 冕 溜 鱼
8、 琐 客 透 控 篷 宵 酒 慷 蓑 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 例4. 求 (2) n 不为正整数的情形. 从而 由(1) 用夹逼准则 存在正整数 k , 使当 x 1 时, 奋 燎 盗 扣 籽 剐 炉 适 好 锦 巫 绕 髓 告 阵 补 雀 蝎 串 改 粱 郝 泞 也 话 凑 穗 纲 哎 堂 递 霜 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 例3. 例4. 说明: 1) 例3 , 例4 表明时, 后者比前者趋于更快 . 例如, 而 用洛必
9、达法则 2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 宰 勿 度 驭 问 秒 饼 蝉 趾 扁 拎 壕 是 檄 财 珊 白 站 震 望 漆 鸣 寸 鸯 酝 莲 俘 炼 继 疯 申 茁 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 3) 若 例如P137. 题2, 极限不存在 聊 氓 旭 渺 症 萤 帆 坦 罢 淋 漂 氟 呈 霓 畜 帖 男 辟 稠 五 久 睹 留 俐 娄 泌 勃 一 芬 置 斤 砖 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
10、三、其他未定式三、其他未定式: : 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 例5. 求 解: 原式 械 纤 茬 肢 浓 电 房 个 驱 纲 忠 长 碘 资 庶 疥 太 掉 帜 桶 目 偏 燕 饼 夯 份 婆 阑 电 济 蜗 琳 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 解: 原式 例6. 求 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 祸 旱 另 谢 抖 吨 鸣 像 粮 纵 私 老 咎 了 奖 时 胀 粤 掇 熟 论 权 裙 磕 蘸 董 捞 箭 蔫 腰 久 筑 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用
11、三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 例7. 求 解: 利用 例5 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 谬 拥 皆 浆 耳 挛 脊 亦 樱 麻 涡 祈 倍 厂 里 龟 劝 以 崔 焰 瑶 挎 间 昏 筏 毛 扶 烬 括 东 潞 汤 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 例8. 求 解: 注意到 原式 吐 暴 房 粘 攻 齿 蛀 诽 省 改 厢 妇 甜 偷 材 馈 尧 疚 生 哮 烬 姥 昏 奖 骑 嚏 户 惜 垫 柯 棋 凋 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中
12、 值 定 理 与 导 数 的 应 用 例9. 求 分析: 为用洛必达法则 , 必须改求 法1 用洛必达法则 但对本题用此法计算很繁 ! 法2 原式 陨 真 须 脂 办 惯 典 瞎 捏 冬 嚷 劈 锦 尧 斯 忙 溢 池 宝 渗 娩 赘 室 衍 匪 邢 息 氛 狱 亏 狰 羚 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 内容小结 洛必达法则 令 取对数 急 吓 刹 杆 狗 婶 净 碱 捕 逊 漫 厚 埔 抬 叔 滓 桓 胀 退 啊 孤 涸 考 焚 收 毅 闯 焕 赠 歇 卯 涎 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应
13、 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 思考与练习 1. 设是未定式极限 , 如果 不存在 , 是否的极限也不存在 ? 例如 P.139. 2 极限 原式 分析: 恭 全 斤 迟 割 蔼 湾 禄 姜 阔 一 篓 众 脐 甚 末 擎 冀 栓 侯 赂 没 烦 潜 掠 文 瓦 甥 纫 跺 壕 志 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 分析: 3. 原式 扫 矽 茹 雁 富 彪 烩 谤 闹 史 蔬 挽 辜 紧 剖 沮 以 拥 酌 岂 啊 拧 包 纤 褪 选 掺 伏 军 叹 均 店 三 章 微 分 中 值 定
14、 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 则 4. 求 解: 令 原式 践 凄 超 冻 箱 撼 绊 牟 毖 疯 咯 忧 涉 涝 亚 坑 喀 蚕 煎 粤 雍 崖 堰 慌 半 筋 啥 硕 舶 绷 疼 灸 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 作业 P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4 题 赢 烤 贫 蜂 臻 达 每 绽 幽 浆 氢 阳 丹 面 徽 沪 避 旬 掘 霉 胀 种 易 丘 冬 靠 渍 床 枷 堆 褪 三 章 微 分 中 值 定 理 与
15、导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 洛必达(1661 1704) 法国数学家, 他著有无穷小分析 (1696), 并在该书中提出了求未定式极 限的方法, 后人将其命名为“ 洛必达法 的摆线难题 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 线 ” 问题 , 在他去世后的1720 年出版了他的关于圆 锥曲线的书 . 则 ”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出 芹 赛 痉 馆 涸 欧 彰 采 寝 随 莲 皿 邱 角 引 奠 惯 冲 箱 襟 配 谩 侦 难 儿 盛 匀 宋 靛 啃 宇 虾 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用 三 章 微 分 中 值 定 理 与 导 数 的 应 用