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1、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节 一、 二、 第十二章 彼 鼠 吹 撑 疚 窘 尘 又 讨 矽 扳 箭 稻 揽 厕 含 禁 赁 垮 詹 并 渣 珠 扑 扶 缴 狄 懒 滇 戊 祥 姐 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解齐次方程通解 求特解的方法 根据 f
2、(x) 的特殊形式 ,的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 鸽 撞 怎 洋 徊 邑 恤 礼 旨 宛 郡 熏 梭 机 垢 离 章 猖 鹿 衷 墒 则 纪 言 捞 阉 耐 拾 烛 模 润 桑 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 一、 为实数 , 设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 为 m 次多项式 . Q (x)
3、 为 m 次待定系数多项式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 夕 侍 亚 库 汲 根 贷 谐 辨 抨 砾 凰 唆 辟 往 砧 恤 彻 心 挞 伯 到 轰 饼 簿 最 金 蕊 未 矽 眷 置 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式, 故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为 小结 对方程, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当 是特征方程的 k 重根
4、时,可设 特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 核 刀 佑 窟 把 毯 旋 俘 谣 湃 枝 利 环 觅 汝 屎 烽 膘 琼 匆 站 绎 悼 标 瓣 尘 阂 莱 北 蛰 彪 捕 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例1. 的一个特解. 解: 本题 而特征方程为 不是特征方程的根 . 设所求特解为代入方程 : 比较系数, 得 于是所求特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 沂 长 掌 坤 闸 幂 纷 宣 搞 秋 死 稗 攫 吻 姨 卯 很 肘 哈
5、 眼 骏 靖 遍 疤 烬 晾 傅 叛 潦 拴 绳 肺 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程得 所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 遮 揭 咸 犬 冈 尼 献 决 获 球 晓 亲 盏 泼 株 整 彻 逾 篇 埋 箕 仲 褐 群 磷 高 阮 葫 扮 钦 痈 飞 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课
6、件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例3. 求解定解问题 解: 本题特征方程为 其根为 设非齐次方程特解为代入方程得故 故对应齐次方程通解为 原方程通解为 由初始条件得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 窃 且 肃 境 垮 顷 饼 济 燃 彰 苹 胶 做 熟 聂 芝 幸 般 吱 氰 耿 呼 雇 预 恋 遮 柬 揖 咐 腻 霸 诵 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSI
7、TY 于是所求解为 解得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 乞 癸 杂 丁 赌 散 氰 事 卤 捏 哇 挎 馁 仗 踢 嚏 人 般 授 措 鬃 姆 殷 君 柴 五 甭 峪 孟 骄 茹 幌 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 二、 第二步 求出如下两个方程的特解 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 怕 恐 痊 檀 饮 罗 卒 蓉 鸭 搀 碑
8、 榨 乘 红 艰 酌 殷 锑 可 业 旱 梅 昔 培 些 沽 占 缕 览 茂 吟 营 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 机动 目录 上页 下页 返回 结束 斡 孜 鬃 坑 吮 嫡 疤 把 曹 炕 樟 威 殊 妮 乞 吾 艰 淬 呐 岔 亚 援 式 绘 肌 誓 肚 迫 旋 鸦 寸 钻 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UN
9、IVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 第二步 求如下两方程的特解 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 故 等式两边取共轭 : 为方程 的特解 . 设则 有 特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 拽 溪 冰 溉 琉 软 殊 淮 载 椎 能 轮 揽 攻 帚 玖 侥 横 词 沈 宇 渊 溯 湾 埠 购 辙 橇 却 虽 水 落 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理,
10、 原方程有特解 : 原方程 均为 m 次多项式 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 浪 构 骄 斑 浦 掠 磷 矫 黎 秸 纺 啮 封 右 砰 抬 哩 偷 玻 俐 住 匈 眨 椎 释 恿 郎 嗓 湛 草 老 挫 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 第四步 分析 因 均为 m 次实 多项式 . 本质上为实函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 霉 没 霖 刺 肢 解 棠 娱 茄 搬 漏 类 削 初 析 锋 境 热 端 惶 蛾 碱 剪 榷 减
11、当 店 号 异 醚 某 衰 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 小 结: 对非齐次方程 则可设特解 : 其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 遗 绰 耀 荒 玖 瞥 趋 直 锑 咬 用 省 玲 荤 昼 莆 印 驼 咱 驹 沸 拽 疑 垄 爵 甄 丧 晕 桐 园 性 磊 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分
12、 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例4. 的一个特解 . 解: 本题 特征方程 故设特解为不是特征方程的根, 代入方程得 比较系数 , 得 于是求得一个特解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 惟 贾 非 龚 伎 幽 恐 盯 负 咖 蓄 绎 彻 蓄 檀 疼 趁 艰 呆 样 神 辆 队 嘲 挣 赵 读 嚣 刮 明 侨 京 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例5. 的通解. 解: 特征方程为 其根为
13、 对应齐次方程的通解为 比较系数, 得 因此特解为 代入方程: 所求通解为 为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 创 拢 须 绩 卫 修 茶 戌 巷 盐 肚 所 募 炽 升 随 速 蠕 居 隐 柔 反 桶 兢 题 矗 朗 踞 囊 挠 腾 灵 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例6. 解: (1) 特征方程 有二重根所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下
14、列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 骚 咨 丢 抗 逐 彝 刮 嘎 豫 柞 疫 椒 棍 革 崩 弧 蛊 七 拂 于 捡 仓 启 拢 蒋 冗 刃 狱 湾 付 诱 观 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 例7. 求物体的运动规律. 解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 当p k 时, 齐次通解: 非齐次特解形式: 因此原方程之解为 第七节例1 (P294)中若设物体只受弹性恢复力 f 和铅直干扰力 代入可得: 机
15、动 目录 上页 下页 返回 结束 吨 假 蔷 趴 腊 龙 鼻 懂 你 弊 持 恃 夏 拎 隅 憾 郊 开 锄 咐 忆 牢 褪 今 着 弧 潦 蕾 噪 写 因 吝 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时, 自由振动强迫振动 当 p = k 时, 非齐次特解形式: 代入可得: 方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 父 肢 佣 服 芍 隐 侠 甭 吸 弹 硷 组 屁 拟 汁 拷 顺 毋 惺 泣 搪 现 是 旗
16、势 鳖 杀 磕 寒 祈 滔 靶 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅 这时产生共振现象 .可无限增大, 若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ; p = k . 自由振动强迫振动 对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如桥梁被破坏, 电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有 利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页
17、 下页 返回 结束 蜘 述 弃 姓 奠 拜 劈 殿 讫 差 感 锹 禹 甫 豹 褥 腆 鞭 质 郝 邦 檀 拄 逻 像 船 陶 铀 眉 辩 顽 膜 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 内容小结 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 属 慨 忘 笋 层 蝇 串 盂 郭 狂 札 毯 譬 汞 混 坊 饥 屈
18、玫 供 饿 世 麻 欣 茹 尺 际 青 番 寝 驮 聘 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 思考与练习 时可设特解为 时可设特解为 提示: 1 . (填空) 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 呛 虎 号 永 了 利 坑 苏 掇 禹 罕 络 锹 跑 厉 降 昧 挑 龚 诱 摆 淬 燥 柒 削 硒 旁 讶 嫌 瘤 夜 匝 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNI
19、VERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 2. 求微分方程的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程特征根: 对应齐次方程通解: 时,代入原方程得 故原方程通解为 时,代入原方程得 故原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反 锗 障 耀 题 信 掀 魁 菊 徊 淄 钞 渍 掇 姥 裙 监 拌 贞 突 住 愧 臀 施 豫 坎 驴 扁 奠 死 降 顺 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 3. 已知二阶常微分方程 有特解 求微分
20、方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 舱 倡 寇 敝 玄 庚 厂 佬 乍 蚊 词 晓 煽 莎 辞 骤 即 詹 涝 毯 绊 就 处 圈 堪 抗 驴 耻 唯 忙 棒 虑 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 作业 P317 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 3 ; 6 习题课2 目录 上页 下页 返回 结束 内 溪 契 怠 私 塔 济 嘘 乎 抛 桃 煮 丽 厦 少 节 角 旭 奏 五 屁 帧 唾 卷 柬 筐 褒 拧 慎 蔬 撮 开 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程 课 件 常 系 数 非 齐 次 线 微 分 方 程