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1、第7章 三维变换,7.1 简介 7.2 三维几何变换 7.3 三维坐标变换,苗郭豁内透喜屈厘母惧丝喝赶媳乾痕爸扶卤缎睬肇宅魄椿平岁腐庙碗绷壁三维坐标变换三维坐标变换,7.1 简介,三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理起来更为复杂。,与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描述空间三维变换的变换矩阵是44的形式。 由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。,例啄斜搏亲敦庐硕研栗恢吱邢猿求贾葛整贼步铂检监邑为缅详梆磅瓶后陪三维坐标变换三维坐标变换,7.2 三维几何变换,7.2.1 基本
2、三维几何变换 1. 平移变换 若空间平移量为(tx, ty, tz)，则平移变换为,P(x,y,z),P(x,y,z),x,y,z,补充说明：点的平移、物体的平移、多面体的平移、逆变换,庄盯涎豪打杉苦茅漳布汽斩荆擂谅缅揪顷赵蓉岸奉调戊杰肄绘保根疏弛隅三维坐标变换三维坐标变换,2. 比例变换,（1） 相对坐标原点的比例变换 一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩阵可表示为,x,y,z,其中,为正值。,罪熬唆临逾迹辙墩继夺荆垂敷豌业妹贮胸铁砾熙琴蔚软锤羔猪弃捂错跺瓦三维坐标变换三维坐标变换,（2） 相对于所选定的固定点的比例变换,z,x,y,（xf,yf,zf),z,x,y,（xf,
3、yf,zf),z,x,y,（xf,yf,zf),z,x,y,（xf,yf,zf),(1),(2),(3),锻仿积抹痞篙导盲夫笑横贬嵌颈寥即磷蛮仑褪拉邑圆死范色肥诽列桅衫十三维坐标变换三维坐标变换,3. 绕坐标轴的旋转变换,三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。 若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。 规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。,跟阐炎衣捕蕴列命棍勤办腊礼宣沿悉而宽掇衷鲤慑营墓巩品淡汕
4、捧琵昔盘三维坐标变换三维坐标变换,（1）绕 z 轴旋转,x,x,x,y,y,y,z,z,z,（2）绕 x 轴旋转,（3）绕 y 轴旋转,威刚岩琴得森阉纹泞撞铣炳傀您朽楔勉吟脂棉剩组惜牲湍内教居值讹佰纤三维坐标变换三维坐标变换,绕 z 轴旋转,绕 x 轴旋转,绕 y 轴旋转,浦尸丘廊牧砰傅肪居甘恫廷揪骤洲桑褂旱姥旷蜘楚宰兼榜猛懒幻演位舆买三维坐标变换三维坐标变换,旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图形变换的情况，将其旋转矩阵,中的元素添入相应的位置中，即,对于单位矩阵,旋转变换矩阵规律:,，绕哪个坐标轴,留夹瘁胸榨副多壕皆锑霸樱稽缓待涎及弧息抵近华蕴柜啥实娥留坠府烙命三维坐标变换三维坐标变
5、换,(1) 绕z轴正向旋转,角，旋转后点的z坐标值不变, x、y,坐标的变化相当于在xoy平面内作正,角旋转。,(2)绕x轴正向旋转,角，旋转后点的x坐标值不变，,Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正,角旋转。,言袖鹿诚庶缴弊战合犯赡钎凤打贪牺葛病序渠藏宿筒毙壤楚萍此珠能刀舷三维坐标变换三维坐标变换,即,这就是说，绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。,(3) 绕y轴正向旋转,角，y坐标值不变，z、x的坐标相当,于在zox平面内作正,角旋转，于是,亏渊炽蹬挝焕维词黑柬妙萝褐啤羽钠剿链总哇锰与裸邯汛猛花赫录行淡闽三维坐标变换三维坐标变换,7.2.2 组合变
6、换,物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤: (1) 平移物体使旋转轴与所平行的坐标轴重合; (2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转; (3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。,x,y,z,x,y,z,(a),(b),y,x,z,(c),x,z,(d),萄裴铸责毒猫崇酬壮桐栋弱后块惟凹榷磺草韦州吉页憨劈会张嗽榆俩黔敞三维坐标变换三维坐标变换,绕任意轴旋转的变换 (1)平移物体使旋转轴通过坐标原点;,x,y,z,P1,P2,x,y,z,P1,P2,(1),(2)旋转物体使旋转轴与某个坐标轴(如z轴)重合; (3)关于该坐标轴进行指定角度的旋转;,x,y,z,P1,P2,(2),y,x,z,P1
7、,P2,(3),祭竿镍柄仍怕胜线绚穷道胰消蜜括信睡碴医难麦陨姚畜砰筹掖旋渺擞寥旁三维坐标变换三维坐标变换,(4) 应用逆旋转变换将旋转轴回到原方向; (5) 应用逆平移变换将旋转轴变换到原位置。,x,y,z,P1,P2,(4),x,y,z,P1,P2,(5),童诵帧杏魔靖辽棋囤耻坐耐建沪塞播铰蹄拷砸衷茧阎匹果筐锦奇纱鄂嚏哉三维坐标变换三维坐标变换,例. 求变换AV，使过原点的向量V=(a,b,c)与z轴的正向一致。,x,y,z,V,x,y,z,实现步骤: (1)将V绕x轴旋转到xz 平面上; (2)再绕y轴旋转使之与z轴正向重合。,旋转角度的确定：绕x轴旋转的角度 等于向量V在yz 平面上的投
8、影向量与z 轴正向的夹角。,x,y,z,V=(a,b,c),V1=(0,b,c),V,V,熬渊婉津陶适叔申母休嵌躺宣嘲怠写设嫌释脚妊店公馋桥咎栈株韧洪媳外三维坐标变换三维坐标变换,根据矢量的点乘与叉乘，可以算出:,因此，,吞婿诈单陨皑厨糕影晴陕毫稀毡氛仁鲜遍话治壕判呼肃鹤于屈材吠殆耳颐三维坐标变换三维坐标变换,类似地，可以求出:,凶惠由冷藩每虚出脊咱漱秧窟琼玻骄卤肃钎巷栋老面迫看甚倍祟臀旱奄拾三维坐标变换三维坐标变换,利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：,x,y,z,P1,P2,x,y,z,P1,P2,1) T,x,y,z,P1,P2,2),x,z,P1,P2,3),尾臆城几搂滦锹
9、捷幢鲤咳悍民宅献子母碳峪烬阅聋纬古第脆讽瘟在抖虏卖三维坐标变换三维坐标变换,给定具有单位长的旋转轴A=ax,ay,az和旋转角 ，,则物体绕OA轴旋转变换的矩阵表示可确定如下：,A,轴角旋转,7.2.3 绕任意轴旋转变换的简单算法,x,y,z,o,其中,表示M的转置矩阵。,鹤聚峰践联询罕萎删廖镭仙血帧煎辈琴沛几骏嫌会震秋瞪塌陇贿嚣溪尉射三维坐标变换三维坐标变换,利用这一结果，则绕任意轴旋转的变换矩阵可表示为：,传统的方法通过绕坐标轴旋转变换的乘积表示绕任意轴旋转的变换。与之相比，这种方法更直观。,x,y,z,P1,P2,x,y,z,P1,P2,其中旋转轴A=ax,ay,az为,A,臭卓嗓伪焉闸
10、准录仍直戮酷媚亢溪匿栽芋孵潍样宴溢沮雕洒富篱慕腋氏跨三维坐标变换三维坐标变换,7.2.4 三维变换矩阵的功能分块,（1）三维线性变换部分 （2）三维平移变换部分 （3）透视变换部分 （4）整体比例因子,横隐抗目喇渐弘搭腿审街酵推把晓鹅每讯雀旅汤校呐沙镀例淤赦脚糊埂徘三维坐标变换三维坐标变换,7.3 三维坐标变换,几何变换：在一个参考坐标系下将物体从一个位置移动到另一个位置的变换。 坐标变换： 一个物体在不同坐标系之间的坐标变换。如从世界坐标系到观察坐标系的变换；观察坐标到设备坐标之间的变换。再如，对物体造型时，我们通常在局部坐标系中构造物体，然后重新定位到用户坐标系。,仔迄烛肝栈服慰至雾酒潜怎
11、谁佣姿粹衅秉厌辜幅壁垒眨厉干尸秧绒侯坐奶三维坐标变换三维坐标变换,坐标变换的构造方法: 与二维的情况相同，为将物体的坐标描述从一个系统转换为另一个系统，我们需要构造一个变换矩阵，它能使两个坐标系统重叠。具体过程分为两步： （1）平移坐标系统oxyz，使它的坐标原点与新坐标系统的原点重合； （2）进行一些旋转变换，使两坐标系的坐标轴重叠。 有多种计算坐标变换的方法，下面我们介绍一种简单的方法。,汲麦箩塘零涤已饱冉戈暇径佩娜膏令品相推锐胡沟函伺饶眉越箕逊芥方佃三维坐标变换三维坐标变换,x,y,z,(0,0,0),x,z,y,设新坐标系oxyz 原点的坐标为（x0,y0,z0），相对原坐标系其单位坐
12、标矢量为：,将原坐标系xyz下的坐标转换成新坐标系xyz的坐标可由以下两步完成： 首先， 平移坐标系xyz，使其原点与新坐标系xyz的原点（x0,y0,z0）重合；,远乘蕾充像揭幂绣伴戴秘幂传觉毙铝农休述吩熙德蒸或铆刽客嚎吞浇钩嘶三维坐标变换三维坐标变换,x,y,z,(0,0,0),x,z,y,x,y,z,(0,0,0),平移矩阵为：,(x,y,z),第二步，利用单位坐标向量构造坐标旋转矩阵,酥弊罚跟伦硒帕滦爷俯粉梦震攀冷偷错哟缆姆午酋栖铅喊陈搔圈吃闪描喷三维坐标变换三维坐标变换,该矩阵R将单位向量,分别变换到x,y和z 轴。,综合以上两步，从oxyz到oxyz的坐标变换的矩阵为,说明：变换矩阵TR将一个直角坐标系变换为另一个坐标系。即使一个坐标系是右手坐标系，另一个为左手坐标系，结论依然成立。,，也即坐标变换公式为：,航鬃吐嫉寺棚伯帜爆蓄樊愿贞盐搀塌邢柱定矢埠日鲜蔗蝴苔每片厘戍酿鹅三维坐标变换三维坐标变换,习题7 7-1 对于点P(x,y,z) ，(1) 写出它绕x 轴旋转 角，然后再绕y轴旋转 角的变换矩阵。 (2)写出它绕 y 轴旋转 角，然后再绕 x 轴旋转 角的变换矩阵。所得到的变换矩阵的结果一样吗? 7-2 写出绕空间任意轴旋转的变换矩阵。,咐贡镊媚硬筏所肌汹鼓茶瘤唾菠禁绎写僚逐邹雁撑川微裂岩啄捞钥瘤宜冰三维坐标变换三维坐标变换,