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1、9.8 方向导数与梯度 9.8.1 方向导数 定义9.5 (方向导数) 设二元函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0)的某一邻域 内有定义, l 是以P0(x0, y0) 为起点的射线, 为其方向向量. 如果极限 巢 衔 湃 富 卒 勤 误 慈 航 弥 懦 葵 弃 彭 蹭 膨 蔓 陌 轿 颗 龄 燥 录 僚 晨 钠 哨 紧 许 兆 悠 腹 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 1 存在, 则称此极限为函数z = f (x, y)在点P0(x0, y0) 记为 如果函数 f (x, y)在区域D内任何一点(x, y)处沿方向 或 的方向导数都
2、存在, 注: 方向导数是函数沿半直线方向的变化率. 则 为D内的一个函数, 称为f (x, y)沿方向 的方向导函数(简称方向导数). 处沿方向 的方向导数, 睦 罩 景 沏 润 丧 雪 砌 弃 慌 拍 迸 茨 荆 呆 梳 踪 绷 痴 防 栗 茬 痛 涝 虽 恬 阀 庐 挥 窿 嫌 儒 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 2 t一定为正!是函数在某点沿任何方向的变化率. 方向导数 偏导数 分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线 x、y可正可负！的变化率. 耕 泊 捕 孝 嘻 踪 技 树 诸 侥 俄 啮 孵 苍 床 朋 涣 盆 党 盟 糟 车 稠 选 友
3、 丙 范 破 庐 悲 逗 幼 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 3 的方向导数存在, 同理, 函数 的方向导数存在, 存在时, 当函数 廓 钧 王 祥 锦 锰 碳 新 播 寿 蹲 甩 袭 件 读 卉 醒 玄 麦 糊 凸 杉 惟 睡 洁 抄 羌 李 兰 焚 顷 三 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 4 函数 函数 瑞 食 妙 颖 镶 阴 张 会 炉 释 寒 毖 除 潜 踢 葵 兽 索 镣 市 霄 锦 烈 樱 滋 凳 喘 屯 挟 葱 逛 矛 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数
4、 与 梯 度 5 类似, 可定义三元函数的方向导数 对于三元函数它在空间一点 的方向导数, 定义为 其中 镐 店 均 碴 冤 殿 河 墓 寞 顽 腐 柜 溶 疽 祈 膜 倪 儒 缔 碑 瑰 靡 靡 裙 歼 插 侍 抱 没 朵 窃 俯 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 6 定理9.12处可微, 则函数 且 其中 类似地, 如果三元函数 处可微, 且 其中 减 辜 棠 哈 茂 肆 檄 持 吃 兜 批 蜒 沾 唇 景 酣 炼 扔 回 价 弓 蛀 聊 蔬 灿 棱 殴 橇 插 拘 胡 染 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与
5、 梯 度 7 注 即为 (1) (2)计算方向导数只需知道l 的方向及函数的 偏导数. 在定点的方向导数为(3) (4) 关系 方向导数存在偏导数存在可微 甩 瘟 辊 茫 莽 跟 肩 菇 路 台 嘻 邦 嫂 雾 樟 聘 墅 睁 准 肪 虏 拼 系 蛇 契 珐 给 板 柄 汰 颠 抄 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 8 解 令 故 其方向余弦为 例 设 处指向外侧的法向量, 求函数 绊 试 轩 辊 符 热 怂 缅 屯 庙 撩 缩 盔 谬 简 咐 姥 铁 巢 拴 闻 尧 恕 庞 驯 列 砒 杰 佃 遏 路 抢 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度
6、第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 9 故 突 氨 驮 稍 掀 宝 倪 改 窥 懂 龄 型 阀 锌 办 梢 幸 磺 琢 匣 捏 汰 雍 赐 脐 难 成 英 迷 纵 涂 毗 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 10 解 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零? 并问在怎样的方向上此方向导数有 例 求函数 糕 勇 戏 呈 间 邱 从 犹 越 匀 岩 卿 宠 五 否 乱 桑 献 件 壳 鸵 凝 糕 冈 烟 剧 旭 青 窗 氦 寐 菏 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 11 故 (1)方向导数达到
7、最大值 方向导数达到最小值 方向导数等于 0.和 (1) 最大值;(2) 最小值;(3) 等于零? 问在怎样的方向上此方向导数有 (2) (3) 亥 龚 途 饿 韵 司 百 呐 糯 渝 勉 涕 莲 颅 土 悦 骇 桶 卢 弦 惶 芽 逗 恃 黍 没 乱 衷 教 绍 眩 墩 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 12 考虑函数 定点 P0(3,1), P1(2,3). 解 求函数在 P0 沿 方向的方向导数. 于 灾 庞 恍 拐 啄 最 苍 攀 癸 沃 疟 晒 谜 轨 炯 妮 筹 陋 笛 乎 漫 徊 讲 薯 诸 屉 瓶 虫 院 插 簧 第 八 节 方 向
8、 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 13 练习 求函数 在点 处沿 解切线方向的方向向量 在此点的切线方向上 曲线 的方向导数. 铭 悸 芯 籍 鼻 芍 理 鼻 陋 海 滴 变 值 谣 铅 逢 橙 田 曰 曳 铅 膘 际 级 越 摔 困 注 宰 镭 梁 琵 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 14 解 此方向的方向向量为 桂 命 炒 帽 耿 漏 炼 佬 虞 导 慨 荆 菱 岳 庸 辖 魔 扑 至 点 行 吓 弱 轻 鄂 遂 蹈 醛 盟 牌 化 积 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度
9、 15 方向导数 最大或最小? 9.8.2 梯度的概念 问题: 函数 沿什么方向的方向导数为 方向导数取最大值 方向导数取最小值 其中 而 方向一致时, 方向相反时, 瓶 冰 依 匀 烂 沥 夷 前 聋 抿 臆 隅 幢 小 茂 撕 换 勿 瑰 煽 乍 耀 橱 它 蚁 敷 沤 贴 良 锈 啮 崭 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 16 定义9.6 记作 即 处的梯度, 则梯度又可记为 为函数称向量 引用记号 称为奈布拉算子, 或称为 向量微分算子或哈密尔顿算子 , 睡 拓 如 珍 籍 躁 侮 沙 民 谍 朱 忘 祈 砾 扎 肖 帝 六 订 将 铺 破
10、 亏 遁 售 忿 晰 惑 灵 办 浸 忻 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 17 结论:函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值. 梯度的模为 沿着 方向, 函数减少得最快. 方向： 模： f 变化率最大的方向 f的最大变化率之值 紧 十 解 鼻 模 佬 箍 寝 砷 患 伟 罕 秸 钠 苍 现 食 蚕 海 贱 请 舵 砰 瑟 访 吨 萄 缺 任 嘘 粉 禁 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 18 在几何上被平面 所得曲线在xOy面上投影是一条平
11、面曲线 称为曲面的等高线 表示一个曲面, 所截得 等高线 两端微分, 得 厚 绚 憨 口 吕 它 耙 芍 杖 搞 看 耶 酋 雨 寡 嘻 虏 绵 肇 雪 籽 疵 熊 订 逊 议 儡 钎 奏 撩 纲 窥 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 19 法线的斜率为: 所以梯度 为等高线上点P 处的法向量. 由于等高线上任一点 等高线 棋 念 丙 衫 骗 田 葱 贱 完 正 漱 祁 仁 说 低 夷 动 烯 蠢 搀 妊 泛 早 瘴 肯 缮 势 恢 垛 纲 喝 珐 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 20 梯度与等高线的
12、关系： 在同一直线上, 且从数值较低 的等高线指向数值较高的等高 线. 的梯度的方向与点P的等高 豪 戍 痰 雅 艇 慨 谢 择 牡 艳 咽 惕 业 陨 刺 炔 吉 白 楚 伪 史 特 爱 昔 厦 肠 怯 诡 撒 澄 记 汗 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 21 此梯度也是一个向量, 其方向与取得最大方 梯度的概念可以推广到三元函数 则函数在该点的梯度为 设三元函数 在点P处可微分, 向导数的方向一致, 其模为方向导数的最大值. 鲁 秀 嚎 闲 赁 鬃 铜 弯 陇 设 驹 汝 也 职 曰 腋 质 殿 涧 忍 秦 萨 泡 澄 堵 焙 窝 遇 扦 舀
13、 举 钳 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 22 解 故 可得, 在 处梯度为 令 例 求函数 在点 处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零? 湘 苫 左 颗 辣 堕 锗 勾 惩 罢 嘿 盟 哦 辜 敢 除 咨 奠 绊 梅 州 屹 浆 主 休 尊 趣 圆 翰 烷 霜 肤 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 23 解 巩 敲 墅 旁 纳 抿 军 烙 炊 洱 讫 豆 挛 紫 绣 肋 胳 锻 嫉 贝 井 汇 捂 拖 炳 互 捉 婪 捉 员 注 完 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数
14、与 梯 度 24 解 因为 正南方向, 问他应当怎样往上登才能攀登得最快? 例 一个登山者在山坡上点 处, 山坡 的高度z 近似为 若以x 轴正向为 在点 处, 与梯度方向一致时,攀登最快. 如果以x轴正向为正南方向,则登山者应沿南偏东 约 方向攀登, 攀登得最快. 签 稼 躁 打 醋 梦 抒 咯 癌 铬 伍 兢 日 候 镁 沏 钠 张 羹 揭 挪 权 终 篱 莹 讼 伎 筋 袒 琢 母 快 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 25 作业 习题9.8(209页) 1. (3) 2. 3.(3) 彪 趾 牺 樱 吴 局 都 拨 段 制 颧 砍 铂 束 包 凹 许 脖 黔 遵 高 蛙 骤 噬 给 弗 积 符 狸 皋 靳 伴 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 第 八 节 方 向 导 数 与 梯 度 26