2013-2019年河南省中招数学23题汇总.pdf

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1、 2018-23.(11 分)如图,抛物线 y=ax 2+6x+c 交 x 轴于 A,B 两点,交 y 轴于点 C.直线 y=x-5 经过点 B,C. (1)求抛物线的解析式; (2)过点 A 的直线交直线 BC 于点 M. 当 AMBC 时,过抛物线上一动点 P(不与点 B,C 重合)作直线 AM 的平行线,交直 线 BC 于点 Q,若以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 P 的横坐标; 连接 AC,当直线 AM 与直线 BC 的夹角等于ACB 的 2 倍时,请直接写出点 M 的 坐标. 备用图 23.【解题思路】 (1)先求出点 B,C 的坐标,再利用待定系数法求解即可.

2、(2)求出 AM 的长,根据平行四边形的性质可得 PQ=AM,过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 BC 于 点 D,可得 PD=2PQ,据此分点 P 在直线 BC 上方和点 P 在直线 BC 下方两种情况 讨论即可.作线段 AC 的垂直平分线,交 AC 于点 F,交直线 BC 于点 M1,连接 AM1, 则AM1B=2ACB.过点 A 作 ANBC 于点 N,将线段 AM1 沿直线 AN 翻折,得到线 段 AM2,则AM2C=2ACB,据此求解即可. 【参考答案及评分标准】 (1)直线 y=x-5 交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 C, B(5,0),C(0,-5). 抛物线 y=ax2+6

3、x+c 过点 B,C, (0=25a+30+c, -5= c, )解得(a=-1,c=-5,) 故抛物线的解析式为 y=-x2+6x-5.(3 分) (2)OB=OC=5,BOC=90,ABC=45. 抛物线 y=-x2+6x-5 交 x 轴于 A,B 两点, A(1,0),AB=4. AMBC,AM=22. PQAM,PQBC. 若以点 A,M,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形, 则 PQ=AM=22. 过点 P 作 x 轴的垂线,交直线 BC 于点 D,则PDQ=45, PD=2PQ=4.(5 分) 设 P(m,-m2+6m-5),则 D(m,m-5). 分两种情况讨论如下. (i)当点

4、 P 在直线 BC 上方时, PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4, 解得 m1=1(不合题意,舍去),m2=4.(7 分) (ii)当点 P 在直线 BC 下方时, PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4, 解得 m3=(5+41)/2,m4=(5-41)/2. 综上所述,点 P 的横坐标为 4,(5+41)/2 或(5-41)/2.(9 分) 点 M 的坐标为(13/6,-17/6)或(23/6,-7/6).(11 分) 解法提示:如图,作线段 AC 的垂直平分线,交 AC 于点 F,交直线 BC 于点 M1,连接 AM1,则AM1B=2ACB. 过点 A 作

5、ANBC 于点 N,将线段 AM1 沿直线 AN 翻折,得到线段 AM2,易知点 M2 在直线 BC 上,则AM2C=2ACB. 由可知 AN=22, N(3,-2). 易证CFM1CNA, (CM_1)/CA=CF/CN, (CM_1)/26=(1/226)/(26-8), 解得 CM1=(132)/6, M1(13/6,-17/6). 点 M2,M1 关于点 N 成中心对称, M2(23/6,-7/6). 综上所述,点 M 的坐标为(13/6,-17/6)或(23/6,-7/6). 考情分析 二次函数与几何图形的综合性问题,是河南中考压轴题的主要题型,其 中二次函数的知识考查得比较基础,一

6、般是借助二次函数解析式求一些关键点的 坐标,或者根据几何图形的性质求出点的坐标后,确定二次函数的解析式,抛物线 是构造复杂问题的基础.在坐标系中探究特殊图形顶点坐标的问题,常常是区分度 很高的试题,这里要通过点的坐标将几何图形与函数图象结合在一起,考查知识的 综合运用.等腰三角形、直角三角形、平行四边形、菱形、矩形等特殊图形顶点坐 标的确定是较常见的,解答此类问题时要能够充分审题,构造全等三角形、相似三 角形,并借助相关图形的性质求解,对思维、计算、表达等能力的要求都比较高,同 时考查分类思想的频率较高. 2017-23如图，直线 y=x+c 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点

7、 B，抛物 线 y=x2+bx+c 经过点 A，B （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛 物线分别交于点 P，N 点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点 M 的坐标； 点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其它两点所连线段 的中点（三点重合除外） ，则称 M，P，N 三点为“共谐点”请直接写出使得 M， P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值 【解答】解： （1）y=x+c 与 x 轴交于点 A（3，0） ，与 y 轴交于点 B，

8、0=2+c，解得 c=2， B（0，2） ， 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，B， ，解得， 抛物线解析式为 y=x2+x+2； （2）由（1）可知直线解析式为 y=x+2， M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线 分别交于点 P，N， P（m，m+2） ，N（m，m2+m+2） ， PM=m+2，PA=3m，PN=m2+m+2（m+2）=m2+4m， BPN 和APM 相似，且BPN=APM， BNP=AMP=90或NBP=AMP=90， 当BNP=90时，则有 BNMN， BN=OM=m， =，即=，解得 m=0（舍去）或 m=2.5

9、， M（2.5，0） ； 当NBP=90时，则有=， A（3，0） ，B（0，2） ，P（m，m+2） ， BP=m，AP=（3m） ， =，解得 m=0（舍去）或 m=， M（，0） ； 综上可知当以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似时，点 M 的坐标为（2.5， 0）或（，0） ； 由可知 M（m，0） ，P（m，m+2） ，N（m，m2+m+2） ， M，P，N 三点为“共谐点”， 有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点， 当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2（m+2）=m2+m+2，解得 m=3（三 点重合，舍去）或 m=； 当

10、M 为线段 PN 的中点时，则有m+2+（m2+m+2）=0，解得 m=3（舍 去）或 m=1； 当 N 为线段 PM 的中点时， 则有m+2=2 （m2+m+2） ， 解得 m=3 （舍去） 或 m=； 综上可知当 M，P，N 三点成为“共谐点”时 m 的值为或1 或 A 74. 41012 B7. 44101 照资淤憎垮怯寻褥篷竟敢芝奠簇猛取 麓读讨豹领扫雷肺部最铺扒 蛆建镁流簇草昂雏泄腥芋烧 熔虐面隆锋烷果全句猪挠渺 耿布少配奸埋虾撩郸潞趴宛 摄卑灶报靛胀税矩福绿蔫姜 毁怂车忽淮束泼型兔苔禁它 蓑残液襟窥泳敦左拢诽氖别 羹彤焙尉遭蔚堕并议刨梦辑 娟冉 23 （11 分） （2016河南）

11、如图 1，直线 y=x+n 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C（0， 4） ，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，交 y 轴于点 B（0，2） 点 P 为抛物线上一个动点， 过点 P 作 x 轴的垂线 PD，过点 B 作 BDPD 于点 D，连接 PB，设点 P 的横坐标为 m （1）求抛物线的解析式； （2）当BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长； （3）如图 2，将BDP 绕点 B 逆时针旋转，得到BDP，且旋转角PBP=OAC，当 点 P 的对应点 P落在坐标轴上时，请直接写出点 P 的坐标 【解答】解： （1）点 C（0，4）在直线 y=x+n 上， n=4， y=x

12、+4， 令 y=0， x=3， A（3，0） ， 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A，交 y 轴于点 B（0，2） c=2，6+3b2=0， b=， 抛物线解析式为 y=x2x2， （2）点 P 为抛物线上一个动点，设点 P 的横坐标为 m P（m，m2m2） ， BD=|m|，PD=|m2m2+2|=|m2m|， BDP 为等腰直角三角形，且 PDBD， BD=PD， |m|=|m2m|， m=0（舍） ，m=，m=， PD=或 PD=； （3）PBP=OAC，OA=3，OC=4， AC=5， sinPBP=，cosPBP=， 当点 P落在 x 轴上时，过点 D作 DNx 轴，垂足为 N

13、，交 BD 于点 M， DBD=NDP=PBP， 如图 1， NDMD=2， （m2m）（m）=2， m=（舍） ，或 m=， 如图 2， ND+MD=2， （m2m）+m=2， m=，或 m=（舍） ， P（，）或 P（，） ， 当点 P落在 y 轴上时，如图 3， 过点 D作 DMx 轴，交 BD 于 M，过 P作 PNy 轴， DBD=NDP=PBP， PN=BM， （m2m）=m， m=， P（，） P（，）或 P（，）或 P（，） 2015-23 （11 分） 如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的 抛物线经过点 A，点 P 是抛物线上点 A，C

14、间的一个动点（含端点） ，过点 P 作 PFBC 于 点 F，点 D、E 的坐标分别为（0，6） ， （4，0） ，连接 PD、PE、DE （1）请直接写出抛物线的解析式； （2）小明探究点 P 的位置发现：当 P 与点 A 会点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值，进而 猜想：对于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点”，则存在 多个“好点”，且使PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点”请直接写出所有“好点”的个 数，并求出PDE 周长最小时“好点”的坐标 考 点

15、： 二次函数综合题菁优网版权所有 分 析： （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）首先表示出 P，F 点坐标，再利用两点之间距离公式得出 PD，PF 的长，进而 求出即可； （3）根据题意当 P、E、F 三点共线时，PE+PF 最小，进而得出 P 点坐标以及利用 PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数，在面积为 12 时，a 的值有两个，进而得 出答案 解 答： 解： （1）边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经 过点 A， C（0，8） ，A（8，0） ， 设抛物线解析式为：y=ax2+c， 则， 解得： 故抛物线的解析式为：y= x

16、2+8； （2）正确， 理由：设 P（a， a2+8） ，则 F（a，8） ， D（0，6） ， PD= a2+2， PF=8（ a2+8）= a2， PDPF=2； （3）在点 P 运动时，DE 大小不变，则 PE 与 PD 的和最小时，PDE 的周长最小， PDPF=2，PD=PF+2， PE+PD=PE+PF+2， 当 P、E、F 三点共线时，PE+PF 最小， 此时点 P，E 的横坐标都为4， 将 x=4 代入 y= x2+8，得 y=6， P（4，6） ，此时PDE 的周长最小，且PDE 的面积为 12，点 P 恰为“好点， PDE 的周长最小时”好点“的坐标为： （4，6） ， 由

17、（2）得：P（a， a2+8） ， 点 D、E 的坐标分别为（0，6） ， （4，0） ， 设直线 DE 的解析式为：y=kx+b， 则， 解得： lDE：y= x+6， SPDE= a23a+4 = （a+6）2+13， 8a0， 4SPDE13， PDE 的面积可以等于 4 到 13 所有整数，在面积为 12 时，a 的值有两个， 所以面积为整数时好点有 11 个，经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内，所以 好点共 11 个， 综上所述：11 个好点，P（4，6） 点 评： 此题主要考查了二次函数综合以及两点距离公式以及配方法求二次函数最值等知 识，利用数形结合得出符合题意的答案是解

18、题关键 23 （11 分） （2014河南）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ， B（5，0）两点，直线 y=x+3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D点 P 是 x 轴 上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PFx 轴于点 F，交直线 CD 于点 E设点 P 的 横坐标为 m （1）求抛物线的解析式； （2）若 PE=5EF，求 m 的值； （3）若点 E是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P，使点 E落在 y 轴上？ 若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】方法一： 解： （1）将点 A、B 坐标代入抛物线解析

19、式，得： ，解得， 抛物线的解析式为：y=x2+4x+5 （2）点 P 的横坐标为 m， P（m，m2+4m+5） ，E（m，m+3） ，F（m，0） PE=|yPyE|=|（m2+4m+5）（m+3）|=|m2+m+2|， EF=|yEyF|=|（m+3）0|=|m+3| 由题意，PE=5EF，即：|m2+m+2|=5|m+3|=|m+15| 若m2+m+2=m+15，整理得：2m217m+26=0， 解得：m=2 或 m=； 若m2+m+2=（m+15） ，整理得：m2m17=0， 解得：m=或 m= 由题意，m 的取值范围为：1m5，故 m=、m=这两个解均舍去 m=2 或 m= （3）

20、假设存在 作出示意图如下： 点 E、E关于直线 PC 对称， 1=2，CE=CE，PE=PE PE 平行于 y 轴，1=3， 2=3，PE=CE， PE=CE=PE=CE，即四边形 PECE是菱形 当四边形 PECE是菱形存在时， 由直线 CD 解析式 y=x+3，可得 OD=4，OC=3，由勾股定理得 CD=5 过点 E 作 EMx 轴，交 y 轴于点 M，易得CEMCDO， ，即，解得 CE=|m|， PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|m2+m+2| |m2+m+2|=|m| 若m2+m+2=m，整理得：2m27m4=0，解得 m=4 或 m=； 若m2+m+2=m， 整理得：

21、m26m2=0， 解得 m1=3+， m2=3 由题意，m 的取值范围为：1m5，故 m=3+这个解舍去 当四边形 PECE是菱形这一条件不存在时， 此时 P 点横坐标为 0，E，C，E三点重合与 y 轴上，也符合题意， P（0，5） 综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P 坐标为（0，5） ， （，） ， （4， 5） ， （3，23） 方法二： （1）略 （2）略 （3）若 E（不与 C 重合时）关于直线 PC 的对称点 E在 y 轴上，则直线 CD 与直 线 CE关于 PC 轴对称 点 D 关于直线 PC 的对称点 D也在 y 轴上， DDCP，y=x+3， D（4，0） ，CD=

22、5， OC=3， OD=8 或 OD=2， 当 OD=8 时，D（0，8） ，设 P（t，t2+4t+5） ，D（4，0） ，C（0，3） ， PCDD，KPCKDD=1， ， 2t27t4=0， t1=4，t2=， 当 OD=2 时，D（0，2） ， 设 P（t，t2+4t+5） ， PCDD，KPCKDD=1， =1， t1=3+，t2=3， 点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点， 1t5， 点 P 的坐标为（，） ， （4，5） ， （3，23） 若点 E 与 C 重合时，P（0，5）也符合题意 综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P 坐标为（0，5） ， （，） ， （4， 5

23、） ， （3，23） 【点评】 本题是二次函数压轴题， 综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、 点的坐标、待定系数法、菱形、相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论 思想与方程思想的灵活运用需要注意的是，为了避免漏解，表示线段长度的代 数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算 2013-23 （11 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与直线 y=x+2 交于 C、D 两点，其 中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为（3，） 点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点， 过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 CD 于点 F （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 的横坐标为 m

24、，当 m 为何值时，以 O、C、P、F 为顶点的四边形是 平行四边形？请说明理由 （3）若存在点 P，使PCF=45，请直接写出相应的点 P 的坐标 【解答】解： （1）在直线解析式 y=x+2 中，令 x=0，得 y=2， C（0，2） 点 C（0，2） 、D（3，）在抛物线 y=x2+bx+c 上， ， 解得 b=，c=2， 抛物线的解析式为：y=x2+x+2 （2）PFOC，且以 O、C、P、F 为顶点的四边形是平行四边形， PF=OC=2， 将直线 y=x+2 沿 y 轴向上、下平移 2 个单位之后得到的直线，与抛物线 y 轴 右侧的交点，即为所求之交点 由答图 1 可以直观地看出，这

25、样的交点有 3 个 将直线 y=x+2 沿 y 轴向上平移 2 个单位，得到直线 y=x+4， 联立， 解得 x1=1，x2=2， m1=1，m2=2； 将直线 y=x+2 沿 y 轴向下平移 2 个单位，得到直线 y=x， 联立， 解得 x3=，x4=（不合题意，舍去） ， m3= 当 m 为值为 1，2 或时，以 O、C、 P、F 为顶点的四边形是平行四边形 （3）存在 理由：设点 P 的横坐标为 m，则 P（m，m2+m+2） ，F（m，m+2） 如答图 2 所示， 过点 C 作 CMPE 于点 M，则 CM=m，EM=2， FM=yFEM=m， tanCFM=2 在 RtCFM 中，由

26、勾股定理得：CF=m 过点 P 作 PNCD 于点 N， 则 PN=FNtanPFN=FNtanCFM=2FN PCF=45， PN=CN， 而 PN=2FN， FN=CF=m，PN=2FN=m， 在 RtPFN 中，由勾股定理得：PF=m PF=yPyF=（m2+m+2）（m+2）=m2+3m， m2+3m=m， 整理得：m2m=0， 解得 m=0（舍去）或 m=， P（，） ； 同理求得，另一点为 P（，） 符合条件的点 P 的坐标为（，）或（，） 【点评】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的 图象与性质、解方程（方程组） 、平行四边形、相似三角形（或三角函数） 、勾股 定理等重要知识点第（2）问采用数形结合思想求解，直观形象且易于理解； 第（3）问中，符合条件的点 P 有两个，注意不要漏解