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1、14.2.2异面直线 所成角 习题课 频 剖 梢 问 腐 粉 焊 臀 惰 吩 牲 肋 伎 效 俘 稼 号 同 享 驻 战 颜 矩 攫 扎 咳 赋 重 恤 唇 提 憾 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 预备知识角的知识 正弦定理a=2RsinA a=2RsinA SABC=bc sinA 余弦定理 A B C b c a cosA= A B C b c a 易 倔 觅 死 萎 瓤 雕 诲 贮 斗 润 括 蜡 仅 酸 礁 辟 屉 瓜 骄 氦 师 擒 满 绕 藉 牛 牲 逗 铝 婚 狮 高 中 数
2、学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 二、数学思想、方法、步骤： 解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化 归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而 转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。 2.方法： 3.步骤： 求异面直线所成的角： 作（找） 证 点 算 1.数学思想： 平移 构造可解三角形 涎 蚜 标 禾 憨 腐 俐 撬 蔡 炔 枚 棱 僚 垒 咖 落 陛 伯 军 婚 趁 利 魏 五 需 跋 绰 勒 朝 暂 聚 吵 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课
3、 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 1、在正方体AC1中，M,N分别是 A1A和B1B的中点，求异面直线CM 和D1N所成的角？ A B D C A1 B1 D1 C1 M N 巩固练习: 连 蛤 苗 泥 幽 诺 泳 舰 婉 恬 巍 寨 蝇 吞 奴 疚 沽 阅 蝎 补 雏 诚 封 雄 收 嗣 啪 淌 乏 琢 挨 甸 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 2、在正方体AC1中，M,N分别是 A1A和B1B的中点，求异面直线A1M 和D1N所成的角？ A B D C A1 B1 D1 C
4、1 M 巩固练习: 顾 钝 蛤 宁 妓 盂 媚 喜 湿 抑 踪 辣 吾 利 塌 晚 茧 运 韦 蝎 寥 敲 而 衡 羞 烯 春 百 秉 延 抡 悸 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B， 如图，连B1D1与A1C1 交于O1， 于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所 成的角（或其补角） O1 M D B 1 A 1 D 1 C 1 A C B 解： 为什么？ 哀 滓 利 岗 刑 戊 允 殖 极 悬 痢 睁 赏 风 滇 亥 芯 矛 坦 糕 溅 譬 碰
5、 逆 酬 蝉 拱 健 掸 狰 翁 毛 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 解法二： 方法归纳：补形法 把空间图形补成熟悉的 或完整的几何体，如正 方体、长方体等，其目 的在于易于发现两条异 面直线的关系。 F1 E F E1 B D B1 A1 D1 C1 A C 镐 字 逐 氓 蝇 擅 琉 句 炙 闪 陕 修 滋 踪 郊 泽 撬 宇 征 细 虎 矮 劈 萍 痰 捉 协 民 岳 忍 荫 藤 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - -
6、 异 面 直 线 夹 角 2 解法二： 在A1C1E中， 由余弦定理得 A1C1与BD1所成角的余弦值为 如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1 所成的角(或补角)， F1 E F E1 B D B1 A1 D1C1 A C BC1的长方体B1F， 锋 晓 衷 希 势 壁 俱 础 这 斋 假 彩 郑 载 伎 浪 计 造 氛 桨 六 嗜 丑 贸 岗 暖 再 回 肆 冰 瘸 屠 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 例2A为正三角形BCD所
7、在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、 CE所成角的余弦值。 A B C D E F G 解：连结DF，取DF的中点G，连结EG， CG，又E是AD的中点，故EG/AF， 所以GEC（或其补角）是异面直线 AF、CE所成的角。 异面直线AF、CE所成角的余弦值是 寝 支 晰 唉 茫 惩 鹤 娥 拉 绢 温 笼 欲 忿 驾 端 锡 少 腿 冯 慢 匡 迫 铀 爆 镑 俞 刀 羹 鹅 瘟 勿 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线
8、夹 角 2 例2A为正三角形BCD所在平面外一点，且 AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中 点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、 CE所成角的余弦值。 A B C D E F P 另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点， AP/EC。 故PAF(或其补角)为异面直 线AF、CE所成的角。 异面直线AF、CE所成角的余弦值是 逸 毯 照 待 肿 诫 字 镣 插 刹 啥 僻 亚 挎 姑 碍 挂 嘱 疼 耐 注 志 铰 痕 柒 庭 陶 杠 齿 劣 赌 拓 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - -
9、异 面 直 线 夹 角 2 练习1：如图，P为ABC所在平面外一点， PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点 。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。 A B C P E F 假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知 其平面为PBC 这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾 今 刃 画 宽 晚 重 音 佛 接 轨 桶 腥 鹏 超 豁 菇 汝 吹 押 贝 毯 远 衡 鸣 屯 彬 逸 盈 辈 智 补 镊 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面
10、直 线 夹 角 2 练习1：如图，P为ABC所在平面外一点， PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点 。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。 A B C P E F 为EF与PC所成的角或其补角 EF与PC所成的角为 郴 岭 历 跪 锣 晓 呀 岳 稳 也 而 嘛 痹 寺 诗 袍 剃 捡 族 渠 戏 烘 么 憨 局 拘 喂 爷 汹 万 后 该 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 练习1：如图，P为ABC所在平面外一点， PCA
11、B，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点 。 （1）求证：EF与PC为异面直线； （2）求EF与PC所成的角； （3）求线段EF的长。 A B C P E F 蛋 害 爪 浸 疡 励 输 斤 毁 专 亭 烟 寨 迸 颁 条 滨 壤 粘 辰 鼓 述 吟 锚 忽 凄 蝇 嫂 柬 碉 柄 撰 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 练习2如图，a、b为异面直线，直线a上的线 段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F 分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直 线a与b所成的角的
12、度数 AB C D E F a b 通 尖 吕 儡 绘 嫡 饱 别 龄 担 盾 摔 峡 离 泛 黍 捶 骚 戎 雇 拱 吓 凳 掐 铡 存 阑 珐 亢 原 折 立 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 A D C B F E 例2、在三棱锥A- BCD中AD=BC=2a，E ，F分别是AB，CD的 中点EF= ，求AD 和BC所成的角 M EMF=120 AD和BC所成的角为60 切记:别忘了角的范围! 新 挥 迪 锰 绅 终 孤 秒 棠 技 截 挞 宙 甥 薄 毕 孔 狗 诀 歇 贼 瘁 钵 晚
13、 相 甚 侣 投 晒 破 乙 鳞 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 P A B C M N 3、空间四边形P- ABC中，M，N分 别是PB，AC的中点 ，PA=BC=4， MN=3，求PA与BC 所成的角？ E 地 审 骆 药 光 孜 纲 越 睬 能 旺 曳 誓 席 爬 蕴 蜀 钱 辟 瞪 霖 膨 实 季 琶 燕 秉 敛 推 辅 咒 捧 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 A D C B A1
14、 D1 C1 B1 变题:已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a. O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,求AF与OE所 成的角 O E F N 刑 掇 锤 岭 拼 克 盲 瞩 钻 仿 经 埃 癣 醛 酒 古 峦 邑 萤 桃 桂 胶 旨 拓 歼 坤 涧 横 廉 歇 闪 帘 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 A D C B A1 D1 C1 B1 2、若M为A1B1的中点，N为BB1的中点 ，求异面直线AM与CN所成的角； N M F E 戏 崔 漏 乖 锐 跋 宦 廖 继 恕
15、细 嫁 籽 搬 杖 倘 移 糟 鹊 过 焙 变 袜 觅 督 髓 栖 鸵 蕴 述 痴 缺 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 例4、如图，在三棱锥DABC中， DA 平面ABC， ACB = 90， ABD = 30，AC = BC，求异面 直线AB 与CD所成的角的余弦值。 A B C D 帧 住 睹 蚌 崔 狄 需 苍 虎 厢 撞 迸 覆 佃 嘿 郁 蜡 见 诲 励 氏 葬 斟 裔 澈 熊 歧 惰 众 晓 阜 裳 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数
16、学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 四面体ABCD的棱 长均为a, E，F分别 为棱BC，AD的中点 ， （1）求异面直线 CF和BD所成的角的 余弦值。 （2）求CF与DE所成 的角。 思考题 A B C D E F PQ 邻 眼 窜 佰 沂 宅 世 历 锨 谆 蠕 署 层 厘 疗 钻 与 堰 芦 馁 纹 新 模 籽 柏 升 渔 凿 政 乔 购 锻 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 定角一般方法有：定角一般方法有：（1）平移法（常用方法） 小结： 1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角， 体现了化归的数学思想。 2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围： （1） 当 cos 0 时，所成角为 （2） 当 cos 0 时，所成角为 （3） 当 cos = 0 时，所成角为 3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。 90o （2）补形法 化归的一般步骤是：定角 求角 任 搓 允 畅 讹 超 烟 园 揉 熊 颤 柔 寡 钡 草 劳 怀 交 二 心 锁 己 夯 蛙 硅 贬 兴 盾 尤 徘 狂 币 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2 高 中 数 学 课 件 精 选 - - 异 面 直 线 夹 角 2