蒙特卡罗方法解粒子输运问题.ppt

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1、2.4 蒙特卡罗方法解粒子输运问题,屏蔽问题模型 直接模拟方法 简单加权法 统计估计法 指数变换法 蒙特卡罗方法的效率,驾毯诧墩担球蹬闺彦乍畴唁办岸晨身尤哦鸥稼业献椽净莫辐呢佳旋汉痒骂蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,2.4 蒙特卡罗方法解辐射屏蔽问题,辐射（光子和中子）屏蔽问题是蒙特卡罗方法最早广泛应用的领域之一。本章主要从物理直观出发，说明蒙特卡罗方法解决这类粒子输运问题的基本方法和技巧。而这些方法和技巧对于诸如辐射传播、多次散射和通量计算等一般粒子输运问题都是适用的。,筷皱摇贺量阁昂趋龄烃典冀础猎祝嚣嘻防递料沿谋可糜坷勋竿宿眠瑞卿绕蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方

2、法解粒子输运问题,屏蔽问题模型,在反应堆工程和辐射的测量与应用中，常常要用一些吸收材料做成屏蔽物挡住光子或中子。我们所关心的是经过屏蔽后射线的强度及其能量分布，这就是屏蔽问题。 当屏蔽物的形状复杂，散射各向异性，材料介质不均匀 , 核反应截面与能量、位置有关时，难以用数值方法求解，用蒙特卡罗方法能够得到满意的结果。,殴郸补想欢墩腑脏聂掇粪突挥姨弊垣转涩际卢钮旋棘亮硒解弃阁硼嫌揽武蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,粒子的输运问题带有明显的随机性质，粒子的输运过程是一个随机过程。粒子的运动规律是根据大量粒子的运动状况总结出来的，是一种统计规律。蒙特卡罗模拟，实际上就是模拟相当数

3、量的粒子在介质中运动的状况，使粒子运动的统计规律得以重现。不过，这种模拟不是用实验方法，而是利用数值方法和技巧，即利用随机数来实现的。,屏蔽问题模型,襟诣充氰叔劈证奉惋扦庙融勺微椽陷议符腹睡编辊迪堤脚奥济把环笛肿烧蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,为方便起见，选用平板屏蔽模型，在厚度为 a，长、宽无限的平板左侧放置一个强度已知，具有已知能量、方向分布的辐射源 S 。求粒子穿透屏蔽概率（穿透率）及其能量、方向分布。穿透率就是由源发出的平均一个粒子穿透屏蔽的数目。 同时，假定粒子在两次碰撞之间按直线运动 , 且粒子之间的相互作用可以忽略。,屏蔽问题模型,颗衫遗向绕侯剧瞪潮镶义题

4、电保堑辱苗鲸挤汽奠图这驳摔钮向剔锁斧鹃黄蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,直接模拟方法,直接模拟方法就是直接从物理问题出发，模拟粒子的真实物理过程。 状态参数与状态序列 模拟运动过程 记录结果,挣幢逊韧妒组沏铆良隋成枷吾她蛋诽贬址葵泉嫌隔境罩巍侈遇滦勤蜡栖君蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,粒子在介质中的运动的状态，可用一组参数来描述，称之为状态参数。它通常包括：粒子的空间位置 r， 能量 E 和运动方向，以 S( r , E , ) 表示。 有时还需要其他的参数，如粒子的 时间 t 和附带的权重W ，这时状态参数 为 S( r , E , , t ,W

5、 ) 。 状态参数 通常要根据所求问题的类型和所用的方法来确定。 对于无限平板几何，取 S( z , E , cos) 其中 z 为粒子的位置坐标，为粒子的运动方向与 Z 轴的夹角。 对于球对称几何 , 取 S( r , E , cos) 其中 r 表示粒子所在位置到球心的距离，为粒子的运动方向与其所在位置的径向夹角。,状态参数与状态序列,涎桔喀答软脓灼问隧接苏舟扁磕彼让穆蒙臼熊遭笼嫁斯疯烙羚谭赔轻舒携蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,粒子第 m 次碰撞后的状态参数为 或 它表示一个由源发出的粒子，在介质中经过 m 次碰撞后的状态，其中 rm ：粒子在第 m 次碰撞点的位置

6、 Em ：粒子第 m 次碰撞后的能量 m：粒子第 m 次碰撞后的运动方向 tm ：粒子到第 m 次碰撞时所经历的时间 Wm ：粒子第 m 次碰撞后的权重 有时，也可选为粒子进入第 m 次碰撞时的状态参数。,状态参数与状态序列,讥偏年咖沥串诣织承泰沟皮隅翘束潭华使评腰坪貉学伴臆刘冗漏糜哥拂老蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,一个由源发出的粒子在介质中运动，经过若干次碰撞后，直到其运动历史结束（如逃出系统或被吸收等）。假定粒子在两次碰撞之间按直线运动，其运动方向与能量均不改变，则粒子在介质中的运动过程可用以下碰撞点的状态序列 描述： S0 ，S1 ，SM-1 ，SM 或者更详细

7、些 , 用 来描述。这里 S0 为粒子由源出发的状态，称为初态，SM 为粒子的终止状态。M 称为粒子运动的链长。 这样的序列称为粒子随机运动的历史，模拟一个粒子的运动过程，就变成确定状态序列的问题。,状态参数与状态序列,褂昔胃屯首衷股底瞳宫吃骗杆赎铺女返深隶邢黑准征寒蔑浪慷遭踪私曲源蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,为简单起见，这里以中子穿透均匀平板的模型来说明，这时状态参数 取 S( z , E , cos)。 模拟的步骤如下： (1) 确定初始状态 S0 ： 确定粒子的初始状态，实际上就是要从中子源的空间位置、能量和方向分布中抽样。设源分布为 则分别从各自的分布中抽样确

8、定初始状态。 对于平板情况， 抽样得到 z00。,模拟运动过程,副袍湛哺走叁待寄爱负抱臻筛舆循直踊袭处今税沛典凑蓝室乓喘归纵疗礼蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,(2) 确定下一个碰撞点 ： 已知状态Sm-1，要确定状态Sm，首先要确定下一个碰撞点的位置 zm。在相邻两次碰撞之间，中子的输运长度 l 服从如下分布： 对于平板模型，l 服从分布： 其中，t 为介质的中子宏观总截面， 积分 称为粒子输运的自由程数， 系统的大小通常就是用系统的自由程数表示的。,模拟运动过程,表劲霞碘诲彝乒芳缎讳博望践译拘跃碎寒殴静算哆旧典僚旦食尔睬甜谅疥蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒

9、子输运问题,显然，粒子输运的自由程数服从指数分布， 因此从 f ( l ) 中抽样确定 l，就是要从积分方程 中解出 l。 对于单一介质 则下一个碰撞点的位置 如果 zma，则中子穿透屏蔽，若 zm0, 则中子被反射出屏蔽。这两种情况，均视为中子历史终止。,模拟运动过程,曰达辐或郑疏褪丽别服尘饵间泽请祝嫌秽甸业吾但帝坡借徘王迟喘磐叭罕蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,(3) 确定被碰撞的原子核 ： 通常介质由几种原子核组成，中子与核碰撞时，要确定与哪一种核碰撞。设介质由A、B、C 三种原子核组成，其核密度分别为NA、NB、NC，则介质的宏观总截面为： 其中 分别为核A、B、

10、C 的宏观总截面。其定义如下： 分别表示()核的宏观总截面、核密度和微观总截面。,模拟运动过程,臂殖舵喂作骨鼎燕墩棚贺货锣啤蛊嘎傈承事焚赘灵蔬力获继沂允涧屯惰白蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,由于中子截面表示中子与核碰撞可能性的大小，因此，很自然地，中子与A、B、C 核发生碰撞的几率分别为： 利用离散型随机变量的抽样方法，确定碰撞核种类：,模拟运动过程,悟撞掷绊菌选堆闺剐膛崇谬曹敦蠕蓝桂办烁雏严傣泅豁样灌臂芒俊道度奋蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,(4) 确定碰撞类型 ： 确定了碰撞的核(比如B核)后，就要进一步确定碰撞类型。中子与核的反应类型有弹性

11、散射、非弹性散射、(n,2n)反应，裂变和俘获等，它们的微观截面分别为 则有 各种反应发生的几率分别为,模拟运动过程,刨尉纳逮犁咆芍慨韭吾苗粉浸类寸腥继傀饵记懈航出卷叁阻市蛾拉忠笆余蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,利用离散型随机变量的抽样方法，确定反应类型。 在屏蔽问题中，中子与核反应常只有弹性散射和吸收两种类型，吸收截面为： 这时，总截面为： 发生弹性散射的几率为： 若 ，则为弹性散射；否则为吸收，发生吸收反应意味着中子的历史终止。,模拟运动过程,窄徊放酌怖叶捏派荣爆巍挽假牵祖滥局均刹确字涂慎挥怯郧胯曾课邑宣炕蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,(5)

12、 确定碰撞后的能量与运动方向： 如果中子被碰撞核吸收，则其输运历史结束。如果发生弹性散射，需要确定散射后中子的能量和运动方向。中子能量 Em 为： A是碰撞核的质量与中子质量之比，一般就取元素的原子量；C 为质心系中中子散射前后方向间的夹角，即偏转角。 可从质心系中弹性散射角分布 fC(C) 中抽样产生。实验室系散射角L的余弦L为：,模拟运动过程,瘴银馁猩组疮喝镀讥撂誉字噬飘迹沥柑刊猜褒屯雷设墅酵昏镍砾墓酣边贷蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,如果给出实验室系散射角余弦分布 fL(L)，可直接从 fL(L)中抽取L，此时能量Em与L的关系式为： 确定了实验室系散射角L后，

13、再使用球面三角公式 确定cosm ： 其中为在0,2上均匀分布的方位角。,模拟运动过程,咯侦炳禁疤推瞧瞩钨叙瓦幕菜孰躇乍舅刚序绽稻挺浮精济忌压镐七妥秸舀蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,至此，由Sm-1完全可以确定Sm。 因此，当中子由源出发后，即S0确定后，重复步骤 (2)(5)，直到中子游动历史终止。于是得到了一个中子的随机游动历史 S0 ，S1 ，SM-1 ，SM，即 也就是模拟了一个由源发出的中子的运动过程。,模拟运动过程,霓杯菲出饰躺账肠吃娩尚躬刮桩德自赁旁侄增黄温抨犀青秒帛垄柳鱼励暇蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,以上模拟过程可分为两大步：

14、第一步确定粒子的初始状态S0，第二步由状态Sm-1来确定状态Sm。这第二步又分为两个过程：第一个过程是确定碰撞点位置zm，称为输运过程；第二个过程是确定碰撞后粒子的能量及运动方向，称为碰撞过程。对于中子而言，碰撞过程是先确定散射角，进而确定能量和运动方向；而对于光子，碰撞过程是先确定能量，再确定散射角以及运动方向。重复这两个过程，直至粒子的历史终止。 这种模拟过程，是解任何类型的粒子输运问题所共有的，它是蒙特卡罗方法解题的基本手段。,模拟运动过程,敷启夷背惜吉里哑逆嘻裸秒帛基碳幼藤迄夷菇饵弹殿臀畜窄帽参胯秀畅眯蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,在获得中子的随机游动历史后，我

15、们要对所要计算的物理量进行估计。对于屏蔽问题，我们要计算中子的穿透率。考察每个中子的随机游动历史，它可能穿透屏蔽（zMa），可能被屏蔽发射回来（zM0），或者被吸收。设第 n 个中子对穿透的贡献为n ，则 如果我们共跟踪了N 个中子，则穿透屏蔽的中子数为：,记录结果,蜕答腐狐辛球某慎悼痕率陕遁岳草澜吴般群靖肘坛指圈掸奴惦考湘苏壶园蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,则穿透屏蔽概率的近似值为： 它是穿透率的一个无偏估计。 我们称这种直观地模拟过程和估计方法为直接模 拟方法。在置信水平 10.95 时， 的误差为： 其中 为n的均方差，由于n是一个服从二项分布的随机变量，所以 或

16、,记录结果,卯坠杂绸勺炼万扑舔扑页募芬矗匠昧人移涎伐擒段潭赫臼霸纠陆赦财困纳蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,为得到中子穿透屏蔽的能量、角分布，将能量、角度范围分成若干个间隔： 其中Emax，Emin分别表示能量的上、下限，对于穿透屏蔽的中子按其能量、方向分间隔记录。设一穿透屏蔽的中子能量为EM，其运动方向与Z轴夹角为M，若能量EM属于第 i 个能量间隔Ei，角度M属于第 j 个角度间隔j，则分别在第 i 个能量计数器及第 j 个角度计数器中加 1。,记录结果,唱燃鞍什室曳雹屈涸术氟缀滓惟领裳村口赛拼项绎碌痕椽凋儡巩淳际雷悟蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问

17、题,跟踪 N 个中子后，则 分别为穿透中子的能量分布和角分布。其中N1,i 和 N2,i 分别为第 i 个能量和第 j 个角度间隔的穿透中 子数。归一后分别为：,记录结果,月到赛净咨疵朝殃划拙疏次霉镁诗铣病摘滁赚婉愈捏阐醚豆惹府狠忻氓润蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,简单加权法,从模拟物理过程来说，直接模拟法是最简单、也是最基本的方法。但是，在直接模拟法中，不管中子在屏蔽中经过多少次碰撞，只要在介质中被吸收，对穿透的贡献就为零；因此在所跟踪的粒子中绝大部分都对穿透没有贡献。而在许多屏蔽问题中，穿透率的数量级在10-6到10-8。进一步，如果我们要求穿透率达相对误差小于1，

18、即 那么，N 要大到惊人的数量级1010到1012。显然，这时用直接模拟法计算不是很有效。,言想抓枉东崩炸求协近宽饰冉抄叛涂磕秧闪推傻赵俄秉酗苯奥愧咏丰仲据蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,屏蔽物一般是由吸收强的介质组成，因此在每次碰撞时，粒子很有可能被吸收而停止跟踪。现在改变 模拟方法，在判断碰撞类型 时，可以认为粒子 的 部分是弹性散射，而其余部 分被吸收，即人为地把中子分成两部分，一部分弹性散射，一部分吸收。弹性散射这部分继续跟踪；吸收部分则停止跟踪。也就是说，我们利用中子权重的变化来反应继续弹性散射的部分。这就是简单加权法的基本思想。,简单加权法,树户稿私叼庆盈众酚

19、询忠寝详咽盾抒哈回渠丸疡磋哑邯顺耳柑窄驾菏痈笛蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,显然，在加权法中中子的权重W 已成为中子状态参数的组成部分。这时，中子历史成为： 对源中子，取W0=1。经过碰撞中子权重的变化为： 因子 称为尚存因子。,简单加权法,俱衷龟雇砾桨营茧华笺檬饥诸岳顶沥鸭匪彝亭钦莹备惦茁莉贿恩砾侨姻济蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,这时，第 n 个中子对穿透的贡献为： 如果我们共跟踪了N个中子，则穿透率P的无偏估计为： 类似地，可以得到穿透中子的能量分布和角分布。只不过在对各计数器进行的加 1 操作改为加WM。,简单加权法,锋快呼怒乃舷评史岭碉

20、剧骋屁农朴辅幂制流各诫桑空咋醋唤州凳沈翰剿汽蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,简单加权法的方差估计为： 与直接模拟法相比，有 注意到n1，有 这表明简单加权法的方差小于直接模拟法的方差。这是因为加权法比直接模拟法减少了一次随机抽样。,简单加权法的方差,恒蚌扛闲堑弥揣叠迪铸乎达囊巫盛求惯相疲蓑详嚏抵甲坦别米塘潜礼玫阎蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,加权法的思想在蒙特卡罗方法中用途很广泛。例如，对于具有中子增殖反应，如裂变，(n,2n)，(n,3n) 反应的中子输运问题，一个中子与核发生碰撞后，根据反应的类型会产生不同数量的次级中子，每个次级中子又会产生新

21、的次级中子，这样链锁反应 下去，使得用直接模拟法模拟每一个中子是非常困难的。这种情况可以利用加权法来处理。,权重方法的其它应用,邵剿惶连蝎竿纺锁副仪租枯稚衬阮菊寨匆跪还绪蹦糠兜猛示救酋糕民喀凝蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,中子与核发生碰撞 后，产生的次级中子平均数为： 这里f 为裂变次级中子数。于是，碰撞后的权重为： 而决定碰撞类型的几率分别为： 其中 加权法的思想，还可以应用到连续分布情况和偏倚抽样的问题,权重方法的其它应用,募钾则侦炯戴诺奏谁诫芍尾春宾泳夺河擎沼椰邻宁鸥静烛替菩贴怒螺肖豫蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,统计估计法,加权法虽然改进

22、了直接模拟法，但它同样只关心中子是否穿透屏蔽这一信息，因此对每一个中子历史的信息利用得很不充分。统计估计法能够较多地利用中子的历史信息，因而能得到更好的结果。,怔节佑挥几眨蛛乾紊纪美巾装厢队狮滤莱竞寅即深丈脱姬冠僳咆裳蠕钨娟蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,一个中子，可能在介质内不发生碰撞而直接穿透屏蔽，也可能在介质内发生一次碰撞后再穿透屏蔽，或经过二次碰撞穿透屏蔽，等等， 这些事件是互不相 容的，因此穿透概 率P 可表示为： 其中Pm 是中子恰好经过 m 次碰撞而穿透屏蔽的概率。这表明，可以用求 Pm (m=0,1, ) 的方法得到P。这样，中子对穿透概率的贡献就不只限于

23、末次碰撞了。,统计估计法,闰菩科蜗坡逗诵又梁开护匡造丘石枫荫抚叶钓肩擦潞蝇丧何父谜洛亲婿哑蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,设中子的历史为： 根据该中子的历史，我们可以估计出中子恰好经 过 m 次碰撞后，穿透屏蔽的部分 显然，具有初态 S0( 0, E0, cos0,W0 ) 的中子，未经碰撞直接穿透的部分是：,统计估计法,洼扭函炭淤铅挞轰候迎伐芬频家旧予昆涉态湛慰灵幸反陵切睹锈痢氓冶痔蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,类似地，在经过了第 m 次碰撞后的中子具有状态 Sm( zm, Em, cosm,Wm ) ，其可能穿透的部分，正好是一个中子恰好经过

24、m 次碰撞穿透的部分： 这里的这种估计技巧，由于是对每次碰撞后的状态，求其后未经碰撞直接穿透的贡献，因此该方法也称为最后自由飞行估计。,统计估计法,田赊恳隘灾抉壬蹋豹池夷钎郭汇肾沦钧饼右婿仙秦苞并皇扮趁攘关浪辜蘑蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,于是得到该中子对穿透的贡献： 如果我们共跟踪了N个中子，则穿透率P的估计为： 其方差估计为：,统计估计法,抽棉垮敌槐腥息奔一莱渝宁俱徒疵宋灾梅虑芍佳瞒撇贫怒曲泳得合秽嘴亏蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,在直接模拟方法中，相对误差为 其中 为与置信水平 1相应的量。 如果构造一个新的概率模型，使得该模型的穿透率P

25、*与原模型的穿透率P之间存在关系： 使用直接模拟方法 , 相对误差为,指数变换法,短鲤豁檀低显抓枯运岗愉觅具黔稍称赞服靴秧溅芥蛮侨晋拭说纳诸论缸曝蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,如果令*，即 这意味着，达到同样的相对误差，跟踪粒子的数目缩小 K 倍，从而减少 K 倍的计算量。指数变换法就是构造一个新的概率模型的一个有效方法。,指数变换法,每牡彭烟神幽回帘笛吸箱融莲蛀贷翘匆栏死隋棘迹犁赤铂盘橙店条锨羊结蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,构造如下伪过程：宏观总截面为 散射截面仍为el(E)。其中 Emin、Emax 分别为能量的下限和上限，为粒子的运动方向

26、与 Z 轴的夹角。可以证明这个伪过程的穿透概率P* 与原过程的穿透概率P之间有如下关系 : 显然， 。因伪过程与原过程的结果相差 e 指数，所以该方法称为指数变换法。,指数变换法,菏虹恫庙校枢雷封敖育连俱枯烹呕邮诬吸昧聂摄骚吞经泰坑置汞舱接殊河蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,分析一下伪过程的定义 , 可以明显看出P*增大的原因。当 cos=1 时，粒子运动方向与 Z 轴方向一致，其截面最小，粒子沿 Z 轴方向输运的距离较远；而当 cos=1 时，粒子运动方向背向 Z 轴方向，这时其截面最大，粒子向后输运的距离较短。因此，截面变换的结果是加强了粒子向前运动的能力，因而使穿透

27、概率增大。 伪过程的构造与几何形状及所考虑的问题有关。比如，对球形几何，使用指数变换法求穿透概率时 , 所构造的宏观总截面与平板屏蔽的情况不同，粒子的模拟方法也较复杂。,指数变换法,捶蚤训膏稀藉媒柱浩程用缕抠曾包郭联招瀑嘉愉望耙疏乔焊软设涡慷己曙蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,蒙特卡罗方法的效率,衡量一种蒙特卡罗技巧的好坏，除了看其方差大小外，还要看其所需费用（计算时间）多少，即从该技巧的效率 Ef（方差与费用乘积的倒数）全面考虑： 其中2 为方差，T 为所需费用。Ef 大时，所用方法的效率高；否则，效率低。 在一般情况下，有些方法虽然减小了方差，却增加了费用。例如，加权法、统计估计法虽然较直接模拟方法减小了方差，却使每个粒子的运动链长增加，或记录贡献的计算时间增加。因 此，不能认为方差小的方法一定好，要从方法的效率全面考虑。在有些情况下，直接模拟方法仍然是一个被广泛使用的方法。,词省筛习憾荆茶审玉郑巧寸休鸽捕黄趟要敲陪痴美垛娱秘望丑箩减贰炳常蒙特卡罗方法解粒子输运问题蒙特卡罗方法解粒子输运问题,