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1、首都师范大学附属丽泽中学培优讲座北京丰台二中特级教师 张健专题三：数列综合问题1. 如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针 上全部移到另一根针上 a每次只能移动一个金属片； b在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面将n个金 属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n) 则f(3)_；f(n)_. 解析f(1)1，f(2)3，f(3)2f(2)17. 先把上面的n1个金属片移到2号针，需要f(n1)次，然后把最下面的一个金属片移到3号针，需要1次，再把2号针上的n1个金属片移到3号针，需要f(n1)次，所以f(n)2f(n1)1
2、，得f(n)12f(n1)1，故数列f(n)1是以2为首项，公比为2的等比数列，所以f(n)12n，于是f(n)2n1.2.将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为_解析观察数阵，记第n行的第1个数为an，则有a2a12，a3a24，a4a36，a5a48，anan12(n1)将以上各等式两边分别相加，得ana124682(n1)n(n1)，所以ann(n1)1，所以a451 981.又从第3行起数阵每一行的数都构成一个公差为2的等差数列，则第45行从左向右的第17个数为1 9811622 013.3.等比数列an中，a1，a2，a3分别是下表第一、二
3、、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足：bnan(1)nln an，求数列bn的前n项和Sn.解(1)当a13时，不合题意；当a12时，当且仅当a26，a318时，符合题意；当a110时，不合题意因此a12，a26，a318.所以公比q3. 故an23n1 (nN*)(2)因为bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 323n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以Sn2(133n1)11
4、1(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.当n为偶数时，Sn2ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2(ln 2ln 3)ln 33nln 3ln 21. 综上所述，Sn4.(2013广东)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又
5、1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2，所以数列an的通项公式为ann2，nN*.(3)证明111，所以对一切正整数n，有.5.(2012广东)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*， (1)求数列an的通项公式； (2)证明：对一切正整数n，有12n2(n2n)12n22n22n(n1)，111， 即.6. 已知数列bn的通项公式为，证明：bn中的任意三项不可能成等差数列 证明：假设存在某三项成等差数列，不妨设为bm、bn、bp，其中m、n、p是互不相等的正整数，可设mnp，而bnn1随n的增大而减小，那么只能有2bnbmbp，可得2
6、n1m1p1，则2nm1pm.当nm2时，2nm22，上式不可能成立，则只能有nm1，此时等式为1pm，即pm，那么pmlog，左边为正整数，右边为无理数，不可能相等所以假设不成立，那么数列bn中的任意三项不可能成等差数列7. 已知数列an和bn满足：a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数 (1)对任意实数，证明：数列an不是等比数列； (2)试判断数列bn是否为等比数列(1)证明假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即22492490，矛盾所以an不是等比数列(2) 解因为bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1 (1)n(an3n21
7、)bn，又b1(18)，所以当18时，bn0 (nN*)，此时bn不是等比数列；当18时，b1(18)0，由bn1bn，可知bn0，所以 (nN*)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列；综上知，当18时，数列bn构不成等比数列；当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列8.已知等差数列的首项和公差都是，其前项和记为等比数列的 各项均为正数，公比为，其前项和记为 （）写出（）构成的集合； （）若为正整数，是否存在大于的正整数，使得，同时为集合 中的元素?若存在，写出所有符合条件的的通项公式；若不存在，请 说明理由； （）若将中的整数项按从小到依次排列构成数列，求的
8、一个通项 公式 解：（）因为等差数列共有5项，首项和公差都是，所以， -2分又，所以 -4分（）因为是等比数列，且，为的前项的和，若存在大于1的正整数，使同时为集合的元素，若，因为所以，又所以所以 -6分若时，因为且所以则或或或或若，则因为所以无解；若则因为，所以无解；若则则 所以 -8分若则因为，所以无解；若则则所以 -10分综上所述，存在符合条件的数列，其通项公式分别为 （）因为，当时，不论为奇数还是偶数，均为整数； 当时，不论为奇数还是偶数，均为整数；当时，不能被3整除，不是整数； -11分所以 9.（2013北京理科）已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为 An，
9、第n项之后各项，的最小值记为Bn，dn=AnBn （I）若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列（即对任意nN*， )，写出d1，d2，d3，d4的值； （II）设d为非负整数，证明：dn=d (n=1,2,3)的充分必要条件为 an为公差为d的等差数列； （III）证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是1或2，且有无穷多项为1解：（1）；（2） 证明：（充分性）因为公差，所以数列an是单调递增数列或常数列， 即因此，所以。 （必要性）因为dn=d，所以， 又因为，所以，即数列an是递增数列或常数列，于是，从而公差，即an是公差为d的等差数列。（3）
10、 因为，所以，故对任意。 假设数列an中存在大于2的项，设m是满足的最小正整数，显然. 由于，所以 则，而，所以，所以， 所以，这与矛盾.所以对于任意，有，即非负正数数列an的各项只能是1或2.因为对任意，所以故，因此，对任意，存在满足，且，即数列an有无穷多项为1.10.（东城期末）若无穷数列满足：对任意，；存在常数， 对任意，则称数列为“数列”. （）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；（）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意， ；（）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在 ， 数列为等差数列.（）证明：由，可得，所以，所以对任意，又数列为递减数列，所以对任意，所以数列为“数列”5分（）证明：假设存在正整数，使得由数列的各项均为正整数，可得由，可得且同理，依此类推，可得，对任意，有因为为正整数，设，则.在中，设，则与数列的各项均为正整数矛盾所以，对任意，.10分（）因为数列为“数列”，所以，存在常数，对任意，设由（）可知，对任意，则若，则；若，则而时，有所以，中最多有个大于或等于，否则与矛盾所以，存在，对任意的，有所以，对任意， 所以，存在 ，数列为等差数列.