蒙特卡罗模拟8ppt课件.ppt

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1、蒙特卡罗模拟蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗(MonteCarlo)模拟，又称蒙 特卡罗方法、统计试验法等. MC模拟是静态模拟，描述特定时间点 上的系统行为. 模拟过程中 不出现时间 参数。 基本思想:把随机事件 （变量）的概率特征与 数学分析的解联系起来. 担 济 是 稀 锑 铬 妒 象 彝 篇 众 宋 袁 凹 刑 曼 镊 妇 茧 靠 甘 敷 绵 榜 叔 焊 配 囱 绢 劣 肯 阜 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 概率特征：随机事件的概率和随机变量的 数学期望等. 用试验方法确定 一一. . 蒙特卡罗法计算定积分蒙特卡罗法计算定积分 例

2、7.3.1 用MC 模拟求圆周率的估计值. 1 10 设二维随机变量 (X, Y)在正方形内 服从均匀分布. 固 鹅 呼 谷 歪 怯 隐 宿 蜕 喝 谩 披 恫 撇 咐 导 烹 尔 可 要 无 踞 阿 享 厢 蔑 僳 侄 粘 骚 渐 钙 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 (X, Y)落在圆内的概率为: 计算机上做n 次掷点试验： 产生n 对二维随机点(xi，yi) ，i1 ,2, , n . xi 和yi 是RND 随机数对. 检查每对随机数是否满足: 相当于第i 个随机点落 在1/4圆内. 话 惶 垫 掷 盘 轧 碑 侄 侨 僧

3、棱 耀 赃 箩 僵 圣 鸣 班 架 廓 邯 膛 弗 洲 沙 摘 轮 匈 话 盼 还 浊 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 若有k 个点落在l4圆内 随机事件“点落入1/4圆内”的 频率为 k/n 根据概率论中的大数定律, 事件发生的频率 依概率收敛于事件发生的概率p，即有 得圆周率的估计值为 且当试验次数足够大时, 其精度也随之提高. 序 锚 祷 喳 霸 泳 姿 则 天 悲 墩 区 灯 慨 厨 旋 春 抢 岂 穆 狐 出 市 软 横 翁 割 焊 褐 宙 躁 莹 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟

4、8 p p t 课 件 分析：实际上概率值为 恰为1/4圆 的面积 频率法： 利用随机变量落进指定区域内的频 率来计算定积分. 平均值法： 利用随机变量的平均值(数学期望) 来计算定积分. 亡 枫 诱 拣 会 硬 骡 痕 现 移 堵 霞 卓 昌 娱 孪 场 疯 减 糟 亏 兑 炸 献 剂 绽 酝 漳 掉 陶 每 忠 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 平均值法的算法如下： (1)产生RND 随机数：r1，r2，rn； （2）令 ui=a(ba)ri，i=1，2，n； （3）计算 作为I 的估计值. 原理分析： 设随机变量1，2，n相互

5、独立， 且iU(0,1) f(i)，i=1，2，n 相互独立同分布 蛊 乘 南 剪 时 岸 犯 诀 莆 室 熏 勤 踌 扇 仿 甫 洲 辉 捉 岔 宝 随 裸 敷 烹 啊 墒 双 形 裤 殷 探 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 由(强)大数定律知 以概率为 1 成立 当n 足够大时，得近似公式： 呕 专 彦 壕 瓢 曙 蜀 之 跨 坑 揖 萨 绪 贝 响 香 蔓 典 变 枝 怜 谎 之 千 瓜 酥 舌 哦 师 壶 衰 喷 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 注： 平均值法

6、本质上是用样本平均值作为 总体教学期望的估计。 二二. . 蒙特卡罗模拟试验次数的确定蒙特卡罗模拟试验次数的确定 MC 模拟是一种试验近似方法 , 试验次数 如何确定？ ？ 希望：模拟次数较少、 模拟精度较高 蛀 河 朱 斩 礼 瞄 琉 赌 如 优 匠 姥 直 拖 章 职 久 蜗 赁 真 议 请 主 墅 浸 倡 准 骤 盆 顷 采 沪 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 频率法的讨论 用事件A出现的频率作为概率p 的估计: 问题：试验次数 n 多大时，对给定的置信 度1（01），估计精度达到. 即问：取多大的n 使 成立？ 晰 源 辜

7、 块 颐 戒 纸 挠 干 产 习 怪 魂 畴 诺 霓 淘 岛 咀 眯 夺 梭 慷 潦 铱 震 礁 藤 塘 酝 坟 罐 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 证明 频率法是事件A出现的频率作为概率p的估计 答案： 其中, z是正态分布的临界值. n次独立试验中A出现的次数knB(n, p).由中 心极限定理知 枚 菜 顾 豁 洪 澳 核 逢 斗 镊 腥 翱 瞒 辕 渭 幢 囤 丙 耘 汁 誉 前 盏 瞎 勿 哼 服 力 告 捉 女 秉 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 曙 篙

8、婪 议 号 表 佯 扛 缔 亏 彼 庄 伏 捅 哭 晴 遮 末 篆 延 窒 快 众 鼓 芥 肤 苇 沾 靴 滤 免 沮 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 平均值法 在给定和下所需的试验次数 的估计式为 查得正态分布的临界值z,可解得 匣 掖 郊 哈 酗 找 膊 钢 兔 堰 勉 组 始 国 逝 被 搓 搬 廷 宝 帽 缠 啡 掇 氧 态 毅 旦 鸡 钮 苯 缴 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 试验次数估计式的分析 为估计概率p做 模拟,却又需要 用p去估计模拟 次数n.

9、如何计算S2 ？ 解决方法：先做n0 次模拟（称为学习样本) ，根据学习样本. （1）先求出p的估计，再估计模拟次数n : 钥 困 侈 怔 挟 抛 熔 皮 年 耳 猴 顶 馈 锗 朝 噬 靡 榆 馁 余 杯 获 夏 调 酚 杭 豪 惜 睹 失 毯 余 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 （2）计算出的样本方差S2 ,用来估计n. 2. M C模拟的估计精度与试验次数n的平 方根成反比, 若精度提高10倍,则试验次数n 要增大100倍. P197表8.2中列出了置信度为0.95 时, 在不同 精度及概率p条件下频率法所需试验次数。 对该

10、表进行分析，能得到什么结论？ 漏 畅 网 碰 酉 原 啪 氦 遥 迷 幽 动 皖 铆 枕 珠 痕 酷 沪 饭 懊 块 吝 娘 篡 膏 侠 烯 曾 诀 燎 蜘 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 1. 精度提高，试验次数大幅提高； 2. 事件发生概率越接近0.5，试验次数越高； 例7.3.2 核反应堆屏蔽层设计问题 核反应堆屏蔽层是用一定厚度的铅包围反应 堆，用以阻挡或减弱反应堆发出的各种射线. 在各种射线中, 中子对人体伤害极大，因此， 在屏蔽层的设计中, 了解中子穿透屏蔽层的概 率对反应堆的安全运行至关重要. 窥 库 谭 脆 侠 粹

11、 暴 粥 禁 旨 荡 碴 丽 秉 沥 九 梢 怠 误 尽 傀 暇 骑 纷 池 清 扯 缺 迂 混 樊 圭 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 1.问题背景 假定屏蔽层是理想的均匀平板 一个中子进入屏蔽层后运动的物理过程:中 子以初速度v0和方向角射入屏蔽层,运动一 段距离后与铅核发生碰撞，中子获得新的速度 及方向(v1,1). 再游动一段距离后,与铅核发生 第二次碰撞,并获得新的状态(v2,2),如此等等, 经过若干次碰撞后,出现下述情况之一时中子 终止运动过程 线 阑 费 唁 介 都 丧 筛 地 抽 树 狼 肾 酷 谬 安 演 笛

12、膀 驴 猖 烯 棚 赂 兰 蕴 钢 误 埂 苫 诞 孤 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 三种 状态 1）中子被弹回反应堆； 为使屏蔽层的厚度达到安全设计要求,在计 算机上对中子在屏蔽层的运动过程进行模拟 2）中子穿透屏蔽层； 3）第n次碰撞后,中子被屏蔽层吸收. D 返回 穿透 吸收 锡 窿 袁 购 撮 肃 道 异 连 翰 苍 缀 庸 骸 共 拂 紊 颊 客 浇 曹 缴 舀 亡 碉 癣 应 坏 庄 崔 叶 兵 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 阐述中子的运动， 为模拟做

13、理论准备 2. 简化假设： *1 假定屏蔽层平行板厚度为D=3d，其中d 为两次碰撞之间中子的平均游动距离； *2 假设在第10 次碰撞以后，中子速度下降 到为某一很小数值而终止运动（被引收）. 因每次碰撞后, 中子因损失一部分能量而速 度下降. 情 遭 熬 傈 销 凳 刚 漓 牧 悠 桨 扁 丢 贫 踞 令 乔 血 顶 宇 莉 郭 诊 笆 尉 敌 据 侨 投 碰 筒 泉 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 *4 中子经碰撞后的弹射角 U(0, 2). 思考：请仔细分析以上假设的合理性. *3 假定中子在屏蔽层内相继两次碰撞之间 游动

14、的距离服从指数分布； 3. 中子运动的数学描述 引进变量： 弹射角i 第i 次碰撞后中子的运动方向与 x 轴正向的夹角. 木 央 叹 商 娄 滞 摘 尉 超 忙 霹 满 讶 绝 凝 撤 涵 鳞 状 褪 梳 步 诗 幂 露 雄 淘 普 氧 旨 咒 痔 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 DD 0 x xi i xi 第i 次碰撞后 中子所处位置与 屏蔽层内 壁的距 离. R i 中子在第 i 次碰撞前后的游 动距离. 三个变量 均为随机 变量 努 吟 兆 挽 训 叛 啄 挺 驾 熬 然 左 鸦 瘟 斯 胸 拷 菇 腺 佑 悠 阎 匣 骋

15、 附 褥 哭 梅 爹 侈 衅 簇 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 中子在屏蔽层里随机游动, 第 i 次碰撞以后, 按照它的位置坐标 xi，可能有以下三种情况 发生： （1） xi0，中子返回反应堆； （2） xiD，中子穿透屏蔽层； （3） 0 xiD，若i10，中子 在屏蔽层内继续运动, 若 i=10 中子被屏蔽层吸收. 中子三 状态判 别准则 历 瘁 渡 恒 臀 脸 虑 翟 贩 蹬 散 告 小 恶 母 臀 桓 娥 肚 鹃 摈 蝉 富 襄 性 轮 哄 峙 湍 爷 浩 感 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡

16、 罗 模 拟 8 p p t 课 件 经过第i 次碰撞，中子在屏蔽层内的位置是 xi=xi1+Ricosi ，i=1，2，10 ， 4. 模拟过程 (1) 产生RND随机数对(ri, ui )； (2) 将(ri, ui )代入公式计算 第i 次中子 的移动距离 和弹射角 (i=1,2,3，10) 裔 扒 斗 盾 照 烯 铝 鼎 睫 盏 晦 继 延 疲 盛 贾 陇 般 耿 悔 都 躁 萝 得 否 丛 剩 敬 居 芹 睡 著 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 (3) 将(Ri, i) 代入公式 xi = xi1+Ricosi ，i=1

17、，2，10 计算出第i 次碰撞中子与内壁的距离xi . (4) 判断中子是否穿透屏蔽层. 5. 模拟结果分析 要求穿透屏蔽层的概率数量级为1061010, 按假设条件得到一次模拟结果如下： 奏 残 蛀 蕴 塞 原 犁 缸 掏 玉 萝 计 喳 幢 仍 卸 韦 今 吴 痊 谁 传 枷 苇 库 炽 好 涣 肋 恰 焰 姚 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 中子数(个 ) 穿透(%) 吸收(%) 返回(%) 100 1000 3000 5000 30.0 26.0 26.5 26.3 28.0 23.4 21.8 22.0 42.0 50.

18、6 51.7 51.7 中子穿透屏蔽层的百分比超过了1/4, 模拟 结果表明屏蔽层厚度D=3d不合适. 旱 缮 教 芽 究 昌 斡 俺 莱 秧 予 陨 熟 结 赁 铡 近 欧 走 变 半 犊 帜 骂 拍 赶 集 毕 怀 斡 串 愉 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 多厚的屏蔽层才能使穿透的概率 W106？ 问 题： 如何解决这个问题？思路？ 1. 计算机收索法 增大屏蔽层的厚度，如D=6d、12d、24d、 36d，交由计算机进行模拟, 并搜索到所 求解. 昆 赎 拌 搞 董 烯 琴 录 窖 锭 辽 贪 栅 针 障 润 运 增 锑

19、虚 缎 桨 均 糟 屯 坟 组 狐 较 尹 星 线 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 2. 分析法 12 m DD D 设计屏蔽层的厚度： x=mD 将屏蔽层视为m层厚度均为D的 平行板. 坯 翻 苏 七 膛 赠 从 淆 捣 菜 饥 营 氟 频 佯 砧 踢 伤 伍 北 砸 淤 岳 翼 蓑 炎 娇 狙 报 斟 卓 疡 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 由于碰撞的能量损失,中子穿过屏蔽层的平 均速度会逐层下降. 设WD 是中子穿过厚度为D 屏蔽层的概率, 则穿过整个屏蔽层的概

20、率W 满足 利用模拟结果：当D=3d，WD0.25，令 (WD)m106， 或 (m)410 6 镰 杆 勇 该 隔 砰 祷 否 崇 披 奥 榔 滑 泪 呀 氛 摔 堕 辞 粤 赏 咎 县 跨 萤 煞 畜 雪 填 堕 找 碰 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 取屏蔽层的厚度 x=10D=30d， 可使穿透屏蔽层的概率w106 注：模拟5000个中子的运动,用穿透屏蔽的 频率估计穿透概率,由表8.2可知精度大约只有 1,模拟精度太低,应适当增大模拟次数. 总结：模拟的意义？ 滇 灸 缆 孝 诣 房 某 橙 俘 霄 芦 峙 牺 陋 弛

21、机 害 周 磁 挞 莹 倚 符 汛 潜 旭 怔 扦 厅 扇 糟 苑 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 1.模拟方法本质上是试验性的,模拟系统是 现实系统的仿真. 例中每模拟一次相当于对一个中子的运动做 一次“试验”或“观察”. 2. 是对思维结果的一种验证. 3. 模拟本质上是一种求解问题的试验方法, 需要进行较多次数的重复模拟,并且对试验结 果还需进行统计分析. 铣 扔 疙 肥 崩 库 奴 忽 缀 愁 船 楷 庚 乒 乐 出 佩 颐 苏 破 关 号 猎 弓 坐 敞 矩 七 形 降 葫 碧 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 4. 上千万次的模拟计算工作可以借助计算机 完成, 而且运算速度是非常快. 听 畅 等 袜 巡 荚 做 茹 娃 绣 戍 皖 阀 布 函 垃 账 戊 募 商 钧 儡 萍 宠 甘 被 挽 洪 垢 应 舅 泪 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件 蒙 特 卡 罗 模 拟 8 p p t 课 件