毕奥—萨伐尔定律.pdf

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1、1 1819-20年年: : 奥斯特发现电流的磁效应奥斯特发现电流的磁效应 求解电流磁场分布基本思路：求解电流磁场分布基本思路： 将电流视为将电流视为 电流元的集合电流元的集合 电流元磁场公式电流元磁场公式 磁场叠加原理磁场叠加原理 电流磁场分布电流磁场分布 毕毕 萨定律：电流元产生磁场的规律萨定律：电流元产生磁场的规律, ,与点电荷电场与点电荷电场 公式地位等价公式地位等价 11-2 毕毕 萨定律萨定律 1. 1. 毕奥毕奥萨伐尔（萨伐尔（Biot-Savart）定律）定律 载流导线中的电流为载流导线中的电流为I， 导线半径比到观察点导线半径比到观察点P的距的距 离小得多离小得多，即为线电流

2、即为线电流。在在 线电流上取长为线电流上取长为dl的定向线的定向线 元元，规定规定的方向与电流的的方向与电流的 方向相同方向相同，为为电流元电流元。 lI d l d I Idl 3 电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小电流元在给定点所产生的磁感应强度的大小 与与Idl成正比成正比，与电流元和矢径夹角的正弦成正比与电流元和矢径夹角的正弦成正比， 与到电流元的距离平方成反比与到电流元的距离平方成反比。 2 sind d r lI kB B d r P l d I lI d B d r 方向满足右手螺旋方向满足右手螺旋 4 0 3 d B(11 17) 4 L Ilr r 0 3 d d(11

3、16) 4 I lr r 磁感应强度的矢量式：磁感应强度的矢量式： Biot-Savart定律定律 的微分形式的微分形式 Biot-Savart定律的积分形式定律的积分形式 其中其中 0=4 10-7NA-2， 称为称为真空中的磁导率真空中的磁导率。 0 2 d sin d 4 Il B r B d r P l d I 5 2. 2. 运动电荷的磁场运动电荷的磁场 -电流元磁场的本质电流元磁场的本质 电电 流流 运动电荷运动电荷 形成形成 磁磁 场场 6 设电流元设电流元，横截面积横截面积S，单位体积内有单位体积内有n个个 定向运动的正电荷定向运动的正电荷,每个电荷电量为每个电荷电量为q，定向

4、速度定向速度 为为v。 l dI 单位时间内通单位时间内通 过横截面过横截面S的电量的电量 即为电流强度即为电流强度I: 电流元在电流元在P点产生的磁感应强度点产生的磁感应强度 qnvSI 2 0 sind 4 d r lqnvS B I I dl P 设电流元内共有设电流元内共有dN个以速度个以速度v运动的带电粒子：运动的带电粒子： lnSNdd 7 每个带电量为每个带电量为q的粒子以速度的粒子以速度v通过电流元所通过电流元所 在位置时在位置时，在在P点产生的点产生的磁感应强度大小磁感应强度大小为：为： 2 0 sin 4d d r qv N B B 方向：方向： 2 0 sind 4 d

5、r lqnvS B lnSNdd I I dl P 正电荷速度正电荷速度v v的方的方 向与电流元同向，向与电流元同向， 由上式：由上式： rv B 的方向为的方向为的方向的方向 8 矢量式：矢量式： 运动电荷除激发磁场外运动电荷除激发磁场外，同时还在其周围同时还在其周围 空间激发电场空间激发电场。 3 0 4r rvq B q r v E B P r r q E 3 0 4 1 + q0 v r r v 0q 9 3 0 4r rvq B 3 0 1 4 q Er r EvB 00 运动电荷所激发的电场和磁场是紧密联系的。运动电荷所激发的电场和磁场是紧密联系的。 10 应用举例：应用举例：讨

6、论一些典型电流的磁场分布讨论一些典型电流的磁场分布 求解电流的磁场分布基本思路：求解电流的磁场分布基本思路： 将电流视为电流元将电流视为电流元 （或典型电流）的（或典型电流）的 集合集合 电流元（或典型电流元（或典型 电流）磁场公式电流）磁场公式 和磁场叠加原理和磁场叠加原理 电流磁电流磁 场分布场分布 11-3 毕毕 沙定律及其应用沙定律及其应用( (续续) ) 11 1. 1. 载流长直导线的磁场载流长直导线的磁场 设有长为设有长为L的的载流直载流直 导线导线，通有电流通有电流I。计算计算 与导线垂直距离为与导线垂直距离为d的的p 点的磁感强度点的磁感强度。取取Z Z轴沿轴沿 载流导线载流

7、导线，如图所示如图所示。 O P B d 1 2 I L l d r ld 12 3 0 d 4 d r rlI B 所有所有d dB B的方向相同，的方向相同， 所以所以P P点的点的的大小为的大小为： B LL r lI BB 2 0 sind 4 d 按毕奥按毕奥萨伐尔定律有：萨伐尔定律有： O P B d 1 2 I L l d r ld 13 LL r lI BB 2 0 sind 4 d 由几何关系有：由几何关系有： secdr cossin dsecd 2 dl tandl O P B d 1 2 I L l d r ld dcos 4 2 1 0 d I L r lI B 2

8、0 sind 4 12 0 sinsin 4 d I 14 考虑三种情况：考虑三种情况： d I B 2 0 ( (1 1) )导线无限长导线无限长，即即 ( (2 2) )导线半无限长导线半无限长，场点与一端场点与一端 的连线垂直于导线的连线垂直于导线 d I B 4 0 ( (3 3) )P点位于导线延长线上点位于导线延长线上，B= =0 0 12 0 sinsin 4 d I B O P B d 1 2 I L l d r ld 2 1 2 2 I B 15 I P R 0d yy BB由对称性：由对称性： 练习：练习：半径半径R, ,无限长半圆筒金属面通电无限长半圆筒金属面通电 流流I

9、，求轴线上，求轴线上B 解：解：通电半圆筒面通电半圆筒面 电流线电流线( (无限长直电流无限长直电流) )集合集合 R I R I BBB x 2 0 0 2 0 2 dsin sind x 沿沿方向方向 Id B d R P I d dB d dd I R R I I R I R I B 2 00 2 d 2 d d d x y 2. 2. 载流圆线圈轴线上的磁场载流圆线圈轴线上的磁场 在场点在场点P P 的磁感强度为的磁感强度为 3 0 d 4 d r rlI B 设有圆形线圈设有圆形线圈L，半径为，半径为R，通以电流，通以电流I。 P O R lI d r / dB B d B d x

10、I sin d 4 2 0 L r lI / dBB L sindB L R l r I 2 0 2 0 d 4 sin P O R lI d r / dB B d B d x I 各电流元的磁场方向不相同，可各电流元的磁场方向不相同，可分解为分解为 和和，由于圆电流具有对称性，其电流元的，由于圆电流具有对称性，其电流元的 逐对抵消，所以逐对抵消，所以P P点点的大小为：的大小为： B d B B d / dB 0 2 sin 2 I R r 0 2 sin 2 I BR r 2 1 )( sin, 22 222 xR R r R xRr 2 3 2 3 )(2)(2 22 0 22 2 0

11、xR IS xR IR B 2 RS P O R lI d r / dB B d B d x I 19 2 3 2 3 )(2)(2 22 0 22 2 0 xR IS xR IR B 20 1. . 定义电流的磁矩定义电流的磁矩nSIP m 讨论：讨论： 规定正法线方向：规定正法线方向：与与指向成右旋关系指向成右旋关系In 电流所包围的面积电流所包围的面积:S nRIP m 2 圆电流磁矩：圆电流磁矩： 2 3 22 0 2 3 22 2 0 )(2)(2xR P xR iIR B m 圆电流轴线上磁场：圆电流轴线上磁场： R IN BN R I B 2 : ; 2 0 0 0 0 匝 2.

12、 圆心处磁场圆心处磁场 0 x I S m P n 21 xB3. 画画曲线曲线 x o B 练习：练习： I o R o R I ? o B 8 0 0 R I B R I R I B 4 8 3 00 0 i xR IR B 2 3 22 2 0 )(2 22 3. 3. 载流直螺线管内部的磁场载流直螺线管内部的磁场 设螺线管的半径为设螺线管的半径为R，电流为电流为I，每单位长度每单位长度 有线圈有线圈n匝匝。 R 1 A lld 2 A 2 r 1 p B d 23 由于每匝可作平面线圈处理由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作匝线圈可作 Indl的一个圆电流的一个圆电流，在在P点

13、产生的点产生的磁感应强度磁感应强度： 2/322 2 0 )(2 d d lR lnIR B R 1 A lld 2 A 2 r 1 p B d LL lR lnIR BB 2/322 2 0 )(2 d d 24 cotRl R 1 A lld 2 A 2 r 1 p B d 2222 cscRlR又 L lR lnIR B 2/322 2 0 )(2 d dcscd 2 Rl dsin 2 2 1 0 nI )cos(cos 2 12 0 nI 25 讨论：讨论： nIB 0 2/ 0nI B 实际上实际上，LR 时时，螺线管内部的螺线管内部的 磁场近似均匀磁场近似均匀，大大 小为小为nI

14、 0 )cos(cos 2 12 0 nI B （1 1）螺线管无限长螺线管无限长 （2 2）半无限长螺线管的端点圆心处半无限长螺线管的端点圆心处 0, 21 nI 0 B O 1 A 2 A 2 0nI 1 A 2 A 2 r 1 p B d 26 例题例题1111- -1 1亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆亥姆霍兹线圈在实验室中，常应用亥姆 霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由霍兹线圈产生所需的不太强的均匀磁场。特征是由 一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的一对相同半径的同轴载流线圈组成，当它们之间的 距离等于它们的半径时，试计算两线圈中心处和轴距离等于它们的半径时，试计

15、算两线圈中心处和轴 线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时线上中点的磁感应强度。从计算结果将看到，这时 在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。在两线圈间轴线上中点附近的场强是近似均匀的。 R O1 R Q1PO2Q2 R 解解 设两个线圈的半径为设两个线圈的半径为R R， 各有各有N N匝匝，每匝中的电流均每匝中的电流均 为为I I，且流向相同且流向相同（如图如图）。 两线圈在轴线上各点的场强两线圈在轴线上各点的场强 方向均沿轴线向右方向均沿轴线向右，在圆心在圆心 O O1 1、O O2 2处磁感应强度相等处磁感应强度相等， 大小都是大小都是 27 两线圈间轴线上中点两线圈间轴线上

16、中点P P处，磁感应强度大小为处，磁感应强度大小为 R NI R NI RR NIR R NI B 00 2/3 22 2 00 0 677.0 22 1 1 2 2 2 R NI R NI R R NIR BP 0 0 2/3 2 2 2 0 716.0 22 1 1 55 8 2 2 2 R O1 R Q1PO2Q2 R 28 此外，在此外，在P P点两侧各点两侧各R/4R/4处的处的Q Q1 1、Q Q2 2 两点处磁感应强度都 两点处磁感应强度都 等于等于 R NI R NI R R NIR R R NIR BQ 0 3 3 2/3 3 0 2/3 2 2 2 0 2/3 2 2 2

17、0 712.0 5 4 17 4 2 4 3 2 4 2 R O1 R Q1PO2Q2 R 29 在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介在线圈轴线上其他各点，磁感应强度的量值都介 乎乎B B0 0、B BP P 之间。由此可见， 之间。由此可见，在在P P点附近轴线上的场点附近轴线上的场 强基本上是均匀的强基本上是均匀的，其分布情况约如图所示。图，其分布情况约如图所示。图 中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场中虚线是每个圆形载流线圈在轴线上所激发的场 强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲强分布，实线是代表两线圈所激发场强的叠加曲 线。线。 O1Q1PQ2O2 30 小结：小结：

18、用毕用毕 沙定律求沙定律求分布分布B (1) 将电流视为电流元集合（或典型电流集合）将电流视为电流元集合（或典型电流集合） (2) 由毕由毕 沙定律（或典型电流磁场公式）得沙定律（或典型电流磁场公式）得B d BB d (3) 由由叠加原理叠加原理（分量积分）（分量积分） 31 典型电流磁场公式：典型电流磁场公式： 3. 无限长载流直螺线管内的磁场：无限长载流直螺线管内的磁场：nIB 0 2 3 22 0 2 3 22 2 0 )(2)(2xR P xR iIR B m 2. 圆电流轴线上磁场：圆电流轴线上磁场： 1. 无限长直电流：无限长直电流： a I B 2 0 圆电流圆心处磁场：圆电流圆心处磁场： 2 0 0 R I B 电流的磁矩：电流的磁矩：nSIP m