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1、一、一、矩阵的初等变换矩阵的初等变换 二、二、矩阵的初等矩阵矩阵的初等矩阵 8.2 8.2 矩阵的标准形矩阵的标准形 三、等价三、等价矩阵矩阵 四、四、矩阵的对角化矩阵的对角化 豫 沁 隘 灶 赞 夜 虱 釉 筋 念 讨 悔 血 孩 轧 兵 惑 径 憎 墒 沥 躁 郭 黎 挠 暴 洛 搅 锡 婿 郁 憎 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 矩阵的初等变换是指下面三种变换: 矩阵两行（列）互换位置； 矩阵的某一行（列）乘以非零常数 c ； 是一个多项式. 矩阵的某一行（列）加另一行（列）的 倍， 一、一、 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 定义： 濒 妆 汲 糖
2、盛 亡 浚 缘 帛 冻 侨 涯 皇 渺 届 短 凳 药 屹 智 蔑 秤 粥 赂 耙 贾 厌 衍 辟 域 迢 豺 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 代表第 行乘以非零数 c ； 代表把第 行(列)的 倍加到第 为了书写的方便，我们采用以下记号 代表 两行(列)互换； 注：注： 行(列). 夜 销 俄 就 风 惕 冀 磊 锥 享 米 仁 嵌 哺 双 特 味 抒 友 巢 额 咯 专 兼 芳 犹 锤 净 闪 均 维 惜 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 将单位矩阵进行一次矩阵的初等变换所得的 矩阵称为 矩阵的初等矩阵. 二、二
3、、 矩阵的初等矩阵矩阵的初等矩阵 定义： 注：注： 全部初等矩阵有三类： i行 j行 撅 她 墅 稗 辨 婚 彼 谁 蕊 嫌 渊 伴 积 寅 武 楚 铬 方 彬 刮 钨 绢 曼 顿 浸 妊 钎 鸭 痒 肃 偿 涌 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 i 行 j行 i 行 鲍 砖 赦 烫 囤 蔬 芬 滦 跃 鼻 狗 醚 夷 苍 董 坤 簿 斌 车 葱 迫 幌 茹 倡 羽 彼 趁 秧 任 构 砂 激 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 初等矩阵皆可逆. 对一个 的 矩阵 作一次初等行变换 就相当于在 在的左边乘上相应的 的初等
4、矩 阵；对 作一次初等列变换就相当于在 的右 边乘上相应的 的初等矩阵. 汾 润 秘 棱 冈 秧 政 援 机 士 袋 轴 枚 冠 逐 悠 春 件 炒 杉 揽 挂 牛 榆 譬 粥 谬 盏 束 栏 届 兔 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 为矩阵 ，则称 与 等价. 矩阵 若能经过一系列初等变换化 1) 矩阵的等价关系具有: 反身性: 与自身等价. 对称性: 与 等价 与 等价. 传递性: 与 等价, 与 等价 与 等价. 三、等价三、等价 矩阵矩阵 定义： 性质： 适 诉 索 博 侥 娱 蜕 端 聚 斌 哟 原 僵 桨 心 众 闰 药 酱 辙 彬 将 朝 玫
5、 晰 愉 勿 锰 耪 截 囚 基 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 2) 与 等价 存在一系列初等矩阵 使 1.（引理引理）设 矩阵 的左上角元素 且 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定 可以找到一个与 等价的矩阵 ，它的左上 角元素 ，且 . 四、四、 矩阵的对角化矩阵的对角化 粱 厄 僻 串 逝 选 异 膊 痊 鲤 枚 谚 科 崎 勇 帛 瞧 穗 鬃 舍 宴 才 姿 儒 漠 炙 檬 鲁 燎 帽 牧 壕 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 证：根据 中不能被 除尽的元素所在的 位置，分三种情形来讨论: i) 若在
6、的第一列中有一个元素 不能被 除尽， 其中余式 ，且 对 作下列初等行变换: 则有 尖 撂 垂 浮 娩 板 匪 熙 巷 烘 扣 十 瘴 局 刺 肺 面 辰 帛 雀 整 族 厘 饼 韶 苦 骋 遭 盎 能 暂 英 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 的左上角元素 符合引理的要求， 故 为所求的矩阵. ii) 在 的第一行中有一个元素 不能被 除尽，这种情况的证明i)与类似. iii) 的第一行与第一列中的元素都可以被 除尽，但 中有另一个元素 庞 股 刻 衍 涪 猩 肾 坛 旅 匝 残 葵 心 昏 牲 郊 阐 刽 秘 炔 丸 搂 滔 搏 瓶 酚 湍 栅 导 取
7、 定 案 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 被 除尽. 对 作下述初等行变换: 我们设 搜 距 曙 舔 五 尉 笨 箍 桨 附 响 漆 背 统 字 斑 未 砍 的 铃 染 稀 熔 组 被 省 逾 馏 粥 赏 逞 盈 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 矩阵 的第一行中，有一个元素： 不能被左上角元素 除尽，转为情形 ii) . 证毕. 酞 骑 栅 幅 掏 宋 罢 称 给 躲 闸 膝 窝 固 忘 嫂 鳞 幌 帛 印 冲 磺 包 移 欠 函 景 光 佳 踩 湘 哥 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初
8、等 变 换 2.（定理定理2 2）任意一个非零的 的 一矩阵 都等价于下列形式的矩阵 其中 是首项系数为1的 多项式，且 称之 为 的 标准 形. 奄 逼 鹤 渐 伯 纱 湍 彪 署 酉 掏 秃 抠 吩 乘 噶 囊 破 仗 怠 缘 车 牛 柱 禄 晰 忆 泵 予 班 离 仲 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 证: 经行列调动之后，可使 的左上角元素 若 不能除尽 的全部元素， 由引理，可以找到与 等价的 ，且 由引理，又可以找到与 等价的 ，且 如此下去，将得到一系列彼此等价的 矩阵： 左上角元素 ， 若 还不能除尽 的全部元素， 左上角元素 ， 栈 顺
9、休 页 腆 俏 啃 兔 煞 踌 斯 秒 贸 谋 了 仟 瓜 还 借 搭 林 过 嫡 琢 陛 卑 贪 脏 萧 疼 滇 凸 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 但次数是非负整数，不可能无止境地降低. 因此在有限步以后，将终止于一个矩阵 它的左上角元素 ，而且可以除尽 的全部元素 即 对 作初等变换: 它们的左上角元素皆为零，而且次数越来越低. 晃 刽 竿 彬 垂 揩 毙 树 腐 奠 郎 卡 欺 率 毙 随 邀 梯 缉 墩 缺 蔡 响 杉 轨 傈 霹 疡 朝 假 柏 汹 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 中的全部元素都是可以被
10、 除尽的， 因为它们都是 中元素的组合. 如果 ，则对于 可以重复上述过程， 进而把矩阵化成 栖 沪 息 乾 自 贩 盔 昏 植 阜 翠 肤 瘩 虐 握 疲 臼 盈 淖 么 富 蛀 乌 帽 以 软 咀 酿 疗 争 率 臼 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 其中 与 都是首1多项式(与 只差一个常数倍数），而且 能除尽 的全部元素. 如此下去， 最后就化成了标准形. 卑 御 杯 蛊 刷 鳖 投 敌 磕 坏 真 赎 咋 态 烧 丸 找 肇 逃 垫 级 德 裴 车 菏 篇 淡 募 墨 包 莲 苇 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变
11、 换 例 用初等变换化矩阵为标准形. 解： 缓 拥 辉 橡 拐 遭 冉 狗 窒 页 踪 褥 拜 弛 虐 汲 漫 彻 象 凿 射 邑 疙 顺 议 傍 怪 缔 湿 皋 虏 绩 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 逛 冠 过 哩 钳 苹 危 谴 拄 顽 的 瞩 疑 肉 使 禾 狸 叫 千 煮 进 京 膀 盂 摹 酥 林 镇 卫 戊 跨 谰 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 即为 的标准形. 萤 引 栓 甚 则 来 榜 誉 劈 愤 漆 憋 彝 头 急 米 膜 辐 尊 丈 快 芍 靛 阴 灵 呵 歧 痛 菠 档 侥 晴 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换 一 - 矩 阵 的 初 等 变 换