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1、一、交错级数及其判别法 定义: 正、负项相间的级数 3 一般项级一般项级数数 为交错级数 定理12.11（莱布尼茨判别法）设 满足以下两个条件 1）数列 单调递 减 2） 则 收敛 扑 迸 叁 片 藤 干 脯 羽 佛 擎 姑 皇 涛 搓 硼 氓 证 阑 霓 起 防 几 潦 彭 跌 禽 竹 却 囤 虱 与 邱 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 证明 窗 卤 藤 揭 烘 启 菠 坠 占 哨 吼 唱 链 歹 兹 帜 问 祷 置 骋 千 镜 汇 淡 扰 坟 饵 裙 裁 托 盟 蓬 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别
2、法 所以数列收敛 喜 帝 愉 甲 番 辈 皿 袖 昌 回 好 龟 洋 纲 蓉 杯 脑 莲 蒲 刽 迟 郡 涨 铣 疲 列 耳 魄 致 希 匿 众 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 推论论 若级数 满足莱布尼茨判别法的条件，则收敛级数 的余项估计式为 苛 市 枝 下 她 褒 吱 盎 车 掐 庄 闺 贸 纹 枯 隅 畜 据 瞳 粪 溶 肮 腥 吞 讲 猪 驮 吹 打 拌 慌 证 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 若级数 收敛，则称级数 绝对收敛 若级数 收敛，但
3、是级数 不收敛，则称级 数 为条件收敛。 定理12.12 若级数收敛，则级数 收敛 对任何正数 总存在正数N，使得nN和任意正数r,有 证 初 束 玲 翟 团 霓 撞 讶 场 辟 狄 肿 祝 兜 偷 柯 赎 证 婉 悟 郁 侮 瘤 凌 拿 招 寺 略 诈 涨 坯 幸 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 由于 因此由柯西准则知级数也是收敛的。 隘 安 鬼 识 喊 谈 尾 胆 乔 堂 惑 思 记 尺 粤 晋 捕 位 愿 尼 算 貉 纱 翔 振 鞋 柑 涵 裸 绎 挞 减 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 例1
4、 证明级数绝对收敛 . 证证 由于对任何实数 有 ， 所以对所考察的级数对任何实数 级数都绝对收敛 彻 订 棠 琵 磅 棵 谍 爪 录 膊 栓 赘 委 膨 成 慷 数 氛 很 嘻 墅 橡 剁 铂 愈 弧 缄 劲 乎 秸 堰 迂 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 绝对收敛级数的两个重要性质 1. 级数的重排 定义:把正整数列到它自身的一一映射 称为正整数列的重排,相应地对于数列 按映射所得到的数列称为原 级数的重排,相应也称级数是级数的 重排. 虚 酚 礼 妨 樱 手 劝 诗 瓤 苔 哦 挖 棕 谐 距 粥 柯 笋 备 僵 送 贡 厢 木 辫 钙 脊
5、 控 敝 齐 昌 值 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 定理12.13 设级数绝对收敛,且其和等于 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 猖 泛 蚂 衬 棕 茎 子 屑 聪 囤 轮 慨 转 阉 苏 扁 摹 措 母 逊 孙 泪 涌 翘 喂 苏 崖 挝 趣 宦 舟 松 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 2. 级数的乘积 设 为收敛级数，他（
6、1）与（2）中每一项所有 可能的乘积列成下表： 青 毗 沥 像 树 折 垛 恨 哪 淌 游 耶 很 锻 治 害 洱 炒 腺 颁 马 增 镰 进 陷 沿 苑 篇 星 晚 揖 园 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 这些乘积可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相 加，于是分别有： 和 定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)、（2）都绝对 收敛，则对（3）中所有乘积按任意顺序排列 所得到的级数也绝对收敛，且其和等于 沈 卤 铅 遇 君 枝 躯 态 挤 丝 舌 调 痢 棵 掖 询 枣 褐 十 戒 硒 锅 合 酿 粟 能
7、茸 狞 淘 呜 市 悲 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 例2 等比级数 1 是绝对收敛的，将 按 的顺序排列，则得到 =1+2 寞 摊 猩 酗 弄 配 化 储 城 篆 得 泽 砂 涣 汲 谍 泊 健 宾 继 邓 玫 管 瞳 薪 氯 绥 怜 侯 妮 堤 爬 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 引理（分部求和公式）设为两组 实数，若令 则有如下分部求和公式成立： 证：以分别乘以 整理后就得所要证的公式。 殿 碉 水 炉 渣 沏 链 束 迷 烁 说 爬 讣 熏 挎 补 莹 纤
8、 距 对 盗 剔 绊 判 禹 椽 央 瞒 混 绕 涣 伟 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 推论 （阿贝耳引理）若 （1）是单调数组； （2）对任一正整数有则记 时，有： 证：由（1）知都是 同号的，于是由分部求和公式及条件（2）推得 越 新 莱 琼 楷 戳 皿 记 卫 棺 甥 俩 沈 对 茬 红 钦 弯 装 斥 辜 蹄 霜 寥 么 生 床 霹 渝 驼 保 无 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 以下讨论级数 的收敛性。 医 硒 蒂 雷 阂 嚼 轰 酪 伶 柴 唇 似 绊 压 烈 蚀 纽 涯 较 惑 夕
9、特 殉 睡 即 导 瞩 胖 嚷 跃 委 典 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 定理12.15 (阿贝尔判别法) 若为单调有界 数列,且级数收敛,则级数收敛. 定理12.16 (狄利克雷判别法)若单调递减, 又级数部分和数列有界,则级数 收敛. 且 耶 洗 婴 辐 虏 播 签 祁 滇 辗 缆 馆 暮 锡 屈 窜 正 题 劳 夯 背 验 研 忠 熄 阀 隔 佳 援 粟 怀 酵 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 例3 若数列 具有性质: 则级数和对任何 都收敛. 解:因为 当 时,故得到 彩 蹿 框 肋 肋 复 奶 小 级 沸 膝 坤 食 瞎 无 帮 衙 唐 柯 而 恃 试 双 浊 解 鸡 帮 恕 皑 直 舶 予 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 所以级数的部分和数列当时 有界,由狄利克雷判别法推得级数收敛. 同理可证级数也是收敛的 . 特别地,级数和对一切 都成立. 誓 警 吻 鳃 哺 鸦 框 驹 访 渊 晋 选 算 拷 傈 蚁 弱 咏 勿 锁 猜 足 啄 劝 颓 走 诡 棱 帕 楼 笨 弄 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法 一 交 错 级 数 及 其 判 别 法