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1、理论前沿 O h l n a E d u c a t io n In n o v a t i o n H e r a ld U 二 = = ： ： = ： ： 求逆矩阵的几种常用方法总结 林见松 赵凤 华 ( 1 日照广播电视大学 山东日照 2 7 6 8 0 2 ；2 山东日照师范学校 山东日照 2 7 6 8 0 0 ) 摘要 ：根 据 方阵 的特 点 ，本文 结合 倒题 给 出 了求逆 矩阵 的 几种 常 用方 法 。 关键 词 ：逆 矩阵 初 等变换 伴随 矩阵 分块 矩阵 中图分类号 ： G 6 5 2 文献标识 码 ：A 文章编号：1 6 7 3 -9 7 9 5 ( 2 0 0
2、9 ) 0 5 ( a ) 一 0 0 9 5 - 0 1 在 学 习 线性 代数 或 高 等代数 时，有关矩阵计算在矩阵理论与应用中占有 重要地位。如何判断某方阵可逆或求出它的 逆 矩阵是 一 常 见题 型 。现 将判 断 方阵 可逆并 求其逆矩阵的多种方法总结如下 ， 供参考。 1定义法 对于n阶方阵 A， 若有一个n 阶方阵B使 得 AB=BA=I ，则称 A为 可逆矩 阵 ，B为 A 的逆矩 阵 。 此法常用干矩阵的理论推导上，当题 目 中出现关于 A的关系式时， 可通过恒等变形， 变为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式。 例 l ：已知 n 阶矩阵 A满足A + 2 A- 3 I = 0
3、 证明：A+ 4 1 可逆并求出( A+ 4 I ) 。 证明：把 A + 2 A- 3 I = 0 变形为 A + 2 A一 8 I = 一5 I ，即( A+ 4 I ) ( A2 I ) =一5 I ， 可 得 ( A + 4 D ( A 三 ) I 所 以 存在 一 个矩 阵 B A + ； I ，使得( A + 4 I ) B = I ，由定义知 可逆， 且( A + 4 I ) = 一 A ； I 。 2 伴随矩阵法 定 理 ：n阶 矩 阵 A 可 的 充 要 条 件 是 l A l 0 ，且在A可逆时 ： ，其中A 是 A 的 伴 随 矩 阵 。 。 这种求逆矩阵的方法称为伴随矩
4、阵法 。 该法主要应用干逆矩阵或伴随矩阵的理论推 导 上 ，但对于 阶数 较低 ( 一 般不 超过 3 阶) 或元 素的代数余子式已经计算的矩阵可用此法求 逆矩 阵 。但要 注意 以下 几点 ： ( 1 ) A 中元素 A 不是矩阵A中a 余子式 ， 计算时勿遗漏代数符号( 一1 ) 。 ( 2 ) 元素 A 位于 A 中第j 行第 i 列，而不 是第 i 行第 j 列。 ( 3 ) 此定理不仅是判断方阵可逆的充要条 件 ，同时也给出了求逆矩阵的公式。此公式 必须 在先 判 断方 阵 可逆 的前 提下 才 能使 用 。 3 1 4 例 2：判 断 矩 阵 = 1 0 0 f 是 否 可 I 2
5、 1 5 l 逆 ? 若 可 逆 ，求 A_ 。 。 解 ：因为 ： 一 1 0 ， ， 所以 A可逆 ，又 =0 A I =5 A n 。 1 鸡l 。一 1 也 =一 2 3 ， ； = 一 5 Al q也2 4 4 = 1 ， 3 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，特 别是在方阵阶数较高时 ，常用初等变换法。 如果 A可逆 ，则 A可通过行初等变换 ， 化为单位矩阵 I ， 即存在初等矩阵 P 。 P ， P ， 使得( 1 ) P P ， P = I ， 用 A 右乘上式两端 ， 得 ：( 2 )P ，P P I = A 一。 比较( 1 ) 、 ( 2 ) 两式 ， 可看到
6、当 A通过行初 等变换化为单位矩阵的同时 ， 对单位矩阵I 作 同样的初等变换 ，就化为 A的逆矩阵 A。 用矩阵表示 I 塑 墅 ( I A j 就是 求逆矩 阵 的初等 列变换 法 f 3 1 4 例 2 ： 已 知 矩 阵 = i o 。 习 专 A 【 2 j 一 5 J 解 ： 由 川 习 在事先不知 n 阶矩阵是否可逆的情况下， 也可以直接用此法。如果在初等变换过程中 发现左边的矩阵有一行元素全为0 ， 则说明A 不 可逆 ，即 I Af = O ，则不存 在 。 例 。 2 3 4 5 6 7 0 。 例： 求A l l 。 【 8 J 解： 、 9 由于左端矩阵中有一行元素全为
7、0 ， 故 A 不 可 逆 。 注意 ： 上面是用作行初等变换求逆矩阵 ； 同样只用初等列变换也可求逆矩阵，但在计 算时单位矩阵I 3 ； 放在A的右边 ， 而是放在A 的下面 。 用矩阵表示： f )J 监 叫 ) 就是求逆 矩 阵 的初 等 列 变换 法 。 4 用分块法求逆矩阵 有些矩阵阶数较 高，而且 形如 ： 、A ) ， e = ： ： 三 ) ， = 芝 ) = ： ， 。 的 分 块 矩 阵，用分块矩阵求逆矩阵较方便 ，可简化计 算。现用其中一矩阵为例说明求逆矩阵的方 法，其他类似。 N4 ： 设有n阶可逆方阵屿= f L o竺 j ， 其 中 A A 为 r ， s ( r
8、+ s = n ) 阶可逆方阵，求 M， 一。 解：设M， _ 。 ， 且M， 与M， 有相同的分法， 从 而 m 扎 ： ： = 冀 I ) = ) 得 到 一 个 线 性 方 程 组 为 ： ： 。 ， I x = 由于 A 1 I 、A2 2 可逆 ，故 A 1 l 一 、A 2 2 一 存在 f x I l A n 解得： X la ， - 。 l l 一 。 【 x * A 从 而 求 得 = 。n l ) 。 同 样 方 法 可 得 ： =( _ M - 1= A z ： 4 = 0 0 ) ， 这些推导出的公式可求出该类分块矩阵 的逆矩阵 ，做题过程 中可直接利用。 例 5： 设
9、 f ： a。l 0 。0 1 = 二 l 其 中 a 。 0 ， i = l ， 2 ， ， n ， 求 o o o o A _。 0 ” 0 1 f 0 B 0 0 1 因 詹 =l。0 = 。0 j得 剀 。 j l 。o- f 五 另外 ，有些计算命题中虽出现逆矩 阵， 但通过适 当的矩阵运算可消去 ，因而勿急于 求 出逆矩阵 。 例 6 ：计算( 4 I + A) ( 4 I -A ) ( 1 6 I - A ： ) 的 行列式 。其 中 一 。1 q 解 ： 令 D =i4 1 + A ( 4 I A ) 一 ( 1 6 I 一 ) i 。 D = 4 + A 一 (4 I A )
10、 ( 4 I + A ， + A = 忙 4 I + A 题中虽含( 4 I + A) ，但经化简后不再 出 现此式，因而勿需计算( 4 I - A) - 。 ，最后得到 D = k 4 I + A ： 2 2 5 0 0 。 参考文献 】 】1北京大学 高等代数( 第三版) M】 高等教育 出版社 ， 2 0 0 4 2 李林署， 施光燕 大学数学( 线性代数) M 中央广播 电视大学 出版社， 2 0 0 2 【 3 熊全淹 高等代数 J 武汉教育学院， 北京 教育学院 ， 上海教育学院 高等教育出版 社 ， 1 9 9 8： l 0 中国科教创新导刊C h i n a E d u c a t i o n In n o v a t io n H e r a l d 9 5 。 。 0 D I O O 0 r 。 【 1 l 姒 0 l I 矗 I 1 ， r，j 0 0一 0 0 。一 ； 令 ： l 【 解 、 1 J 1 J 0 叫 T 珏 5 0 ， ， 1 l I 一 一 l i