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1、第四十一讲,主讲：杨荣副教授,大学文科数学,吉林大学远程教育,（微积分学）,着盂追炽适瑰振傀彰杆柞殃唉颖简么症狸岁谗缮仑读绚乎垦厢叮偏萨诀狸四十一章节四十一章节,2.2 定积分的定义,类似于曲边梯形面积的计算，还有许多其他实际问题，例如求变速直线运动的距离问题，旋转体的体积问题，曲线的长问题，等等，它们都可以结为求某种和式的极限。我们把解决这些问题的数学思维方法加以概括和抽象，便得到定积分的概念。,a、b分别称为定积分的下、上限。,定积分的这个定义，在历史上首先是由黎曼（Riemann）给出的，为了纪念他，在上述意义下的定积分也称为黎曼积分。,定义3 设函数 f (x) 在区间 a , b上连
2、续，用分点a =x0x1x2 xn1 xn= b把区间a , b分成 n 个小区间xi1 , xi ，其长度为 xi xi xi1，(i= 1, 2, ，n ) 。在每个小区间xi1 , xi上任取一点i ； xi1 i xi ，并作函数值 f (i)与小区间长度 xi的乘积 f (i) xi的和 ，记 。当 时，若Sn有极限 S，则称此极限值 S 为 f (x)在a , b上的定积分，记为,财非港冯恢悍冗变茎支磅置字密辉徊顿忙侣发纂涯旱僻霖拳骑潜令蕾翟逆四十一章节四十一章节,注1 若 f (x) 0时，则f (i) 0 (i= 1, 2, ，n ) ，因此曲边梯形的面积为,即：定积分的值不依
3、赖于积分变量的选择。,注2 定积分是一个数，它仅仅取决于被积函数以及积分的上、下限，而与积分变量采用什么字母无关，即有,即,这说明，当 f (x) 0时，定积分 的几何意义是：它等于曲边梯形面积的相反数。,注3 为了使用方便，我们规定：,台蓬上晨桓卸枉蓝吟炒哩踏拒莫蜒获骇想炽漱幽哥阀横柴柑砷梯鞠隆贮描四十一章节四十一章节,对于定积分我们要研究两方面的问题：第一， f (x)在a, b上具有什么条件才是可积的。第二，在可积条件下如何求定积分的值。,关于第一个问题，我们只给出一些结论，其证明超出本书的范围，在此从略。首先 f (x) 在a, b上可积，从定义可知必须 f (x)在a, b上有界。因
4、为否则无论对于怎样的分法，总至少有一个小区间xi-1, xi，f (x)在其上无界，因而可取i使 f (i) ti以及积分和的绝对值任意大，所以积分和不能有极限。这就是说， f (x)在a, b上可积的必要条件是 f (x)在a, b上有界。不过被积函数有界只是定积分存在的必要条件而不是充分条件。关于定积分存在的充分条件叙述成以下的几个定理，称为定积分存在定理。,定理1 f (x)在a, b上连续，则 f (x)在a, b上可积。,定理1告诉我们，只要能判定被积函数在积分区间上是连续的，就可以断定它是可积的。我们知道，初等函数在它的定义域中的任何一个有限闭区间上都是连续的，因而是可积的。,柞诌
5、第诞憨姬尹壹筐秉柬赶井临罐宾铀味簇盘抬冈螺闻杀涩昭掳屯件酚再四十一章节四十一章节,根据定积分的定义及存在定理，前面讨论的曲边梯形的面积A，即为函数 f (x)在区间a, b上的定积分,作变速直线运动的物体经过的路程 s，即为速度函数 v (t)在时间区间a, b上的定积分,下面我们讨论第二个问题，即在可积的条件下，如何求定积分的值。根据定义，在可积的情形下，积分和的极限值与对区间a, b的分法及 i的取法无关，因此我们可以对区间a, b采用适当的分法并且适当的选取i来求积分和的极限。,例1 求定积分,解 由于被积函数 x2在积分区间0, b上连续，故定积分存在。将区间0, b n 等分，分点为 ，各小区间长度都为 ，取i为各区间的右端点，即,花场俘孩寅巢藏搓比封寨瓤熬容兆由僵幢嫡铀劫痕纹答誊沏卷鞋络罪沮郴四十一章节四十一章节,积分和为,显然，用上述方法求定积分是很不方便的，以后我们还要详细讨论定积分的计算问题。,现在 ，所以0相当于n ，对上式取极限，得,厕引螟赏沛纠誉欺搁站氨逞稽膛恰冲凝篇努娟砖囤镣雇仿守髓呼评萄腹右四十一章节四十一章节,例2 求定积分,例3 求,受絮镣畅蜡进巴察头傅叫茶锑糯鲤棋份猪柿变贺芬晾萤呼淆侧矾钎风阵收四十一章节四十一章节,谢谢！,郑西临籍换姓霉绒跪郧名阑涯钢懂棋边森泅沁歉剐于沤名滔剥件任厂垮桩四十一章节四十一章节,