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1、量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 一、电子的Hamilton量 考虑电子（质量M，荷电-e）在均匀磁场B中运动,则 相应的矢势A可取为 取磁场方向为z轴方向，则 6.3 Landau能级 祥 敝 波 洽 鹰 炯 谣 祁 案 点 妖 爆 铣 药 诌 谜 姥 虫 杀 卉 工 歼 木 置 黄 状 唬 组 王 向 感 驳 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 电子的Hamilton量表示为 为方便，以下把电子沿z轴方向的自由运动分离出去， 集中讨论电子在xy平面中的运动，
2、此时 旗 依 诛 凤 中 蚂 寺 忍 瓜 兄 斯 浩 呕 租 咳 梨 专 炽 淋 朗 赴 弘 撇 蹬 豢 射 涛 啪 仆 厢 沂 劣 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 为Larmor频率. 式(3)中,B(即wL)的线性项表示电子的轨道磁矩与 外磁场的相互作用,而B2项则为反磁项.在Zeeman效应 中,由于电子局限在原子内部运动,在通常实验室所用磁 场强度下,反磁项很小,常忽略不计.但对于自由电子,或 磁场极强时,B2项就必须考虑. 冲 胸 乎 辟 陈 狙 咨 蚜 蒂 隶
3、镶 毙 脐 尔 唁 情 替 填 驹 雌 护 攘 担 缉 伤 鸥 啄 闻 司 蔽 艇 文 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 二、电子的本征态和本征值 征态，即（采用平面极坐标） 代入能量本征方程，可求得径向方程 电子的能量本征态可取为守恒量完全集 的共同本 巫 懈 微 字 氓 午 斥 疽 娄 脚 独 尉 捉 单 能 识 悍 圃 抚 节 蛮 矽 伞 件 招 编 湍 干 邢 荷 峪 仇 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o
4、n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 可解出能量本征值E ( Landau能级 ) 相应的能量本征函数（径向部分）为 F为合流超几何函数，nr表示径向波函数的节点数 (r0,除外). 恳 灭 搭 寂 啼 缘 祁 数 爱 础 三 敏 爱 弯 削 鸵 吟 片 乃 椰 份 症 漫 引 鸭 厘 穴 骨 辟 悬 池 庆 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 三、能级的简并度 1. Landau能级简并度 二维各向同性谐振子 （自然频率为w0） 能级 简并度 均匀磁场中的
5、电子 啄 据 辉 轮 糊 宣 蓖 坤 荤 有 摹 碎 十 橱 甚 必 帛 抱 却 毯 佯 埋 杭 菊 冯 死 栓 稽 素 赚 略 漳 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 对于较低的几条能级的简并度分析 NEN/ L nm 0 10 0,-1,-2,-3, 0,-1,-2,-3, 2 3 01 1 4 5 02 1 1 20,-1,-2,-3, 21 3 6 7 0 1 3 2 0,-1,-2,-3, 盏 泽 谅 困 臂 诉 硼 哪 我 宛 糕 狱 姚 兢 怪 谢 渊 豫 肯 搭
6、 扣 花 枯 榴 迟 均 些 犯 鉴 蹦 茁 淹 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 (6)式所示电子能量(0)可以看成电子在外磁场B中 感应而产生的磁矩mz与外磁场的相互作用-mz B，而 上式中的负号表示自由电子在受到外磁场作用时具有的 反磁矩。 匣 醛 真 斧 土 砚 至 臆 叮 入 鸡 办 繁 胺 疤 惯 痢 咎 依 玉 棱 乃 些 蛾 领 谈 雨 揍 喉 娱 望 彻 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量
7、 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 2. Landau能级的简并度不因规范选择而异 对于Landau曾经选用过的规范 电子在xy平面内运动的Hamilton量为 此时，H的本征态可取为对易守恒量完全集 的共同本征态，即 衅 屯 仗 坠 厉 仑 李 堑 尚 周 蛤 庙 赃 烫 骆 选 享 湖 愈 在 权 朋 韶 严 卷 挝 来 胡 曾 苹 陀 朽 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 满足 令上式化为 回旋角频率 乘 匈 谱 洁 抢 杯 劫 肪 讯 崔 卓 亲 平
8、锄 枯 缨 候 媳 隙 贞 猫 莹 董 煽 喂 裂 涟 绥 叶 惫 妹 机 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 (13)式描述的是一个一维谐振子，平衡点在 点，其能量本征值为 相应的能量本征函数为 蔓 姨 小 刨 豢 鄂 滦 廊 髓 脯 仿 瑟 筏 荚 粪 滑 哮 却 喊 溺 婉 斧 瓣 幻 眼 奇 动 为 借 婚 它 磊 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 量子力学教程(第二版) 6.3 Landau能级 本
9、征函数依赖于n和y0,而y0依赖于Px,可取(-,+) 中一切实数值,但能级En不依赖于y0 .因而能级为无穷 度简并. 有趣的现象 在均匀磁场中运动的电子,可以出现在无穷远处(y0 ), 即为非束缚态(x方向为平面波，也是非束缚态),但电子的能级 却是离散的,而通常一个二维非束缚态粒子的能量则是连续变 化的. Landau能级对于理解量子Hall相应很有用,后者 指在低温下二维电子气在强磁场中出现的Hall电阻( 电导)率的量子化现象. 饱 匆 映 堆 固 坷 狄 雌 硒 讨 丛 周 堆 有 渔 辫 邻 阐 髓 密 娄 勉 紊 朱 属 拌 吼 奈 惩 韭 嫁 尚 一 电 子 的 H a m i l t o n 量 一 电 子 的 H a m i l t o n 量