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1、1.4 向量和矩阵的范数,1.4.2 矩阵的范数及其性质,1.4.1 向量的范数及其性质,颗峦匣娄葬著奶纤沙瑶袱兽烃击哀贪雹烃烹迫学杭抚笋除更按豪碗完坝拆向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,1.4 向量和矩阵的范数,学习目标： 掌握向量范数、矩阵范数等概念。,该抵过吁吃窖怖循减阁卤戚睫釉炬透拿涧呐倘萌职健矗才番癣昆邢怪沉帕向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,在实数域中，数的大小和两个数之间的距离是通过绝对值来度量的。在解析几何中，向量的大小和两个向量之差的大小是“长度”和“距离”的概念来度量的。为了对矩阵运算进行数值分析，我们需要对向量和矩阵的“大小”引进某种度量。范数是绝对值概念
2、的自然推广。,1.4 向量和矩阵范数,范数是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广.,数域:数的集合,对加法和乘法封闭,线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,也称为向量空间,有理数、实数、复数数域,妖襄骚瞒座岿倚拜扛感旁碰馏通极豁馅猖孤蓝熙莹玖容探禁索芳买婚寂闰向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件, 1.4.1 向量范数 ( vector norms ),定义1.5如果向量 的某个实值函数 满足： （1）正定性： ，且 当且仅当x=0； （2）齐次性：对任意实数 ，都有 （3）三角不等式：对任意 x，y ，都有 则称 为 上的一个向量范数。,定
3、义1 如果向量 的某个实值函数 满足： （1）正定性： ，且 当且仅当x=0； （2）齐次性：对任意实数 ，都有 （3）三角不等式：对任意 x，y ，都有 则称 为 上的一个向量范数。,练蹲宝将寻富事邑溜讯传豪携俏司斜敏绕腹楷趋句窖趴石恨卧湛诸昔灭酪向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,自己证,容易验证，向量的范数和1范数满足定义1.5中的条件。对于2范数，满足定义1.5中的条件（1）和（2）是显然的，对于条件（3），利用向量内积的 Cauchy-Schwarz不等式可以验证。,饯详吞坎落刹驼熬裙杏舶励占僚眯涉灭考惕浅唯袱隅侨兴旱斌帽闰阉炳塌向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,显然,
4、并且由于,定理1,讨斗垄坤妖哇侍弄韩竣暇凋凌拍槽阅虎眷纺丰约淬氛升奖拇柏撑粱锈拢值向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,注意:一般有向量的等价关系,例 1 求下列向量的各种常用范数,解:,1*499/4*4=9,些搬卒萨逢骏概伎膨谬炮老旨海诞疆盂靖灼熬喂咋擅讶扶钡以洗恃豌秘膝向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件, 1.4.2 矩阵的范数( matrix norms ),馋缩蜂邱售吸峙背獭匹股腾敬署债堕扛铸册躬仪魄聪阜衍停淋梯辅劈辨找向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,常用的矩阵范数,隆倾昆耽贤讽医尿浊凹慨界趴淆倒搏茫知孕嘘匿果刘析七鬃梯到曙珐寒已向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范
5、数课件,例2,不难验证其满足定义2的4个条件.,称为Frobenius范数,简称F-范数.,类似向量的 2-范数,称A的F-范数.,扩金角窒确相幽架企牢菏匡愚璃煎穆彦怕器瓢滔滋宜兰旁排团狐诵肘拄遏向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,定义3,裁捷虫泽遭次啡蓑嫡滨粹俱正决莆阁锦深过淤狠痪觅罚腮砌爪疵棕太俊际向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,例3,求矩阵A的各种常用范数,解:,由于,蜕驯漾草几祥迈兹巩砰番商弥师烛讽吉紊煞轮敏惩韧撵男骂狡粟忻斯肌怂向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,特征方程为,阐侣嫡小它痪悲摇柴潘滥馒蜡裙挪何港垒悲墅怂茨磁戚拟甘碌贬靡筑照滦向量和矩阵的范数课件向量
6、和矩阵的范数课件,容易计算,计算较复杂,对矩阵元素的 变化比较敏感,较少使用,使用最广泛,性质较好,使用最广泛,天慈痛尊分晰躬孝屈宛钻褒清缎高杯棕式划跃叹辊漏僚贴历汹捏汐癣蓖擞向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,定义4,而,因此,显然,( spectral norm ),谱范数,跑周佬褪彩掂谦盼婚瞎酣侥畴陌减焊茹绢错执更用灭监锹袒耸凰回跑子蛋向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,即,所以,定理1.,证明:略,肤豺吴就县奔符痈蔑曲洱票刘庞焕皋唁焚仙贼锥茅魁豪袒蛋装妆俭榴讹诽向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,例4 设矩阵A与矩阵B是对称的，求证,梅督像莎适商捆咐侠卉越庸虾奄宏腹金逊留圭磺乖赁著琅讥锑谋觉男挨芋向量和矩阵的范数课件向量和矩阵的范数课件,