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1、 9.49.4 正交变换正交变换 一、一般欧氏空间中的正交变换一、一般欧氏空间中的正交变换 9.4 9.4 正交变换正交变换 二、二、n n 维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换 舜 颠 吨 率 扑 姆 毡 肖 蓝 森 骑 歉 贿 演 醒 旗 己 扬 峻 楚 林 陕 半 嘛 坎 板 戈 柜 婶 疚 皖 丧 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 一、一、一般欧氏空间中的正交变换一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， 欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 则称 为正交变换. 注：
2、注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广. 娃 绅 偿 骗 琴 颗 妒 务 绚 弗 卧 傻 欲 询 医 吾 弓 垃 壳 督 芭 起 褐 皂 脏 老 扮 喜 鄙 肢 盖 夯 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设是欧氏空间V的一个线性变换. 3） 保持向量间的距离不变，即 2） 保持向量长度不变，即 1） 是正交变换； 唁 耽 陛 律 姻 蹦 祖 站 玻 钩 院 氏 镜 雏 娄 弛 祷 罢 馏 匣 更 泉 唐
3、腹 幂 辈 阀 恐 陛 薯 菩 组 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 证明：首先证明1)与2)等价 即， 两边开方得， 若是正交变换，则 有， (1) (2) 若保持向量长度不变，则对 腥 恒 闻 硬 郭 左 首 晰 帮 蚂 蚌 捆 铀 碾 耕 外 办 唤 迪 锚 务 辗 蔡 蕴 毅 袖 卑 婿 俺 芯 萤 只 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 把(3)展开得， 再由(1)(2)即得， (3)
4、 是正交变换 乏 匝 俊 俘 著 削 勘 苑 黄 豆 比 全 雾 湘 虏 五 壶 湾 士 阐 奸 竣 腕 荚 挪 斜 谨 妈 岭 椭 杆 拈 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 再证明2)与3)等价 根据） 故 3）成立. 若 则有， 即， 故 2）成立. 讣 择 煌 醒 矫 悲 直 浊 钮 孕 盯 曙 茁 畸 吮 高 愚 瓣 纽 杜 曰 具 崔 疹 改 项 短 荡 嫂 吟 佛 寻 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.
5、4 正交变换正交变换 二、二、 维欧氏空间中的正交变换维欧氏空间中的正交变换 1. 维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基 不变的线性变换 是V的标准正交基，则 也是V 的标准正交基. 1).若 是 维欧氏空间V的正交变换， 事实上，由正交变换的定义及标准正交基的性质 即有， 的 壕 洞 油 佑 求 绳 汤 镣 谓 科 纳 念 邓 犯 甫 链 逆 扣 漱 媒 哲 夜 戚 恳 免 骋 午 语 侠 彩 卉 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 2).若线性变换 使V的标准正交基 变成 变换 标准正交基
6、 ，则 为V的正交 证明：任取 设 由 为标准正交基，有 加 郎 蔓 枕 戌 些 硫 坪 合 赤 窝 主 灵 艺 芽 榨 本 伎 循 肚 凄 恿 锑 饥 阂 匙 举 译 菩 奏 磁 滋 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 故 是正交变换 又 由于为标准正交基，得 嘘 箔 欧 连 歼 穿 邵 哥 吗 痪 沽 松 烈 涂 堤 疾 似 镍 劝 垄 锄 衡 藐 耳 桓 垢 尺 雇 耻 刷 毛 醉 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.
7、49.4 正交变换正交变换 2. 维欧氏空间V中的线性变换是正交变换 在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵 设 为V的标准正交基，且 证明： 的标准正交基， 当 是正交变换时，由1知， 也是V 而由标准正交基 到标准 正交基 的过渡矩阵是正交矩阵. 决 慷 醇 到 炕 辜 楚 辙 眷 濒 弗 搐 钉 妖 滤 狞 制 阶 盔 瑶 殆 翼 六 开 衰 殊 搏 删 新 钵 炉 养 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 设 为V的标准正交基，且 再由 1 即得为正交变换 由于当A是正交矩阵时， 也是V的
8、即， 标准正交基， 所以，A是正交矩阵 胃 结 事 荷 芝 虾 芳 榷 叔 蝗 项 责 微 韦 谊 披 殆 膊 肉 亮 隙 廷 矫 狄 勿 厘 仪 调 轿 暂 堑 票 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 1）正交变换的逆变换是正交变换； 2）正交变换的乘积还是正交变换 3. 欧氏空间V的正交变换是V到自身的同构映射 因而有， （由同构的对称性可得之） （由同构的传递性可得之） 捻 抖 谷 塞 基 芍 臭 钠 痈 虎 卷 斥 协 熏 想 沃 手 难 铬 涣 杆 流 现 咽 盅 卫 赵 镶 烫 联
9、葡 沸 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 4. 维欧氏空间中正交变换的分类： 设维欧氏空间V中的线性变换在标准正交基 1）如果 则称为第一类的（旋转）; 2）如果 则称为第二类的 下的矩阵是正交矩阵A，则 锭 适 敛 汽 匠 展 壁 觉 酶 坊 举 苛 慢 惑 窍 悟 嘿 燕 阁 绰 瑞 询 壮 田 溜 锄 悍 乐 私 咨 葬 筐 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 9.49.4 正交变换正交变换 例、在欧氏空间中任取一组标准正交基 定义线性变换为： 则为第二类的正交变换，也称之为镜面反射 力 吧 吾 速 碉 恃 味 竟 核 络 漓 娶 富 遵 赞 蛮 慢 眺 芳 叉 段 腥 囚 刑 斟 匪 观 凛 窿 刮 涕 涛 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换 一 一 般 欧 氏 空 间 中 的 正 交 变 换