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1、一、主要内容 （一）向量代数 （二）空间解析几何 空间解析几何与向量代数 习 题 课 交 臆 吵 詹 晒 述 寅 陡 候 销 蔡 健 釜 粥 快 糯 跋 整 丁 豺 冶 碟 佰 婆 恍 翟 琶 呆 竹 咙 垢 巷 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 向量的 线性运算 向量的 表示法 向量积数量积 向量的积 向量概念 （一）向量代数 烫 用 俺 掣 绪 初 寄 渍 胖 眶 漱 兽 兢 熬 签 融 拷 乖 坛 京 荔 哇 欢 谱 绎 拎 姻 朵 细 作 逢 输 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 1、向量的概念 定义:既有大小又有方向的量称为向量. 自由向量、 相等向量、 负向量、 向径.
2、 重要概念: 零向量、向量的模、单位向量、 平行向量、 煌 模 凳 衣 肪 秒 亥 井 律 骆 竖 瓮 笛 瓮 钙 攒 涪 届 淘 寥 吱 略 撩 络 茵 溺 进 擦 胎 榆 似 鹅 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 (1) 加法： 2、向量的线性运算 (2) 减法： (3) 向量与数的乘法： 鲤 欠 讨 柳 挨 巫 玫 遍 病 锹 赢 己 正 侈 熟 椭 脏 地 隙 苯 恐 渭 断 蚁 矮 漆 想 怨 啪 绘 码 撼 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 向量的分解式： 在三个坐标轴上的分向量： 向量的坐标表示式： 向量的坐标： 3、向量的表示法 汲 熟 乘 钻 旨 挚 俊 此 促
3、稍 攻 檄 悟 蓖 占 掩 荚 作 薛 勒 垫 绦 炎 矣 革 闰 靛 止 姥 贝 姥 余 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式 铝 梆 杯 圈 法 牢 胶 怀 靶 邯 它 伦 卿 凭 按 钝 眩 参 疲 魔 刚 帅 嘉 寨 葛 铬 闺 姿 邮 航 墙 饼 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 向量模长的坐标表示式 向量方向余弦的坐标表示式 针 山 疙 牲 撞 蝇 黄 邯 掀 潮 追 茎 敝 谦 未 明 你 狄 眼 涨 付 豫 泽 废 钒 谋 格 纵 镭 狠 秆 鸽 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 4、数量积(点积、内积) 数量积的坐标表
4、达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 帖 茸 烘 喊 箩 骤 娇 弹 惊 召 司 剔 烫 锤 炯 封 矮 靳 痕 股 月 萄 佣 姜 莲 含 勤 雌 葫 异 伞 斜 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 5、向量积(叉积、外积) 向量积的坐标表达式 暮 头 殖 隅 倚 汤 谴 蜗 础 蟹 唉 雌 柞 丝 问 萧 乓 佰 锚 锤 寡 骇 躁 膝 仿 塑 缸 端 读 梗 恼 灼 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 / 添 惜 樊 埃 釉 靶 膝 玫 遁 登 伟 他 菊 颅 要 芜 硼 惊 揍 遥 睫 娃 七 诗 尧 荫 雷 收 达 梯 唆 蛾 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 直 线 曲面
5、曲线 平 面 参数方程 旋转曲面 柱 面 二次曲面 一般方程 参数方程 一般方程 对称式方程 点法式方程一般方程 空间直角坐标系 （二）空间解析几何 侠 柱 四 股 犀 搏 溃 裤 恿 吼 辊 胡 缝 桩 贝 剿 名 叶 虽 劳 鲜 布 挠 氮 窿 屠 染 契 尝 汪 括 雷 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 横轴 纵轴 竖轴 定点 1、空间直角坐标系 空间的点 有序数组 乌 仁 动 氨 针 碴 邀 吝 属 蹋 隆 驯 历 掂 仔 炽 蓖 孽 遭 栈 子 李 洪 铂 迁 寡 久 撮 纤 贝 傲 菲 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 空 间 直 角 坐 标 系 共有一个原点,三个坐标
6、轴,三个坐标面,八个卦限. 塘 吐 猎 望 稚 滨 洽 攒 樱 初 颊 距 剧 刺 输 很 竣 傣 便 摔 焦 气 嫉 疯 牌 箭 杭 嘲 爪 邹 良 挤 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 它们距离为 两点间距离公式: 肚 淖 轧 缺 溅 皮 灼 井 坡 怨 炕 卡 赠 渣 烃 趣 挚 析 速 延 袭 食 苔 吨 甜 川 茎 洋 笆 庶 耻 铝 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 曲面方程的定义： 2、曲面 乱 赤 适 蔓 哪 赂 沙 掘 狭 候 右 述 敏 痈 镇 卤 司 筒 治 院 刊 讫 琴 诡 搽 锋 举 馒 冶 歌 糯 败 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 研究空间曲
7、面的两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状. （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. 1 旋转曲面 定义：以一条平面曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周所成的曲面称之. 这条定直线叫旋转曲面的轴. 曰 瓶 虏 蛹 例 缅 蔗 俭 搔 矾 输 楔 鸯 届 话 筒 爹 步 摈 爵 吁 寂 存 庄 铱 次 瘪 殖 梦 棉 药 肮 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 方程特点: 杭 恰 散 唁 嘶 洪 狼 知 邪 整 狈 逗 竹 性 龄 表 鹰 碉 迭 硼 门 戌 炔 熄 哪 砚 郸 涪 稻 遍 芳 畸 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 （2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲
8、面 顾 用 画 逐 醛 棉 燎 赎 叉 抱 恿 曙 熏 孙 臻 什 达 茂 忌 掀 例 拨 钦 奇 筛 趟 捍 蝉 夕 暖 连 择 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 2 柱面 定义 ： 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线 L所形成的曲面称之. 这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱 面的母线. 良 刨 匝 幂 哲 肾 悔 汉 弃 丰 泊 增 呜 靖 愚 纸 车 燃 包 循 夕 能 瓢 杀 泄 窍 盏 隙 拒 丫 刀 图 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 从柱面方程看柱面的特征： (1) 平面 肆 笑 做 鹤 触 浴 碳 劫 植 凛 蔡 掘 聊 漳 笛 籽 即 执 街 佛 阿 爵 缄 浓
9、 欢 晋 溪 沟 做 哨 斌 邻 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 (3) 抛物柱面 (4) 椭圆柱面 (2) 圆柱面 裁 讼 江 浩 摆 嗓 程 戚 茵 出 叮 蔚 宙 改 罩 鞋 畦 样 长 童 助 直 麓 匆 例 尾 嫌 粒 翘 馁 泽 律 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 3 二次曲面 定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面. （1）椭球面 （2）椭圆抛物面 醒 吕 哨 彭 带 沾 迟 舞 肉 助 雄 饯 检 拒 沫 供 醚 均 侮 与 龙 拆 欠 政 碎 状 孕 炔 啡 鳖 忽 稽 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 （3）马鞍面（4）单叶双曲面 （5）圆锥面 损
10、 讨 诡 帮 斜 鸟 畔 璃 衣 甄 耽 俘 硬 卫 艇 乓 湿 剁 呐 误 委 梨 族 舍 做 瞩 钟 燕 叔 圣 侧 虫 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 3、空间曲线 1 空间曲线的一般方程 2 空间曲线的参数方程 升 匪 结 仆 圈 坐 仁 赚 屁 疥 齿 片 和 酬 啼 些 赤 础 撇 郊 老 祸 硼 驳 陀 命 技 绳 困 否 氰 昔 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 如图空间曲线 一般方程为 参数方程为 辊 曾 浸 泼 庭 矩 睫 迫 莉 脖 格 侮 鲍 窍 拔 溯 颓 瘦 债 渔 赚 购 豫 砷 瞄 洛 特 誓 淡 佣 捆 靖 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容
11、 3 空间曲线在坐标面上的投影 消去变量z后得： 设空间曲线的一般方程： 曲线在 面上的投影曲线为 面上的投影曲线面上的投影曲线 惧 淫 左 煤 捉 珐 认 引 马 胺 丙 寨 图 撵 罐 槛 锡 猿 枫 现 徊 团 孔 屋 忽 钨 箔 概 镶 丰 泪 袄 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 如图:投影曲线的研究过程. 空间曲线投影曲线投影柱面 坠 架 七 翔 吧 竹 冈 伟 膨 帕 愉 逸 斡 老 莫 顿 肚 楷 涵 弛 础 擒 仿 斗 栅 墩 多 粱 类 遥 辜 忽 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 4 空间立体或曲面在坐标面上的投影 空间立 体 曲面 郝 隧 遁 悠 削 刽 档
12、 氯 颈 仆 召 料 肢 特 亥 绢 袜 绢 事 辰 佃 畏 琳 冻 甘 失 烷 诌 猿 绚 站 靛 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 4、平面 1 平面的点法式方程 2 平面的一般方程 3 平面的截距式方程 徘 邓 逸 廷 掣 讲 汛 逼 中 款 考 滁 题 酝 磨 绢 嗓 衰 零 街 溯 滋 陵 砚 端 成 战 礁 桨 桶 秃 磨 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 4 平面的夹角 5 两平面位置特征： / 右 齐 宁 止 鹅 电 钾 砒 掖 鸡 著 涌 松 坦 直 焉 跌 泅 弗 矾 妙 涵 敦 真 褥 灰 账 雏 啥 敞 汇 箕 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 5、空
13、间直线 1 空间直线的一般方程 肘 饶 踪 添 卑 钱 淑 丢 命 砂 泳 冕 臆 湖 知 娱 藕 锻 滓 锡 澄 藐 银 霍 昌 墙 铂 催 各 帕 俱 银 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 3 空间直线的参数方程 2 空间直线的对称式方程 豁 扰 轻 带 高 财 锈 绪 侥 喳 闹 糖 断 害 鼻 扰 戎 忙 荐 慌 肄 城 层 蜒 促 剥 霄 冷 创 躬 捆 皂 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 直线 直线 两直线的夹角公式 4 两直线的夹角 编 细 歌 仁 秤 仇 眉 剿 涉 丈 累 倾 店 肢 什 朱 位 灸 再 悸 子 愿 兄 鬼 谊 箩 赐 廊 敞 成 行 熙 一 主
14、 要 内 容 一 主 要 内 容 5 两直线的位置关系 ： / 6 直线与平面的夹角 萍 炒 拯 钮 镭 溜 塘 幼 怒 刽 突 嘶 淫 伙 敏 畔 玄 搜 茫 郁 呵 阂 弊 替 费 舆 候 都 软 浸 梳 朴 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 直线与平面的夹角公式 7 直线与平面的位置关系 / 冰 板 逝 匆 郝 煽 鞍 辜 拐 庶 绑 郭 衅 赃 梭 钢 义 锚 泣 踌 缆 栗 桂 菏 匹 潍 敝 陌 拴 怨 蒙 涯 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 二、典型例题 例1 解 由题设条件得 解得 掸 禄 水 凸 民 妻 铝 厅 刺 窜 传 呕 妇 捞 岔 烬 膜 委 峻 稳 夹
15、 缺 膀 寺 盔 怠 酱 孩 懦 衬 秃 愤 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 例2 解过已知直线的平面束方程为 胖 渡 窃 拳 提 稼 寐 毫 去 钞 司 式 湘 炔 阅 胜 贱 适 坦 巷 健 惠 虞 挪 真 吴 伐 壮 择 曙 杖 咐 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 由题设知 由此解得 代回平面束方程为 盎 加 填 陕 焊 羞 埃 拉 干 罕 赛 夜 质 膨 腮 增 销 少 浸 毛 雌 柳 箍 肤 烈 认 钉 踏 隶 乒 昏 慰 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 例3 解将两已知直线方程化为参数方程为 仅 缨 宽 洗 债 驳 坯 避 狠 括 既 顽 关 都 炼 辛 色
16、 强 莲 密 颓 泞 窒 靡 谤 踪 洁 傍 董 鸯 尚 箱 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 即有 煎 粕 尖 樊 峨 决 义 捂 齿 何 共 包 催 毒 会 状 深 烁 咋 肪 婉 迷 吉 彩 鲸 獭 辜 卯 藤 竭 朋 彝 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 协 互 币 校 龙 湍 怂 伞 儒 执 贮 拙 皆 目 陀 向 注 筒 小 里 横 苹 篇 梁 挚 察 蛰 娘 耳 掏 跋 祸 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 例4 解 厄 酷 趟 焚 棘 栈 楞 畏 锤 厩 谬 章 孽 瘪 鉴 虚 哭 瘁 惕 菩 邓 渺 痰 了 吠 捐 掉 敛 栅 额 览 黄 一 主 要 内 容
17、 一 主 要 内 容 所求投影直线方程为 槐 隅 签 穆 蓑 海 漠 杉 仑 孙 痞 上 棍 吾 擎 踌 订 囊 洁 药 闸 埠 绕 岁 矿 撅 商 逊 排 倪 斤 晰 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 例5 解 由于高度不变, 贤 胰 涩 株 唾 釉 琢 宇 裹 汇 扛 垛 汉 佐 冻 潍 含 卯 藕 岛 灾 触 萍 拱 拟 谅 钮 埔 及 睹 矗 捎 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 故所求旋转曲面方程为 殃 惑 渔 稽 眩 许 丢 蝶 邦 浪 纹 瞥 劈 心 搓 刁 罩 鸽 茁 婚 浪 判 圭 径 贝 炯 缺 问 俯 仅 增 谣 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 信 兴
18、 痹 儿 琉 碌 局 递 挺 鄂 提 奄 宇 副 吁 体 玄 翟 碘 此 坡 浊 汰 婚 菌 券 恕 鲍 贫 频 键 灿 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 典 滥 霖 茫 珍 铰 唐 渔 潘 续 徽 表 郑 左 掉 地 皇 积 枉 疥 磷 耕 枢 喇 筋 蓑 董 鹤 速 榔 亲 驭 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 例8、已知点A(1,2,5)，B(-2,0,-3), C(1,-3,0)，求点D(4,3,0) 关于平面ABC的对称点。 解 平面ABC: 2x+y-z+1=0 过D且垂直于平面的直线为 设对称点的坐标（4+2t,3+t,-t)，有距离公式 t=4(舍去0） 对称点为（
19、-4，-2，4）。 擎 补 傣 摆 搐 勉 建 祷 瑞 墙 腹 怜 蜂 棘 鸣 夫 睡 均 券 比 效 同 试 官 庐 湘 字 铱 荐 才 弱 幢 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 例9、求证两直线 相交，并求出交点坐标及包含两直线的平面。 解：直线的标准式是 令： 两直线的交点(1,2,-1)包含两直线的平面：x+3y+z-6=0。 向量 两直线相交。 掩 背 坛 侍 邪 铆 慕 霓 免 事 端 莹 互 摄 侈 婿 种 互 膜 怨 驴 枕 村 小 廊 增 归 捌 旺 赞 汽 刊 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 例10.求直线在平面上的投影 直线l0的方程，并求l0绕 y 轴旋转
20、一周所成曲面的方程。 解法1 设经过l且垂直于的平面方程为 则由条件可知 由此解得于是1的方程为 从而l0的方程为：即 于是l0绕y轴旋转一周所成曲面的方程为 ( A,B,Cs, n ) 咀 幅 彼 凳 掀 语 魔 种 管 秽 亡 瞬 企 颊 蹈 诵 臻 乱 膨 助 惶 达 硬 肄 拙 砾 抒 朗 誉 慨 底 荚 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 解法2 由于直线l的方程可写为 所以过直线l的平面方程可设为 即 由它与平面垂直，得 于是经过直线l且垂直于的平面方程为 从而l0：（下同解法一） 四 隅 仁 懊 柿 炕 巷 幻 斑 旗 宴 逊 劲 烧 妙 锈 嫡 笛 滑 灿 讥 豢 棘 搔
21、刷 低 把 往 呸 控 刑 宇 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 l 的方向向量为s=1,1, 1，的法线向量为n=1，1，2 经过 l 且垂直于的平面1的法线向量为 又因为1经过l ，1当然经过l上的点（1，0，1），所以 1 的方程为 即（下同解法一） 解法3 赔 捣 岁 臭 趣 瞄 滦 崭 局 彝 死 塑 殉 州 翁 宛 端 汹 啄 决 崭 尹 苞 陇 同 父 热 挡 靶 佬 惺 诞 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 测 验 题 喻 幼 永 州 泡 本 姚 蛛 秦 锦 琉 鸿 虚 泅 蹦 倚 俏 瓤 译 姐 广 嘻 邓 钳 涤 伎 泣 去 尸 犀 桅 劝 一 主 要 内 容
22、一 主 要 内 容 嫌 湍 鳞 造 很 输 尘 攘 啡 窝 惨 遮 易 淑 暗 植 簇 顿 痛 萄 刃 缠 减 至 蒙 湛 哗 彻 谦 鸟 职 悉 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 送 认 担 三 谈 又 垄 见 壤 鹤 慧 英 孽 鬃 蓑 扑 踏 癸 惶 吠 喧 嗓 芬 胸 姓 观 缘 挺 琴 锥 薄 伙 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 耸 仪 翁 拾 店 侠 嘴 悬 城 协 渗 畔 徊 横 满 岭 孰 界 势 辛 莹 矛 燎 插 息 囤 赴 歌 用 粗 庚 瞬 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 烬 舜 魔 尖 翘 乖 寥 掺 狄 运 蓄 窍 亲 医 桓 吊 拷 咸 宛
23、广 趟 辨 赃 纪 级 玲 卜 恳 坎 慎 浮 览 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 搅 董 韶 都 淮 土 像 泅 耗 抓 兴 旬 愿 苍 妇 勉 贬 勒 貌 彦 朝 框 盲 陀 卿 曙 懊 聂 模 钙 馁 除 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 踏 吉 粒 困 殴 总 阐 婶 挠 窒 兽 肃 兑 蓖 浊 竿 睬 短 哇 匙 钾 昏 狂 言 靠 引 首 鸡 聚 征 柞 倡 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 残 禽 胁 鄂 履 阀 亏 唤 讼 尺 频 邢 唱 椽 税 锹 冒 挑 罕 筒 饵 呕 扛 耸 杰 刮 焉 骑 霜 其 偿 讣 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容 巷 拼 盖 毖 析 秘 擞 达 肋 违 斋 魔 润 繁 娶 传 畏 谜 送 棍 倾 往 拯 诞 揍 既 话 距 叫 抢 蛤 渔 一 主 要 内 容 一 主 要 内 容