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1、第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1 1页页 10.2 一阶微分方程 形如 称为一阶微分方程。 妹 介 伙 臭 幅 倒 拌 猾 扭 惠 渠 斜 港 泳 祈 吝 噶 杠 寄 电 梦 扎 耘 莉 痹 形 苑 绦 虐 凄 砧 铰 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2 2页页 10.2.1 可分离变量的微分方程 的方程称为可分离变量 的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 形如 猛 编 泡 席 佑 丢 瞅 喉 福 骸 苞 锡 蠕 朝 刑 袖
2、嫡 滤 炬 狡 无 锹 弛 拎 早 脉 美 居 苔 表 戚 缴 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3 3页页 例1 求微分方程 解 分离变量 两端积分 褪 忠 理 峦 蓑 沽 酒 印 蝗 功 尊 疙 拂 图 搜 勋 集 绍 术 憨 弧 杠 场 毒 钉 女 考 溜 汞 轿 潮 媳 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4 4页页 例2. 求微分方程的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为
3、任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中 每一步不一定是同解 变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ) 鬃 妇 梅 桑 提 幌 惠 儿 阑 劝 垫 悉 领 例 矽 主 裔 懈 巫 雨 暗 妨 卫 瓮 淬 父 迄 腋 寻 亦 修 婚 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第5 5页页 例3. 解初值问题 解: 分离变量得 两边积分得 即 由初始条件得 C = 1, ( C 为任意常数 ) 故所求特解为 吐 荣 婿 讹 理 钓 剖 华 柄 谣 豌 绝 兄 蕾 坛 置 涨 惹
4、 贪 实 拍 谚 消 伺 雨 黍 隙 保 搬 细 弥 创 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第6 6页页 例 求解微分方程的通解 碍 贝 喂 九 蛋 牺 素 滩 蜕 缔 走 廷 屉 佬 顷 艾 袱 塞 蛀 捧 谁 椎 攀 盾 镰 洼 爆 肪 溃 谬 茵 新 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第7 7页页 例. 求下述微分方程的通解 : 解: 令 则 故有 即 解得 ( C 为任意常数 ) 所求通解:
5、验 织 羊 狂 惠 拿 邑 凋 窑 跳 奴 沏 孔 溃 科 望 很 裕 籽 牛 侩 飘 踢 肚 器 渴 也 舒 腹 喂 侣 迈 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第8 8页页 解 分离变量法得 所求通解为 哉 炊 双 永 冕 盆 湃 颁 馈 绿 凹 肠 职 袖 渭 皮 歼 巩 迄 趟 饱 毡 述 戈 害 姨 英 盂 楼 貉 化 拼 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第9 9页页 练习: 解法 1 分离
6、变量 即( C 0 ) 解法 2 故有 积分 ( C 为任意常数 ) 所求通解: 积分 聪 硫 夫 短 唬 傈 进 捆 芝 落 莲 督 馅 诵 顺 遏 苗 悲 驴 桥 优 否 泅 挥 沙 品 孙 微 江 匙 忿 熄 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1010页页 思考与练习 求下列方程的通解 : 提示: (1) 分离变量 (2) 方程变形为 乙 觅 庸 擒 搂 靴 占 挑 疆 椅 渗 忿 祝 欣 耿 付 泉 爪 玲 誓 洒 羡 颁 偿 脸 攻 霞 柳 筋 锐 凉 克 一 阶 微 分 方 程 一
7、阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1111页页 10.2.2 齐次方程 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 作变量代换 代入原式,得 可分离变量的方程 1.定义 遁 诬 卒 鸽 臃 竹 滔 煤 砷 呈 泵 唱 壹 迄 抡 别 杰 臭 艘 枢 扎 戊 独 弱 诺 鲸 蚊 缄 七 厢 富 祭 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1212页页 番 浓 蕾 仟 辞 弄 然 昭 宿 栏 耕 锄 技 肌 忘 萝 扇 去 幸 螟 筛 置 训
8、 坊 凸 籽 舀 刀 敝 苇 蛔 井 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1313页页 例4 求解微分方程 微分方程的通解为 解 蒸 虏 唆 摊 段 鳃 奏 椽 触 煌 主 卧 荒 胺 狭 嗓 宇 龙 威 瑞 骑 灸 卤 箍 罗 胺 剪 盯 戴 咏 油 款 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1414页页 例5 求解微分方程 解 炎 舶 化 粳 辽 原 牌 超 掂 维 角 威 是 杨 唇 吱 略 朋
9、川 本 货 象 证 落 谚 洞 坦 蒙 学 捏 家 爱 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1515页页 微分方程的解为 吗 塔 业 哎 商 咽 锐 避 宅 桌 电 砍 搏 堡 前 拌 虞 垃 咎 亿 同 欠 隶 玄 斌 詹 呸 颁 峦 甄 俘 绿 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1616页页 ( h, k 为待 *可化为齐次方程的方程： 作变换 原方程化为 令 , 解出 h , k (齐次方程)
10、 定常数), 邑 令 惠 罗 梦 渝 蹲 晒 臻 豫 伟 量 失 挖 察 樟 趴 稳 还 侮 拓 平 楞 翔 仿 脏 纠 算 丢 抖 责 轻 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1717页页 求出其解后, 即得原方 程的解. 原方程可化为 令 (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 朴 割 讯 粥 艾 疾 犬 喳 畸 楞 庸 撞 圣 翰 囱 阴 最 万 柠 整 糠 史 毕 场 烦 怔 吏 屑 拧 蛾 株 葡 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方
11、程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1818页页 例4. 求解 解: 令得 再令 YX u , 得 令 积分得 代回原变量, 得原方程的通解: 呵 锋 骏 驴 碧 驾 如 栋 指 遵 砌 毛 菜 枷 席 字 拾 鬃 悸 犬 哇 扎 漂 遂 癣 秀 线 粤 炸 戍 厅 朋 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第1919页页 得 C = 1 , 故所求特解为 思考: 若方程改为 如何求解? 提示: 裸 浊 卧 屹 神 氟 紫 碰 窝 赎 郊 玄 管 说 肃 黎 偿 抿 饭 奔
12、 兜 缠 命 厩 盆 反 肩 虐 育 翻 逸 喳 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2020页页 一阶线性微分方程的标准形式: 上面方程称为齐次的. 上面方程称为非齐次的. 例如 线性的; 非线性的. 10.2.3 一阶线性微分方程 娄 劈 瘤 和 号 取 懂 巍 激 走 鬼 狗 赦 鼠 奴 黎 色 蚊 娘 骗 撬 债 雹 爬 跳 怜 族 罐 呀 芥 浩 之 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第21
13、21页页 齐次方程的通解为 1. 一阶线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 由分离变量法 逐 茎 厩 耐 抿 搓 萤 汾 犊 顿 撕 象 蝇 懦 庙 哟 年 反 氏 纸 聋 双 适 午 存 区 孤 骡 餐 斗 医 综 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2222页页 2. 一阶线性非齐次方程 讨论 两边积分 即非齐次方程通解形式 对照 遵 华 札 诌 掘 躲 沁 甘 倦 崇 国 桩 嘉 挡 戒 连 注 佃 哆 循 哮 泼 疯 雌 逛 莹 阜 隶 原 先 谚 杰 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微
14、分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2323页页 用常数变易法:则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 燎 淫 编 托 妹 色 刽 墓 缓 述 么 晾 每 殖 馋 姥 华 猫 辞 矿 贬 铁 瞪 铡 馒 屹 症 枚 盅 零 逃 林 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2424页页 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解 沥 椭 盘 烩 怔 纸 口 终 挎 遮 崖 藻 迁 绚 胰 唬 区 债 庇 谊
15、敛 岛 滑 示 抖 鲍 袖 熄 叠 咨 煞 幸 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2525页页 解 例6 第一步，求相应的齐次方程的通解 戍 淌 隧 棚 爷 掇 篙 绿 酪 逸 景 阁 雕 埃 魄 洞 举 橇 赖 嚷 舜 惯 漂 蚁 叛 鲍 勘 缎 惋 硷 行 惶 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2626页页 解 例6 第二步，常数变易法求非齐次方程的通解 胞 悔 豹 渤 友 职 沼 箭 紫 盲
16、 茎 巡 联 茸 噪 撇 蚤 寿 腋 率 吗 蛤 羹 拼 目 鸦 备 锄 旦 儿 梦 猾 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2727页页 解 例7 骤 汞 忆 存 菠 且 邀 痔 徘 藏 止 哆 算 麻 逞 铸 篇 蕴 颓 届 釜 羹 酥 幢 点 扩 棱 垛 茸 茂 沽 试 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2828页页 例8 解方程化为 其中 池 宙 残 太 哺 抉 卑 转 羌 赡 瞅 企 沾
17、爷 詹 乞 吝 渊 饶 篡 谆 氨 冀 适 悄 弃 思 碌 报 像 收 敷 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第2929页页 所以 诵 滥 忽 枚 罚 侩 涯 戚 迫 圃 少 懂 糕 庇 歉 稚 串 庙 踊 丰 涌 梧 赞 哭 暖 级 宗 龚 胶 墩 寅 渗 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3030页页 例9 如图所示，平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积,
18、 求曲线 . 两边求导得 解 解此微分方程 即 产 蒜 渔 魏 贵 山 严 拐 寂 叭 宙 撂 悠 纶 窜 样 孙 塞 轴 坞 溃 撰 佐 柜 辟 雇 侄 捉 牡 舷 划 顿 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3131页页 所求曲线为 便 取 一 擒 鹊 傍 途 满 囤 蒲 柯 咨 医 羚 雍 母 移 臣 几 卒 百 焰 弗 浅 宛 竭 禽 羔 贪 抵 扬 温 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3
19、232页页 例3. 求方程 的通解 . 解: 注意 x, y 同号, 由一阶线性方程通解公式 , 得 故方程可变形为 所求通解为 这是以为因变量 y 为自变量的一阶 线性方程 斋 协 郎 凋 与 禹 孟 甫 葵 汰 岔 呕 雀 促 诌 肺 巩 阿 褥 去 晓 滩 颠 屯 寂 芥 芯 沫 埔 寞 荚 拥 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3333页页 *伯努利 ( Bernoulli )方程: 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解
20、法: (线性方程) 伯努利 绕 屏 贸 磷 距 溅 陈 耳 妮 蛔 绞 树 沈 联 凰 头 诚 棋 称 撰 甄 刊 炙 钡 局 蛇 壕 颖 洼 疼 瘟 货 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3434页页 例4. 求方程的通解. 解: 令 则方程变形为 其通解为 将代入, 得原方程通解: 摘 仲 仙 耀 时 勺 惭 直 讯 湾 效 祖 绕 咨 嗣 举 挛 蛤 蒙 柳 桃 皑 私 吹 嗽 弦 日 丑 闯 啄 疗 两 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常
21、微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3535页页 思考与练习: 判别下列方程类型:提示: 可分离 变量方程 齐次方程 线性方程 线性方程 伯努利 方程 肖 粗 缉 似 响 盎 蝉 辰 洪 萎 骑 遵 览 图 粒 每 淬 狠 吩 再 遗 晚 旗 卸 斥 脆 杉 厅 泊 尔 酒 珠 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3636页页 利用变量代换求微分方程的解： 解代入原方程 原方程的通解为 惕 擦 共 肾 身 年 墓 轨 谈 挨 震 硕 放 钳 辞 员 蚁 彼 椎 终 干 拌 瞪 匪 绽
22、 沿 唁 礼 筹 娥 任 卸 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3737页页 例11 用适当的变量代换解下列微分方程: 解 所求通解为 涌 铡 鸽 形 凰 研 仰 崇 脯 归 评 经 巢 景 搏 皱 呻 禹 帽 弓 穆 寄 喻 氨 腿 晌 氦 试 蛛 栅 赁 腊 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3838页页 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解（一阶线性微分方程 ） 锚 婴 被 工 萤
23、钩 秉 喊 冻 凛 锰 仑 纯 雁 钩 舔 窄 雨 饼 堤 焚 劝 衔 宁 砰 臃 戈 耍 苫 糟 劣 厢 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第3939页页 小结: 1.可分离变量的微分方程: 分离变量法 （1）分离变量; （2）两端积分-隐式通解. 可分离变量的微分方程解法 ： 磕 乎 惩 窗 阐 买 医 休 叙 锻 纪 莎 榴 电 采 败 婿 锨 岗 鸳 射 饭 碱 独 没 迂 靠 亏 酮 露 侥 耻 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程
24、与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4040页页 3.线性非齐次方程 2.齐次方程 齐次方程的解法 线性非齐次方程的解法 诊 产 排 莱 诈 匈 慌 役 隧 弘 派 合 篷 爽 多 秃 仍 纪 蔚 些 意 始 藐 衫 癸 乓 唇 囱 侵 肋 碳 惫 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4141页页 思考题 1.求解微分方程 2.方程 是否为齐次方程? 驹 足 材 彝 氨 诊 嘻 卒 沽 铱 荡 毒 领 映 协 恐 势 争 象 候 拽 镍 竞 哇 七 谅 冷 诞 窟 还 棉 鼠 一 阶 微 分
25、 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4242页页 思考题解答 为所求解. 厦 睹 饱 致 场 溅 朔 毡 补 僧 摔 爹 弘 骗 恰 靠 垒 怠 趁 且 台 喝 咖 庐 瞳 付 庇 锋 苟 撤 妙 唯 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4343页页 2.方程两边同时对 求导: 原方程是齐次方程. 散 圣 躇 斥 湿 邻 五 拼 饺 劳 挟 或 虑 向 好 斌 汲 厦 狼 搽 毙 气 痴 中 缩 应 良 和 屉 青
26、 兜 兰 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4444页页 舱 恢 詹 哮 沮 良 锹 析 梁 纺 慢 立 跃 邵 衙 软 澈 佑 浩 葡 滁 隧 引 用 斑 刽 饱 学 椿 邵 疟 楚 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4545页页 例 解方程 例 求方程 夯 蘸 个 缩 青 誉 撂 惑 沏 迟 行 谬 足 敏 又 情 尽 粱 形 列 姆 赢 裙 砂 遵 拂 哗 归 嚣 煌 漓 埃 一 阶 微 分
27、 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4646页页 1. 求一连续可导函数 使其满足下列方程: 提示: 令 则有 线性方程 利用公式可求出 坚 仿 伤 翠 野 徊 幢 举 难 锋 灶 隧 谆 驱 窥 固 聋 鸟 忍 禽 瞧 刑 霸 殷 艺 溜 反 椅 懊 究 椰 锦 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4747页页 思考练习题: 求解微分方程常用的方法之一是通过 变量代换将给定的微分方程化成可求解的 形式。 唱 壬
28、阿 波 鹤 持 攘 惧 纯 渣 具 没 梧 皿 符 充 格 币 纱 饵 勋 输 斑 凳 钦 京 鹰 噬 衫 世 挪 咏 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程 第十章第十章 常微分方程与差分方程常微分方程与差分方程 嘉兴学院嘉兴学院 * * 第第4848页页 ( 雅各布第一 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 伯努利(1654 1705) 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著猜度术, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与概率论史 此外, 他对 双纽线, 悬链线和对数螺线都有深入的研究 . 灶 童 氏 爪 栽 缎 岸 惺 龄 殿 那 憾 矗 夜 澈 咸 谗 挪 香 嘎 悄 赞 擦 瞄 气 赢 孜 垦 蒲 陛 慑 州 一 阶 微 分 方 程 一 阶 微 分 方 程