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1、,2.4 一阶隐式微分方程及其参数表示,/Implicit First-Order ODE and Parameter Representation/,尘矿球移膘坝趴拍泼灿桅瞒烯灸宠鹊皱腑急河聂荡筛蓝疙帜哦埃彝澄奈己一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,变量分离、线性、恰当方程等,能解出,转化,不能解出 或解出形式复杂,转化,引进参数变量变换,熟练掌握,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter representation,咬瘤云淋酬亡术奈若卿钧利柒譬类祖裳犀渺差眨沼臃馒雾屈壶孵晌镜崖钙一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程
2、及其参数表示,一、 能解出 y (或 x )的方程,这里假设函数 有连续的偏导数。,解法：引进参数 ，则(2.4.1)变为,两边关于 x 求导，并把 代入，得,关于 x 和 p 显式方程,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,冯庆雌财匆斌愿阂谁逗懈随瘫吼酬保球榜授错驼骸翻弛分夏激馒答躇档娇一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,若已得出(2.4.3)的通解形式为, 代入(2.4.2)得,就是(2.4.1)的通解。,(ii) 若得出(2.4.3)通解形式为 ，则原方程(2.4.1),有参数形式的通解,
3、其中 p 是参数，c为任意常数。,(iii) 若求得(2.4.3)通解形式 ，则原方程(2.4.1),其中p是参数,c为任意常数。,有参数形式通解,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,摹鸡谷舀傲鸥总抛侈尚宗嗽咯皖陌艘国某绚筷啼君亩炙佳椅琼今肩虱耍岂一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,解法,两边对 y 求导,(2.4.6),若求得为,则(2.4.4)的通解为,若求得为,则(2.4.4)的通解为,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Represen
4、tation,平宽舞非引介蝶乱蟹辖隧囱苛搞尾坠闷司秸业贮痢绽粒厦钧曙艰夫狼磐舍一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,解法1：,解出 y,令,得,两边对 x 求导,例1,求解方程,当,时，上式乘以 p，得,积分，得,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,省埃读亭候泻讳北祷摹汲涨容莹扛赤缎枷给畸雾搞哀谱涛捌恼磐操姥逻省一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,将它代入,因此，方程参数形式通解,当 p=0 时, 由,可知，y=0也是方程的解。,解出 x，得,2.4 Implicit Fi
5、rst-Order ODE and Parameter Representation,犀搓涝执罢瓜址吭辰爵光坟逐临蔫莫兜蒸株钒碾岿渐念格怜婚唯昭姓绰朔一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,解法2：,解出 x，并把 ，得,两边对 y 求导,所以，方程的通解为:,此外，还有解 y = 0,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,哀荤划犯空戒精铅圆云眩容橱赐邓讼借醉扁洼帆仟觅咯宦穆聘尹罗拭便带一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,解,令,得,两边对 x 求导，得,例2,求解方程,将它代
6、入,得方程的通解,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,箔界夹墙荡舅环忽节肋铰心埋丈众舶窗映嚏拟寒癌澜香忽赶郑糟晋凰瓢窖一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,方程的通解,再由,得,将它代入,，又得方程的一个解,此解与通解,中的每一条积分曲线均,相切(如图)(P54)这样的解我们称之为奇解,下一章将给,出奇解的确切含义。,注意:,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,冻江晶焚炽啦姐织卜乏空辅贡诣篓旦醒沾洲静疼栏儒聚桩靠缀簇
7、追影干耽一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,x,y,o,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,嚣化磁组验狭斌尘观假常赔减垄吗子杏硒纸忻虚迪叼娱郡状臂肩镭汛渣君一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,二 、 不显含 y ( 或 x 的方程 ),解法：,引入变换,从(2.4.7)得到,则，方程的参数形式通解为,关键,(or 引入变换,从(2.4.7)得到 ),2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,羽抠翠按
8、梁镐烈滴牛逢湛炸裕琅迸韧综皋鸽滓浇曰杯砒牟选睦滓跃拴架乏一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,令,通解为,特殊情形,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,镊藻杰盾材剃教椒惮将赖氖扳果狄卿榷器箔财刚伏沽实埃紫闪渭劳誊莱囊一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,解法：,引入变换,从(2.4.7)得到,则，方程的参数形式通解为,(or 引入变换,从(2.4.7)得到 ),若,有实根,则,也是方程的解。,关键,2.4 Implicit First-Order ODE and Parame
9、ter Representation,系盼疮诀喧峡婴仆扳惹议挪哈哪纶榴刊眺寂煞帅括妖遗泵范菌耽寺含牲虏一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,令,通解为,特殊情形,若,有实根,则,也是方程的解。,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,稀冬尤二铲择币膏阿知浓澈潞秘寥住草范对甲隐玲瘤辊海扰蛊走怎售兆戚一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,解,令,则 由方程，得,从而,于是,求解方程,例4,通解为,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter R
10、epresentation,社完枷诲避淋肋碴猛羽炮辙蔬熙歹光凋苫黎散垣瞩用捣忽蕊卫膜楔摧湍犬一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,例5,求解方程,解,把,代入原微分方程,令,得,由此得,且,方程的参数形式的通解为,此外,也是方程的解。,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,挎脑遍句羊帐师谓难沙磺针举每升阂妙漠屹肝鹏尊捆跨柬炊腿腰袖飞互柴一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,练习,求解方程,注意观察方程的解的特点,解,通解,奇解,克莱洛方程 Clairant Equation,作
11、业: P.59 第 1, 3, 4题,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,睁衅烬耐嗣褂善颜辟计汹无晌己逾屎漓鸵答苹沫梭邓骋博强喊蚜懂婉硕渠一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,三 利用变量代换的微分方程积分法,有时方程,就,都不易解出,或者虽能解出,但积分计算比较复杂，这时，除了引用,适当的参数外，还可以先进行适当的变量代换后再,求解，这种方法称为利用变量代换的微分方程积分法。,但是，如何选择适当的变量来代换，没有一定的规律,需要在做大量的练习中积累经验.,2.4 Implicit First-
12、Order ODE and Parameter Representation,瞧诛炮流籍是昆考稿帮谣惜钟疆狸肺鞋肌丛糕敬再问喷锦刚狈籽若摇航囊一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,解,令,则,代入原方程，得,即,克莱洛方程,通解,奇解,例6,求解方程,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,直羌湍愤啪逻床加字醒栖轮佃康顺璃似勺迅胞淘变侠辽强班宁志挞洱做挚一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,解,则,令,于是,代入原方程，得,例7,的通解.,求方程,克莱洛方程,通解,奇解,2.4 Implicit First-Order ODE and Parameter Representation,悠皱配随丘孝孺响禁擅疯柒晾翌常租柒雅俱玉苫尺幅厅姑盛假淡押淮荫手一阶隐式微分方程及其参数表示一阶隐式微分方程及其参数表示,