《四章矩阵特征问题的求解简.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四章矩阵特征问题的求解简.ppt（58页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1 引言,矩阵特征问题的求解,物理、力学及工程技术领域中的许多问题在数学上都可归结为求方阵特征值和特征向量的问题，如振动问题：桥梁的振动、机械振动、电磁振荡、地震引起的建筑物的振动等等；物理学中的临界点、临界值的确定；微分系统中的稳定性研究。这些常见的问题都与方阵的特征值和特征向量有关。,求方阵的特征值和特征向量是数学、物理学、力学、电磁电工学以及工程技术所面临的一个共同问题。,胎幂烃奠姆暂毖疚尺搔掐贝城类纯描绎溪围喻纂侩捂涝保靠眶卞昂萍峭滩四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定义：矩阵 AR nn，若有数和非零向量x R n 使得A x x，则 称 为A的特征值， x称为对应的
2、特征向量。 在线性代数中的求法：解特征多项式| E- A |=0.,利用线性代数中的上述方法计算特征值和特征向量是十分困难的; 我们的目的是寻求一种适合计算机运行的近似解法,且简单、可行、有效。,复习相关理论,萎系凸蹋五插欠侣醉扫瞻钧夕诚馁揭档壁粘谚悸胚薪店谐煎雄关物肋范谋四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定义 设矩阵A, BR nn，若有可逆阵P，使,定理1 若矩阵A, BR nn且相似，则,B =P -1 AP,则称A与B相似。,（1）A与B的特征值完全相同；,（2）若x是B的特征向量，则Px便为A的特征向量。,吭悄凤离濒巫茹迪战示稼诵炙勋习迁涯换嚏驱闲所疫爪眺万瞥谊雪梨谆
3、绑四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定理2： 设AR nn具有完全的特征向量系，即存在n个线性无关,其中i为A的特征值，P的各列为相应于i的特征向量。,的特征向量构成Rn的一组基底，则经相似变换可化A为对角阵。,即 矩阵A与对角阵相似的充要条件是A 有n 个线性无关的特征向量,即有可逆阵P，使,坚头礼媳提烹澡山玛礼冷呸男邻金淄念砂真绅嫡厄狮舀联捍赢霖定枉辣洋四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定理3 ：AR nn，1, , n为A的特征值，则,（2）A的行列式值等于全体特征值之积，即,（1）A的迹数等于特征值之和，即,踏华次垮嫡舔七浊闪陡脐嚷茎梆颁利秃盾翔蛀淘怖镭
4、毕臣户白槛六通乱糖四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定义： 设AR nn为对称矩阵，对任意xR n，x0，则称比值,矩阵 A关于向量 x 的瑞雷(Rayleigh)商,瑞雷(L.Rayleigh)英国数学家，18421919,佃导牧审砍模毯贞把弯亮寨址葛斌贸艳愤骆足善隧埠腐谤产晓株悬己奠研四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定理4 设AR nn为对称矩阵，其特征值12n，则,1） 对任意 xR n，x0，,2）,3）,炭伐埠交毗播虱斥哎血岩鲤饲盐冷瑞票村潮崇乳狸憎瘁盂憨足瞬粤具鲤翼四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定理5 （Gerschgorin圆
5、盘定理） 设AR nn，则,表示以aii为中心，以 半径为的复平面上的n个圆盘。,（2）如果矩阵A的m个圆盘组成的并集S（连通的）与其余,（1）A的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中，,n m个圆盘不连接，则S内恰包含m个A的特征值。,康孟甭瑞吱莽窜蚤化庆乱翼明墟腥艰再库鳞室扒掉黑不镭竞害抉距转膨庇四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,1 乘幂法,定理6 设A Rnn有n个线性无关的特征向量，若1, 2, , n为A的n个特征值且满足,对任取初始向量x(0) Rn， (x(0) 0)对乘幂公式,确定的迭代序列x(k)，有下述结论：,乘幂法与反幂法,乘幂法是一种求矩阵的按模最大的特征
6、值及其特征向量的方法。,五缎沟竭莽夕奎启延级播娘河界稍篆孔狄林渤衡喜航履传骸澎勉缚衡幼柄四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,（1）当 时，对i = 1, 2, , n,收敛速度取决于 的程度，r 1收敛快， r 1收敛慢，,且x(k)（当k充分大时）为相应于1的特征向量的近似值。,侈薯眩梁矛致嚎弃颤梢积亲橙棘悸监暑篡绒弄她娜循刘谓撒盅湿勃躺叹脂四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,（2）当 时,a）若1 = 2，则主特征值1及相应特征向量的求法同（1）；,收敛速度取决于 程度。向量 ,分别为主特征值1、2相应的特征向量的近似值。,b）若1 = -2，对i = 1, 2
7、, , n,薪耸跟饺劣鸭卤忘着劲颓坍丁埔摘棵逼扔窿隧殖氯拭婶炬两争颗窃淮快昧四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,c）若 ，则连续迭代两次，计算出 x(k+1)，x(k+2)，,然后对j = 1, 2, , n 解方程,求出 、 后，由公式,段害拼琵驮庇纸渺距烦扫扩岸拄掏辣太翰簇疆柑瞧羽粱餐忆然台舶崩恨汗四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,解出主特征值1、2。此时收敛速度取决于 的程度。,刁酗奔碎饯妆芒副相蟹茹剖啦带毗诱房孩百归熄咀谎钎烛抛眩缮寂鲤疯嘎四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,乘幂法方法步骤,设为n 维向量，令 r =max(x)表示向量x分量
8、中绝对值最大者。,1.任意给定初始向量(非零) v (0) =u (0) 0 ，取r0= max(v (0) );,2.产生迭代序列：,为求A矩阵的按模最大的特征值1和其相应的特征向量1，,v(1)=Au (0) ，取r1= max(v (1) ,v (2) =Au (1) ，取r2= max(v (2) ) ,v (k) =Au (k -1 ) ，取rk= max(v (k) ) ,3.循环次数控制：当|rk-rk-1| 时,结束循环，输出rk 1 ，u (k) 1,妒装纬恫隶掠禁吊颧轴两贪孙塑菲牵摇琉牌婚堂店仟陈挂公嫌择填明难挨四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定理7 设A
9、Rnn有n个线性无关的特征向量1， 2 n ，1, 2, , n为A的n个特征值，且满足,则对任初始向量v (0) =u (0) 0 ，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列v(k)，u(k)满足,(1),（2）u(k) 1为相应于主特征值1的特征向量.,律丝沤敬未专儿亲涂垒锻箍持点阅撼精籍篱续叮阶骑碎棍繁绰引仿果掇计四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,例 用乘幂法求矩阵A的按模最大的特征值及其相应的特征向量，其中,解：取初始向量v (0) =u (0) （0，0，1）T,则 v(1)=Au (0) = (2，4，1）T; r1= max(v (1) =4; u (1) = 1/4
10、(2，4，1）T = (0.5，1，0.25）T;,v(2)=Au (1) = (4.5，9，7.75）T; r2= max(v (2) =9;,结果如下：,贞亭墒饵奶卯缔喂勇慢法楚估乍篷涡贴砷崔惦未瘦义矣屈踌肪蛤体霞茅赁四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,r1=4.000000 , u(1)=( 0.500000 , 1.000000 , 0.250000 ) T |r1-r0|= 4.000000 , r2=9.000000 , u(2)=(0.500000 , 1.000000 , 0.861111) T |r2-r1|= 5.000000 , r3=11.444445 ,
11、 u(3)=(0.500000 , 1.000000 , 0.730582 ) T |r3-r2|= 2.444445 , r4=10.922330 , u(4)=(0.500000 , 1.000000 , 0.753556) T |r4-r3|= 0.522115 , r5=11.014222 , u(5)=(0.500000 , 1.000000 , 0.749354) T |r5-r4|= 0.091892 , r6=10.997417 , u(6)=(0.500000 , 1.000000 , 0.750117) T |r6-r5|= 0.016805 , r7=11.000469
12、, u(7)=(0.500000 , 1.000000 , 0.749979) T |r7-r6|= 0.003052 , r8=10.999914 , u(8)=(0.500000 , 1.000000 , 0.750004) T |r8-r7|= 0.000555 , r9=11.000015 , u(9)=(0.500000 , 1.000000 , 0.749999) T |r9-r8|= 0.000101 , r10=10.999997 ,u(10)=( 0.500000 , 1.000000 , 0.750000 ) T |r10-r9|= 0.0000180.0001=,她啦剥兜
13、羔过郎囱们轮嘻计烷材荫秽息蒸歼馁序切车潞然些锐渔盛粮臻韭四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,Aitken加速法,通过前面的讨论容易看出由于当k充分大时，存在常数c 0使得,因此,从上式解出1得,该值能比rk更快接近于1,空钙枚疙域昔卷家茧巫贝谗创讣负圣姆从哎夏楚风逮攫眺窄瓣疾幕缓镑芹四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,1.任意给定初始向量(非零) v (0) =u (0)0 ，取r0= max(v (0) );,2.产生迭代序列：,v(1)=Au (0) ，取r1= max(v (1) ,v (2) =Au (1) ，取r2= max(v (2) ) ,Aitken
14、加速法得方法步骤,取,枫楷涕暮澳氓敖鞋涯墙接卞征卞窝景雷牌雀爹哭弟缓冻炉淋郊晦兽逢碗梦四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,v (k) =Au (k -1 ) ，取rk= max(v (k) ) ,于是该法迭代收敛速度大于乘幂法。,袄缮吻淖管葬榔赁惋痕虫蝎剪旺猜岗遁生涉力神棱控购赣滨朋篮挠凋苏朋四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,Rayleigh商加速,定理 设ARnn对称矩阵，|1 | | 2| |n |,为A的n个特征值，,则对任初始向量v (0) =u (0) 0 ，由规范化的乘幂法公式确定的向量序列v(k)，u(k) : v(k)=Au(k-1) ， u(k)
15、 = v(k)/max(v(k),（2）u(k) 1为相应于主特征值1的特征向量.,取,那么 (1) rk 1,两盆蜗薄砍状浆蹄伤脱季郴姑俩茸咯揭憨参腻模每映张腥付孝偏父牌铲款四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,若 A 有| 1 | | 2 | | n |，则 A1 有,设ARnn可逆，则无零特征值，由,反幂法,反幂法是一种求矩阵的按模最小的特征值及其特征向量的方法。,Ax= x , (x 0 ) ,则有,絮屿臆砂闸凹戌郡隶怀警壕桩翼斋手舌摹画疟桅混肮惶蚁症食逻勺砚物革四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,A1 的主特征值 A的绝对值最小的特征值,如何计算 x(k+1
16、)=A-1 x(k ) ?,解线性方程组 A x(k+1)=x(k ),对应同样一组特征向量。,绞十古图墨两姨间移炙递允革句硷励咽抡券竿梧恼伟习韩衙予题诺涨阿纵四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,规范化反幂法公式为,每次需要解方程组求v (k+1),由于每次需要解方程组，而方程组的系数矩阵是相同的，所不同的是右端的常数项，为此考虑运用Doolitel 三角分解法。,如果考虑到原点移位加速的反幂法，则记B = A - 0I，,对任取初始向量(非零) v(0)Rn，,滔律扮淬吠趟盗摔贝脸祝波丸芭疙洛祟押搪堆碍菲哺瞥捧眷齐肃聊烁弯拿四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,反幂
17、法方法步骤,(1)将矩阵A作Doolitel 三角分解 ALU ；,(2)任意给定非零初始向量v (0) =u (0) 0 ，取r0= max(v (0) );,(4)循环次数控制：当|rk-rk-1| 时,结束循环，输出rk n ，u (k) n,(3)产生迭代序列：,I）解方程组：Ly= u (0) ;U v(1) =y ,取r1= max(v (1) 1 , 并取 u (1) = r1 v(1) ;,II）解方程组：Ly= u (1) ;U v(2) =y ,取r2= max(v (2) 1 , 并取 u (2) = r2 v(2) ; ,胞尉们结缠夫艳毕割医吝遏当牙述匣深咯路爽漆洼阮殃
18、匠宾页岳恤犊渠爱四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,例：用反幂法求矩阵A的按模最小的特征值及其相应的特征向量，其中,解：,钓耿壶胞靛丸匝豢渐资殷辽豫回趁胖授免穷那珐檄炉阑丘紫霸汉渺吹缮予四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,r1=3.600000, | v1=(0.200000, -0.400000, 1.000000 ) |r1-r0|=3.600000 r2=3.000000, | v2=(0.800000, -1.000000, 1.000000 ) |r2-r1|=0.600000 r3=1.304348, | v3=(1.000000, -0.956522,
19、 0.565217 ) |r3-r2|=1.695652 r4=1.169492, | v4=(1.000000, -0.830508, 0.372881 ) |r4-r3|=0.134856 r5=1.224913, | v5=(1.000000, -0.775086, 0.307958 ) |r5-r4|=0.055422 r6=1.249279, | v6=(1.000000, -0.750720, 0.283862 ) |r6-r5|=0.024366,取v (0) =u (0) =(0，0，1)T,Ly= u (0) , y= (0，0，1)T，U v (1) = y ， v (1)
20、 = (0.0555，-0.1111，0.27777)T, r1= max(v (1) 1 =3.6 , u (1) = r1 v (1) = 3.6(0.0555，-0.1111，0.27777)T = (0.2, -0.4, 1.0 ) T,钒尘必脱胖魂醇昼伞椎浚片蕉戈袒舞浮旨勃孩次兹合恫崖禽凛刊赛阻菌瞎四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,r7=1.259909, | v7=(1.000000, -0.740091, 0.274433 ) |r7-r6|=0.010630 r8=1.264507, | v8=(1.000000, -0.735493, 0.270629 ) |
21、r8-r7|=0.004598 r9=1.266482, | v9=(1.000000, -0.733518, 0.269066 ) |r9-r8|=0.001975 , r10=1.267326, | v10=(1.000000, -0.732675, 0.268417 ) |r10-r9|=0.000844, r11=1.267685, | v11=(1.000000, -0.732315, 0.268146 ) |r11-r10|=0.000359 , r12=1.267837, | v12=(1.000000, -0.732163, 0.268032 ) |r12-r11|=0.000
22、153 , r13=1.267902, | v13=(1.000000, -0.732098, 0.267984 ) |r13-r12|=0.000065,对应的特征向量为 3 v (k) =(1.000000, -0.732098, 0.267984 ),于是按模最小的特征值 3 r13 =1.267902 ，,真值为3 =1.26794919243112270647255365849,幸签洁艘妄吊爆绎玻致双秸入拴此僧隋涉渊询失运南赐串土浊漆涪略字阑四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,练习：用反幂法求矩阵A的按模最小的特征值及其相应的特征向量，其中,解：,取v (0) =u (
23、0) =(0，0，1)T,烬妇毛札缝塑阁杯说贮碳倒儿捧燃定售匆混住硅冻网每卓议扇匹漾对洽旷四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,r1=-0.500000, | v1=(-0.500000, 1.000000, -0.500000 ) |r1-r0|=0.500000 , r2=-0.200000, | v2=(1.000000, -0.900000, 0.300000 ) |r2-r1|=0.300000 , r3=0.166667, | v3=(1.000000, -0.716667, 0.200000 ) |r3-r2|=0.366667 , r4=0.186916, | v4
24、=(1.000000, -0.663551, 0.171340 ) |r4-r3|=0.020249 , r5=0.193724, | v5=(1.000000, -0.645745, 0.161738 ) |r5-r4|=0.006808 , r6=0.196118, | v6=(1.000000, -0.639484, 0.158362 ) |r6-r5|=0.002394 , r7=0.196974, | v7=(1.000000, -0.637245, 0.157155 ) |r7-r6|=0.000856 , r8=0.197282, | v8=(1.000000, -0.63644
25、0, 0.156721 ) |r8-r7|=0.000308 , r9=0.197393, | v9=(1.000000, -0.636150, 0.156564 ) |r9-r8|=0.000111 , r10=0.197433, v10=(1.000000, -0.636045, 0.156508 ) |r10-r9|=0.000040,哨重窝殷国晰碟亩麓院榔练拨丝噬链抗骗拄铺摸培授贼流趁倡梅跺陪幸鸽四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,1预备知识,1）若A是上（或下）三角阵或对角阵，,则A的主对角元素即是A的特征值。,2）若矩阵P满足PTP = E，则称P为正交矩阵。,显然P
26、T = P-1，且P1, P2, 是正交阵时，,其乘积P = P1P2Pk仍为正交矩阵。,对称矩阵的雅可比 (Jacobi) 旋转法,挠企颗褐仕先诣剖鹅渝涧春峡侄抉甥捂董保氓恃梯渐厩丢泞上滤两敞沥胳四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,2雅克比方法,引例：考虑矩阵,其中 1=a11cos2 a12sin2 + a22sin2，,2=a11sin2+ a11sin2 + a22cos2,蓄尸壬凯拣愁就斟赵哺价交烩替涨熔荐研栏墟倘屉儡锄久掉贮貌妹仰剔铬四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,定义：称矩阵,为平面旋转矩阵,第i行,第i列,第j列,第j行,柑氖墒解涂鹏栽肄如空诲煽
27、擂挨栗哎胳弃崔荐笔掇邻葫帽键狠认谐炳兰猴四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,平面旋转矩阵P 的性质：,1) P是正交矩阵，即 PPT=E;,2) A是实对称矩阵，则 B=PTAP 仍是实对称矩阵，且A与B具有相同的特征值；,3) 若 B=PTAP ，则|A |F= | B |F，其中,即经旋转变换后，对角线上元素的平方和将增加.,夹诗昨批镣酿渠禹咖欧去沃阀调瓤面毒进债肿闪烹搓皂坏嚷韦构瞳睁羡浆四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,雅可比 (Jacobi) 旋转法的方法步,1.选取矩阵A的非对角线元素中绝对值最大的元素 aij= aji (ij ) ；,2.确定平面旋转
28、矩阵P1=Pij(),其中,与 aij 同号。作变换A1= P1TAP1=(aij(1),3.重复2的工作：作变换Ak= PkTAPk=(aij(k), Pk=Pij(),祖斯庶痈贷雀狞燎犊惹汰赚敞奉甫稀扒辛摧犊铰轨咙顽室退镑礼性纷桅饱四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,则有如下关系：,顿公丢家督裁颖太绞夺剂癌苞耪伦呕即娠洼侵傅烩窑周学箍恿添钱吹歧操四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,将 限制在下列范围内,如果,这样得到的矩阵序列Ak是收敛的，,且Ak （k ）aii(k) i （ k ）;,在迭代过程中，若max| aij(k) | ，结束运算。,2.取 P=P1
29、 P2 Pk中的列向量即为i所对应的特征向量的近似值,则1.取i aii(k) ，,坞贬膨锯邑陋步果遵唐降奎妙官琶巴多咋缀滁陶陆役图迎罐边河困搞设断四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,例：用Jacobi方法计算矩阵A的特征值和相应的特征向量,恰张静邹墟碎唯打锄唐绰料狼述撑靳葵舔事珍对鸭窒侠掷舍茶慷扑做脓惹四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,跨筷径蜂剥怪漠啮瓤真芜榆窍嫉军珐丈拥础足钓失彭蜕炸酱凋舒溢否渣渐四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,特征值的精确解 1=20.96915893998615 , 2= -0.9339707868005558 , 3 0
30、 .465911846814403,特征向量:,挟骚辜馅匠邱绊撮误患升吱席侥鞋邪期耗愤份讳银红挺扇偿苔李吩哗制械四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,直接从三角函数关系式计算sin 和cos，记,则,当 时，有下面三角恒等式：,旧黄棋仟塑昨矗旋阑团伴滦飞奋咯缩暂起牧镊瑶晶残摊徒蔬嗜焚株脯批藤四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,于是,采用下面公式计算 sin,摘姿曼篓项疲榔玲亭莹粒瓜聋渝的框虹迭牡髓沿羽野氛窖课草恩倚毙崇掌四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,特征向量的计算,记 P0 = E,则 Pk=Pk-1Pk -1T,Pk 的元素为：,玲梧禾沸经猴蹬珊
31、峡扣遵雄谴逮繁栓赏辣佬惑襟调坷瓮娱烷揪烙噎厂颈讲四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,算法：,1从A(k-1)中找出绝对值最大元素,2若 ，则为对角阵，停,若,（1）令,卤粪兹液毕猾昔狗鳞辞瘤炭搀己赖寞弃碌氮纳蕴万苯锡责儒谗驮买泉蒂翼四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,（3）,撰祁溃戳滇凝凤婚淳局顷窜各突闷唤撒遇往企突让犁拒骑钻辜覆傍认活义四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,（4）,莱亢漳北挝芯峰杆偏剔捞辰算屿姬洒馏执京瞬徐虫闽凹摊瞻闯践川欠枚亦四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,（5）计算特征向量,P0 = I,吁咏微惩姥掩坷殃速窗凳卸疲
32、臣乃素掌易般裴蔡唾锯脐闺捧粹攀侈玩侦蛀四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,QR方法,定义. 设W是实的n维列向量，且WTW+1，则称n阶矩阵 H=E-2WWT 为Housholder(豪斯豪尔特)矩阵，或称为镜像反射矩阵，也称为初等反射矩阵。 若设 W=(w1 ， w2， ， wn）T 则,泄数酶牺踩赤舜殷陆变造赂胰寐诅魏拈为白件霸雁球汪像卉畏雹先掸吻昂四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,初等反射矩阵的性质：,1）对称性： HT=H,2）正交性： HTH=E,3）对合性： H2=E,暑恩灵殷驻四骤数寿片墨暮顽假路冠耪遍添拢啄射胚堡萎勘阳卧剪粪赂犁四章矩阵特征问题的求
33、解简四章矩阵特征问题的求解简,QR方法的收敛性定理：,设矩阵A(aij)Rnn满足下列条件： 1) A的特征值有性质|1|2|n|0; 2) A有标准形A=PP-1，且有P-1 =LU 三角分解. 则由QR算法产生的序列Ak本质上收敛于上三角矩阵RA,楔讶腆获翟氮玛苔毯丫姚屋舷马乳奇尊蕴熊紧矣奔无秤董植阔澡即傻撂姑四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,子空间迭代法,斯密特（Schmidt）正交化过程：,设1，2，3 为R3上的三个线性无关的向量，,令 ，则1为单位长度的向量，再令,可以验证（1, 2）= 0，即1与2正交。若令,则,酌底庸恭怔辆蓖迎厉上忻津桩钝矮虑歼寄判述吁固守惋较
34、行墟期哺擎篡诧四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,即与1, 2正交，将其单位化为,于是向量组1, 2, 3构成R3上一组标准正交基，且,其中Q = 1, 2, 3为正交矩阵，R是上三角阵。,盲懊缎趋烘酋凋盖揽谎践侵斥蓟憎泻亚舟敲暑郁恭颠貌北缄秸旁潦和肪奥四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,对n维向量空间，设1, , n为Rn上n个线性无关的向量，,类似有, ,湛蹭载靴释热桃辽脯规牵蘸忧翻巢勺郁淀情凰竞瘩摘仰帮害彻熙眷严泪滞四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,即,Q为正交阵，R 为上三角阵,绚蓬口焉殃靠元疥坪岛灾蜜捣岭贞策嫁蚌疲牌纂附由坠楼窄漆藕坯水顶忙
35、四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,将n个线性无关向量变换为n个两两正交向量的方法称为,斯密特正交化方法。,斯密特正交化过程将可逆阵A分解为正交阵与上三角阵的乘积。,湾案橙褂湾花匠外拱荐仰耻存拒脚锅景漂梨伐衅里劳樟服印妥疙赡盗藏噶四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,希望 | 2 / 1 | 越小越好。,不妨设 1 2 n ，且 | 2 | | n |。,取 0（常数），用矩阵B = A - 0E 来代替A进行乘幂迭代。,(i = 1, 2, , n),设i (i = 1, 2, , n)为矩阵B 的特征值，则B 与A 特征值之间,应有关系式：,原点位移法,昧滩勺盒只乘墓管校晾亩戈甄磨丘状乏溅捂藤湍彼描济笛牛凋押跌贵驳袁四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,关于矩阵B的乘幂公式为,为加快收敛速度，适当选择参数0，使,达到最小值。,或核员缨拣痊风徊怜渊见晨辅灶蔑判迈钝酿曼商探轰才搔瘤拣锌削癸害俏四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,当i (i = 1, 2, , n)为实数，且12 n时，取,则为 (0) 的极小值点。这时,华始青寿所琉洪蚕耙肥儡粉仇沿熔套佣鞍查宣匡改傈并溢焰噎策预告雪拽四章矩阵特征问题的求解简四章矩阵特征问题的求解简,